q-производный - q-derivative

В математика, в районе комбинаторика и квантовое исчисление, то q-производный, или же Производная Джексона, это q-аналог из обыкновенная производная, представлен Фрэнк Хилтон Джексон. Это обратное Джексона q-интеграция. По поводу других форм q-производной см. (Chung et al. (1994) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFChungChungNamKang1994 (помощь)).

Определение

В q-производная функции ж(Икс) определяется как^[1][2][3]

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.}$

Его также часто пишут как ${\displaystyle D_{q}f(x)}$. В q-производная также известна как Производная Джексона.

Формально в терминах Лагранжа оператор смены в логарифмических переменных он составляет оператор

${\displaystyle D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,}$

которая переходит в простую производную ${\displaystyle \to {\frac {d}{dx}}}$ в качестве ${\displaystyle q\to 1}$.

Это явно линейно,

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.}$

В нем есть правило продукта, аналогичное правилу обычного производного продукта, с двумя эквивалентными формами

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).}$

Точно так же он удовлетворяет правилу частного,

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.}$

Также существует правило, аналогичное цепному правилу для обычных производных. Позволять ${\displaystyle g(x)=cx^{k}}$. потом

${\displaystyle \displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).}$

В собственная функция из q-производным является q-экспоненциальный е_q(Икс).

Отношение к обычным производным инструментам

Q-дифференцировка напоминает обычную дифференциацию с любопытными различиями. Например, q-производная от одночлен является^[2]:

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}}$

куда ${\displaystyle [n]_{q}}$ это q-скобка из п. Обратите внимание, что ${\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n}$ так что обычная производная восстанавливается в этом пределе.

В п-й q-производная функции может быть задана как^[3]:

${\displaystyle (D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]_{q}!}$

при условии, что обычные п-я производная от ж существует в Икс = 0. Здесь ${\displaystyle (q;q)_{n}}$ это q-Почхаммер символ, и ${\displaystyle [n]_{q}!}$ это q-факториал. Если ${\displaystyle f(x)}$ является аналитический мы можем применить Формула Тейлора к определению ${\displaystyle D_{q}(f(x))}$ получить

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).}$

А q-аналог разложения Тейлора функции около нуля следует^[2]:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}.}$

Более высокого порядка ${\displaystyle q}$-производные

Следующее представление для высшего порядка ${\displaystyle q}$-производные известны^[4][5]:

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {1}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}_{q}q^{{\binom {k}{2}}-(n-1)k}f(q^{k}x).}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$ это ${\displaystyle q}$-биномиальный коэффициент. Изменяя порядок суммирования как ${\displaystyle r=n-k}$, получаем следующую формулу ^[4][6]:

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {(-1)^{n}q^{-{\binom {n}{2}}}}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}{\binom {n}{r}}_{q}q^{\binom {r}{2}}f(q^{n-r}x).}$

Более высокого порядка ${\displaystyle q}$-производные используются для ${\displaystyle q}$-Формула Тейлора и ${\displaystyle q}$-Формула Родригеса (формула, используемая для построения ${\displaystyle q}$-ортогональные многочлены^[4]).

Обобщения

Пост квантовое исчисление

Пост-квантовое исчисление является обобщением теории квантовое исчисление, и он использует следующий оператор^[7][8]:

${\displaystyle D_{p,q}f(x):={\frac {f(px)-f(qx)}{(p-q)x}},\quad x\neq 0.}$

Hahn разница

Вольфганг Хан ввел следующий оператор (разница Хана)^[9][10]:

${\displaystyle D_{q,\omega }f(x):={\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{(q-1)x+\omega }},\quad 0<q<1,\quad \omega >0.}$

Когда ${\displaystyle \omega \to 0}$ этот оператор сводится к ${\displaystyle q}$-производная, а когда ${\displaystyle q\to 1}$ это сводится к разнице вперед. Это удачный инструмент для построения семейств ортогональные многочлены и исследуя некоторые задачи приближения^[11][12][13].

${\displaystyle \beta }$-производный

${\displaystyle \beta }$-производная - это оператор, определяемый следующим образом^[14][15]:

${\displaystyle D_{\beta }f(t):={\frac {f(\beta (t))-f(t)}{\beta (t)-t}},\quad \beta \neq t,\quad \beta :I\to I.}$

В определении ${\displaystyle I}$ - заданный интервал, а ${\displaystyle \beta (t)}$ - любая непрерывная функция, которая строго монотонно возрастает (т. е. ${\displaystyle t>s\rightarrow \beta (t)>\beta (s)}$). Когда ${\displaystyle \beta (t)=qt}$ тогда этот оператор ${\displaystyle q}$-производная, а когда ${\displaystyle \beta (t)=qt+\omega }$ этот оператор является разницей Хана.

Смотрите также

• Производная (обобщения)
• Интеграл Джексона
• Q-экспонента
• Q-разностные полиномы
• Квантовое исчисление
• Энтропия Цаллиса

Рекомендации

1. Ф. Х. Джексон (1908), На ${\displaystyle q}$-функции и оператор некоторой разницы, Пер. Рой. Soc. Един., 46, 253-281.
2. Виктор Кац, Покман Чунг, Квантовое исчисление, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN  0-387-95341-8
3. Эрнст, Т. (2012). Комплексное лечение ${\displaystyle q}$-исчисление. Springer Science & Business Media.
4. Кёпф, Вольфрам. (2014). Гипергеометрическое суммирование. Алгоритмический подход к суммированию и тождествам специальных функций. 10.1007 / 978-1-4471-6464-7.
5. Кёпф В., Райкович П. М. и Маринкович С. Д. (2007). Свойства ${\displaystyle q}$-голономные функции.
6. Аннаби, М. Х., и Мансур, З. С. (2008). ${\displaystyle q}$-Тейлор и ряды интерполяции для Джексона ${\displaystyle q}$-разностные операторы. Журнал математического анализа и приложений, 344 (1), 472-483.
7. Гупта В., Рассиас Т.М., Агравал П.Н., Аку А.М. (2018) Основы постквантового исчисления. В кн .: Последние достижения конструктивной теории приближений. SpringerOptimization и ее приложения, том 138. Springer.
8. Дюран, У. (2016). Постквантовое исчисление, M.Sc. Диссертация на кафедре математики, Высшая школа естественных и прикладных наук Университета Газиантепа.
9. Хан, В. (1949). Математика. Nachr. 2: 4-34.
10. Хан, В. (1983) Monatshefte Math. 95: 19-24.
11. Фупуаньиньи, М .: Ортогональные многочлены Лагерра-Хана относительно оператора Хана: разностное уравнение четвертого порядка для r-го ассоциированного и уравнения Лагерра-Фрейда для рекуррентных коэффициентов. Кандидат наук. Диссертация, Национальный университет Бенина, Бенин (1998).
12. Квон, К., Ли, Д., Пак, С., Ю, Б.: KyungpookMath. J. 38, 259-281 (1998).
13. Альварес-Нодарсе, Р .: J. Comput. Appl. Математика. 196, 320-337 (2006).
14. Ош, Т. (2013): Разработка и применение разности и дробного исчисления в дискретных временных масштабах. Кандидатская диссертация, Университет Небраски-Линкольн.
15. Хамза, А., Сархан, А., Шехата, Э., и Альдвоа, К. (2015). Общее квантово-разностное исчисление. Успехи в разностных уравнениях, 2015 (1), 182.

• Экстон, Х. (1983), ${\displaystyle q}$-Гипергеометрические функции и приложения, Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, 1983, ISBN  0853124914, ISBN  0470274530, ISBN  978-0470274538
• Чанг, К. С., Чунг, В. С., Нам, С. Т., и Канг, Х. Дж. (1994). Новый ${\displaystyle q}$-производные и ${\displaystyle q}$-логарифм. Международный журнал теоретической физики, 33, 2019-2029.

дальнейшее чтение

• Дж. Коэкоек, Р. Коэкоек, Замечание об операторе q-производной, (1999) ArXiv math / 9908140
• Томас Эрнст, История q-исчисления и новый метод,(2001),