Q-гамма-функция - Q-gamma function

В q-аналог теория, ${displaystyle q}$-гамма-функция, или же базовая гамма-функция, является обобщением обычных гамма-функция тесно связан с двойная гамма-функция. Он был представлен Джексон (1905). Это дается

${displaystyle Gamma _{q}(x)=(1-q)^{1-x}prod _{n=0}^{infty }{frac {1-q^{n+1}}{1-q^{n+x}}}=(1-q)^{1-x},{frac {(q;q)_{infty }}{(q^{x};q)_{infty }}}}$

когда ${displaystyle |q|<1}$, и

${displaystyle Gamma _{q}(x)={frac {(q^{-1};q^{-1})_{infty }}{(q^{-x};q^{-1})_{infty }}}(q-1)^{1-x}q^{inom {x}{2}}}$

если ${displaystyle |q|>1}$. Здесь ${displaystyle (cdot ;cdot )_{infty }}$ это бесконечный символ q-Pochhammer. В ${displaystyle q}$-гамма-функция удовлетворяет функциональному уравнению

${displaystyle Gamma _{q}(x+1)={frac {1-q^{x}}{1-q}}Gamma _{q}(x)=[x]_{q}Gamma _{q}(x)}$

В дополнение ${displaystyle q}$-гамма-функция удовлетворяет q-аналогу Теорема Бора – Моллерупа, который был найден Ричард Аски (Аски (1978) ).
Для неотрицательных целых чисел п,

${displaystyle Gamma _{q}(n)=[n-1]_{q}!}$

куда ${displaystyle [cdot ]_{q}}$ это q-факториал функция. Таким образом ${displaystyle q}$-гамма-функцию можно рассматривать как расширение q-факториальной функции на действительные числа.

Связь с обычной гамма-функцией выражается явно в пределе

${displaystyle lim _{q o 1pm }Gamma _{q}(x)=Gamma (x).}$

Госпер дает простое доказательство этого предела. См. Приложение к (Эндрюс  (1986 )).

Свойства трансформации

В ${displaystyle q}$-гамма-функция удовлетворяет q-аналогу формулы умножения Гаусса (Гаспер и Рахман (2004) ):

${displaystyle Gamma _{q}(nx)Gamma _{r}(1/n)Gamma _{r}(2/n)cdots Gamma _{r}((n-1)/n)=left({frac {1-q^{n}}{1-q}}ight)^{nx-1}Gamma _{r}(x)Gamma _{r}(x+1/n)cdots Gamma _{r}(x+(n-1)/n), r=q^{n}.}$

Интегральное представление

В ${displaystyle q}$-гамма-функция имеет следующее интегральное представление (Исмаил  (1981 )):

${displaystyle {frac {1}{Gamma _{q}(z)}}={frac {sin(pi z)}{pi }}int _{0}^{infty }{frac {t^{-z}mathrm {d} t}{(-t(1-q);q)_{infty }}}.}$

Формула Стирлинга

Моак получил следующий q-аналог формулы Стирлинга (см. Моак (1984) ):

${displaystyle log Gamma _{q}(x)sim (x-1/2)log[x]_{q}+{frac {mathrm {Li} _{2}(1-q^{x})}{log q}}+C_{hat {q}}+{frac {1}{2}}H(q-1)log q+sum _{k=1}^{infty }{frac {B_{2k}}{(2k)!}}left({frac {log {hat {q}}}{{hat {q}}^{x}-1}}ight)^{2k-1}{hat {q}}^{x}p_{2k-3}({hat {q}}^{x}), x o infty ,}$

${displaystyle {hat {q}}=left{{egin{aligned}qquad mathrm {if} &0<qleq 11/qquad mathrm {if} &qgeq 1end{aligned}}ight},}$

${displaystyle C_{q}={frac {1}{2}}log(2pi )+{frac {1}{2}}log left({frac {q-1}{log q}}ight)-{frac {1}{24}}log q+log sum _{m=-infty }^{infty }left(r^{m(6m+1)}-r^{(3m+1)(2m+1)}ight),}$

куда ${displaystyle r=exp(4pi ^{2}/log q)}$, ${displaystyle H}$ обозначает Ступенчатая функция Хевисайда, ${displaystyle B_{k}}$ стоит за Число Бернулли, ${displaystyle mathrm {Li} _{2}(z)}$ дилогарифм, а ${displaystyle p_{k}}$ является многочленом степени ${displaystyle k}$ удовлетворение

${displaystyle p_{k}(z)=z(1-z)p_{k-1}(z)^{prime }(z)+(kz+1)p_{k-1}(z),p_{0}=p_{-1}=1,k=1,2,cdots .}$

Формулы типа Раабе

Благодаря И. Мезё q-аналог Формула Раабе существует, по крайней мере, если мы используем q-гамма-функцию, когда ${displaystyle |q|>1}$. С этим ограничением

${displaystyle int _{0}^{1}log Gamma _{q}(x)dx={frac {zeta (2)}{log q}}+log {sqrt {frac {q-1}{sqrt[{6}]{q}}}}+log(q^{-1};q^{-1})_{infty }quad (q>1).}$

Эль Бахрауи рассмотрел дело ${displaystyle 0<q<1}$ и доказал, что

${displaystyle int _{0}^{1}log Gamma _{q}(x)dx={frac {1}{2}}log(1-q)-{frac {zeta (2)}{log q}}+log(q;q)_{infty }quad (0<q<1).}$

Особые ценности

Известны следующие особые значения.^[1]

${displaystyle Gamma _{e^{-pi }}left({frac {1}{2}}ight)={frac {e^{-7pi /16}{sqrt {e^{pi }-1}}{sqrt[{4}]{1+{sqrt {2}}}}}{2^{15/16}pi ^{3/4}}},Gamma left({frac {1}{4}}ight),}$

${displaystyle Gamma _{e^{-2pi }}left({frac {1}{2}}ight)={frac {e^{-7pi /8}{sqrt {e^{2pi }-1}}}{2^{9/8}pi ^{3/4}}},Gamma left({frac {1}{4}}ight),}$

${displaystyle Gamma _{e^{-4pi }}left({frac {1}{2}}ight)={frac {e^{-7pi /4}{sqrt {e^{4pi }-1}}}{2^{7/4}pi ^{3/4}}},Gamma left({frac {1}{4}}ight),}$

${displaystyle Gamma _{e^{-8pi }}left({frac {1}{2}}ight)={frac {e^{-7pi /2}{sqrt {e^{8pi }-1}}}{2^{9/4}pi ^{3/4}{sqrt {1+{sqrt {2}}}}}},Gamma left({frac {1}{4}}ight).}$

Это аналоги классической формулы ${displaystyle Gamma left({frac {1}{2}}ight)={sqrt {pi }}}$.

Более того, следующие аналоги знакомого тождества ${displaystyle Gamma left({frac {1}{4}}ight)Gamma left({frac {3}{4}}ight)={sqrt {2}}pi }$ верно:

${displaystyle Gamma _{e^{-2pi }}left({frac {1}{4}}ight)Gamma _{e^{-2pi }}left({frac {3}{4}}ight)={frac {e^{-29pi /16}left(e^{2pi }-1ight){sqrt[{4}]{1+{sqrt {2}}}}}{2^{33/16}pi ^{3/2}}},Gamma left({frac {1}{4}}ight)^{2},}$

${displaystyle Gamma _{e^{-4pi }}left({frac {1}{4}}ight)Gamma _{e^{-4pi }}left({frac {3}{4}}ight)={frac {e^{-29pi /8}left(e^{4pi }-1ight)}{2^{23/8}pi ^{3/2}}},Gamma left({frac {1}{4}}ight)^{2},}$

${displaystyle Gamma _{e^{-8pi }}left({frac {1}{4}}ight)Gamma _{e^{-8pi }}left({frac {3}{4}}ight)={frac {e^{-29pi /4}left(e^{8pi }-1ight)}{16pi ^{3/2}{sqrt {1+{sqrt {2}}}}}},Gamma left({frac {1}{4}}ight)^{2}.}$

Версия матрицы

Позволять ${displaystyle A}$ - комплексная квадратная матрица и Положительно определенная матрица. Тогда q-гамма-матричная функция может быть определена q-интегралом:^[2]

${displaystyle Gamma _{q}(A):=int _{0}^{frac {1}{1-q}}t^{A-I}E_{q}(-qt)mathrm {d} _{q}t}$

куда ${displaystyle E_{q}}$ это q-экспонента функция.

Другие функции q-гаммы

О других функциях q-гаммы см. Yamasaki 2006.^[3]

Численное вычисление

Итерационный алгоритм для вычисления q-гамма-функции был предложен Габутти и Алласией.^[4]

дальнейшее чтение

• Чжан, Жуймин (2007), "Об асимптотике q-гамма-функции », Журнал математического анализа и приложений, 339 (2): 1313–1321, arXiv:0705.2802, Bibcode:2008JMAA..339.1313Z, Дои:10.1016 / j.jmaa.2007.08.006
• Чжан, Жуйминг (2010), "Об асимптотике Γ_q(z) как q приближается к 1 ", arXiv:1011.0720 [math.CA ]
• Ismail, Mourad E.H .; Малдун, Мартин Э. (1994), "Неравенства и свойства монотонности для гамма и q-гамма-функции », в Захар, Р. В. М. (ред.), Приближение и вычисление - сборник в честь Уолтера Гаучи: Труды конференции Purdue, 2-5 декабря 1993 г., 119, Бостон: Birkhäuser Verlag, стр. 309–323, arXiv:1301.1749, Дои:10.1007/978-1-4684-7415-2_19, ISBN  978-1-4684-7415-2

Рекомендации

• Джексон, Ф. Х. (1905), "Основная гамма-функция и эллиптические функции", Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера, Королевское общество, 76 (508): 127–144, Bibcode:1905RSPSA..76..127J, Дои:10.1098 / RSPA.1905.0011, ISSN  0950-1207, JSTOR  92601
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Базовый гипергеометрический ряд, Энциклопедия математики и ее приложений, 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-83357-8, МИСТЕР  2128719
• Исмаил, Мурад (1981), "Основные функции Бесселя и многочлены", Журнал SIAM по математическому анализу, 12 (3): 454–468, Дои:10.1137/0512038
• Моак, Дэниел С. (1984), "Q-аналог формулы Стирлинга", Скалистые горы J. Math., 14 (2): 403–414, Дои:10.1216 / RMJ-1984-14-2-403
• Мезо, Иштван (2012), "Формула q-Раабе и интеграл четвертой тета-функции Якоби", Журнал теории чисел, 133 (2): 692–704, Дои:10.1016 / j.jnt.2012.08.025
• Эль Бакрауи, Мохамед (2017), "Краткие доказательства формулы q-Раабе и интегралов для тета-функций Якоби", Журнал теории чисел, 173 (2): 614–620, Дои:10.1016 / j.jnt.2016.09.028
• Аски, Ричард (1978), «Функции q-гаммы и q-бета», Применимый анализ, 8 (2): 125–141, Дои:10.1080/00036817808839221
• Эндрюс, Джордж Э. (1986), q-Series: их развитие и применение в анализе, теории чисел, комбинаторике, физике и компьютерной алгебре., Серия региональных конференций по математике, 66, Американское математическое общество

Примечания

1. Мезо, Иштван (2011), "Несколько специальных значений тета-функций Якоби", arXiv:1106.1042 [math.NT ]
2. Салем, Ахмед (июнь 2012 г.). "На q-гамма и q-бета-матричные функции ». Линейная и полилинейная алгебра. 60 (6): 683–696. Дои:10.1080/03081087.2011.627562.
3. Ямасаки, Ёсинори (декабрь 2006 г.). "На q-Аналоги множественных дзета-функций Барнса ». Токийский математический журнал. 29 (2): 413–427. arXiv:математика / 0412067. Дои:10.3836 / tjm / 1170348176. МИСТЕР  2284981. Zbl  1192.11060.
4. Габутти, Бруно; Алласия, Джампьетро (17 сентября 2008 г.). «Оценка q-гамма-функции и q-аналогов с помощью итерационных алгоритмов». Численные алгоритмы. 49 (1–4): 159–168. Bibcode:2008НуАлг..49..159Г. Дои:10.1007 / s11075-008-9196-5.