Теорема Бора – Моллерупа - Bohr–Mollerup theorem

В математический анализ, то Теорема Бора – Моллерупа - теорема, доказанная датскими математиками. Харальд Бор и Йоханнес Моллеруп. Теорема характеризует в гамма-функция, определенная для Икс > 0 к

${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$

как Только функция ж на интервале Икс > 0 одновременно обладающий тремя свойствами

•  ж (1) = 1, и
•  ж (Икс + 1) = Икс ж (Икс) за Икс > 0 и
• ж является логарифмически выпуклый.

Изложение этой теоремы содержится в Артин книга Гамма-функция, который был перепечатан AMS в сборнике работ Артина.

Теорема была впервые опубликована в учебнике комплексный анализ, как думали Бор и Моллеруп, это уже было доказано.

Заявление

Теорема Бора – Моллерупа.     Γ (Икс) - единственная функция, удовлетворяющая  ж (Икс + 1) = Икс ж (Икс) с бревно(ж (Икс)) выпуклый, а также с  ж (1) = 1.

Доказательство

Позволять Γ (Икс) - функция с предполагаемыми свойствами, установленными выше: Γ (Икс + 1) = ИксΓ (Икс) и журнал (Γ (Икс)) выпуклый, а Γ (1) = 1. Из Γ (Икс + 1) = ИксΓ (Икс) мы можем установить

${\displaystyle \Gamma (x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots (x+1)x\Gamma (x)}$

Цель положения о том, что Γ (1) = 1 заставляет Γ (Икс + 1) = ИксΓ (Икс) свойство дублировать факториалы целых чисел, поэтому мы можем сделать вывод, что Γ (п) = (п − 1)! если п ∈ N и если Γ (Икс) существует вообще. Из-за нашего отношения к Γ (Икс + п), если мы можем полностью понять Γ (Икс) за 0 < Икс ≤ 1 тогда мы понимаем Γ (Икс) для всех значений Икс.

Наклон линии, соединяющей две точки (Икс₁, log (Γ (Икс₁))) и (Икс₂, log (Γ (Икс₂))), назови это S(Икс₁, Икс₂), монотонно возрастает по каждому аргументу с Икс₁ < Икс₂ поскольку мы оговорили журнал (Γ (Икс)) выпуклый. Таким образом, мы знаем, что

${\displaystyle S(n-1,n)\leq S(n,n+x)\leq S(n,n+1)\quad {\text{for all }}x\in (0,1].}$

После упрощения использования различных свойств логарифма, а затем возведения в степень (что сохраняет неравенства, поскольку экспоненциальная функция монотонно возрастает), мы получаем

${\displaystyle (n-1)^{x}(n-1)!\leq \Gamma (n+x)\leq n^{x}(n-1)!.}$

Из предыдущей работы это расширяется до

${\displaystyle (n-1)^{x}(n-1)!\leq (x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x\Gamma (x)\leq n^{x}(n-1)!,}$

и так

${\displaystyle {\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}}\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right).}$

Последняя строка - сильное заявление. Особенно, это верно для всех значений п. То есть Γ (Икс) не больше правой части при любом выборе п и аналогично, Γ (Икс) не меньше, чем левая часть при любом другом выборе п. Каждое отдельное неравенство стоит отдельно и может интерпретироваться как независимое утверждение. Благодаря этому мы можем выбирать разные значения п для RHS и LHS. В частности, если мы сохраним п для RHS и выберите п + 1 для LHS получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {((n+1)-1)^{x}((n+1)-1)!}{(x+(n+1)-1)(x+(n+1)-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\end{aligned}}}$

Из этой последней строки очевидно, что функция зажата между двумя выражениями - это общий метод анализа для доказательства различных вещей, таких как наличие предела или сходимость. Позволять п → ∞:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n+x}{n}}=1}$

поэтому левая часть последнего неравенства становится равной правой части в пределе и

${\displaystyle {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

зажат между ними. Это может означать только то, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}=\Gamma (x).}$

В контексте этого доказательства это означает, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

имеет три указанных свойства, принадлежащих Γ (Икс). Кроме того, доказательство дает конкретное выражение для Γ (Икс). И последняя важная часть доказательства - помнить, что предел последовательности уникален. Это означает, что при любом выборе 0 < Икс ≤ 1 только одно возможное число Γ (Икс) может существовать. Следовательно, нет другой функции со всеми свойствами, назначенными Γ (Икс).

Остающийся нерешенным вопрос - это доказать, что Γ (Икс) имеет смысл для всех Икс куда

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

существуют. Проблема в том, что наше первое двойное неравенство

${\displaystyle S(n-1,n)\leq S(n+x,n)\leq S(n+1,n)}$

был построен с ограничением 0 < Икс ≤ 1. Если, скажем, Икс > 1 то факт, что S монотонно возрастает, сделает S(п + 1, п) < S(п + Икс, п), что противоречит неравенству, на котором построено все доказательство. Тем не мение,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x+1)&=\lim _{n\to \infty }x\cdot \left({\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\right){\frac {n}{n+x+1}}\\\Gamma (x)&=\left({\frac {1}{x}}\right)\Gamma (x+1)\end{aligned}}}$

который демонстрирует, как запустить Γ (Икс) ко всем значениям Икс где предел определен.

Смотрите также

• Теорема Виландта

Рекомендации

• «Теорема Бора – Моллерупа», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Бора – Моллерупа". MathWorld.
• «Доказательство теоремы Бора – Моллерупа». PlanetMath.
• «Альтернативное доказательство теоремы Бора – Моллерупа». PlanetMath.
• Артин, Эмиль (1964). Гамма-функция. Холт, Райнхарт, Уинстон.
• Розен, Майкл (2006). Экспозиция Эмиля Артина: Подборка. Американское математическое общество.
• Моллеруп Дж., Бор Х. (1922). Lærebog и Kompleks Analyze vol. III, Копенгаген. (Учебник по комплексному анализу)