Ортогональные многочлены - Orthogonal polynomials

В математика, ортогональная полиномиальная последовательность это семья многочлены такая, что любые два различных многочлена в последовательности ортогональный друг другу под некоторыми внутренний продукт.

Наиболее широко используемые ортогональные полиномы - это классические ортогональные многочлены, состоящий из Полиномы Эрмита, то Полиномы Лагерра и Многочлены Якоби вместе со своими частными случаями Полиномы Гегенбауэра, то Полиномы Чебышева, а Полиномы Лежандра.

Область ортогональных многочленов возникла в конце 19 века в результате изучения непрерывные дроби к П. Л. Чебышев и преследовался Марков А.А. и Т. Дж. Стилтьес. Некоторые из математиков, которые работали над ортогональными многочленами, включают Габор Сегу, Сергей Бернштейн, Наум Ахиезер, Артур Эрдейи, Яков Геронимус, Вольфганг Хан, Теодор Сейо Чихара, Мурад Исмаил, Валид аль-Салам, и Ричард Аски.

Определение случая одной переменной для действительной меры

Для любой неубывающей функции α на действительных числах, мы можем определить Интеграл Лебега – Стилтьеса.

${\displaystyle \int f(x)\;d\alpha (x)}$

функции ж. Если этот интеграл конечен для всех многочленов ж, мы можем определить скалярное произведение на парах многочленов ж и грамм к

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int f(x)g(x)\;d\alpha (x).}$

Эта операция является положительно полуопределенным внутренний продукт на векторное пространство всех многочленов и положительно определена, если функция α имеет бесконечное число точек роста. Это наводит на мысль о ортогональность обычным способом, а именно, что два многочлена ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.

Тогда последовательность (п_п)_п=0^∞ ортогональных многочленов определяется соотношениями

${\displaystyle \deg P_{n}=n~,\quad \langle P_{m},\,P_{n}\rangle =0\quad {\text{for}}\quad m\neq n~.}$

Другими словами, последовательность получается из последовательности одночленов 1, Икс, Икс², ... посредством Процесс Грама – Шмидта относительно этого внутреннего продукта.

Обычно требуется, чтобы последовательность ортонормированный, а именно

${\displaystyle \langle P_{n},P_{n}\rangle =1~,}$

однако иногда используются другие нормализации.

Абсолютно сплошной корпус

Иногда у нас есть

${\displaystyle d\alpha (x)=W(x)\,dx}$

куда

${\displaystyle W:[x_{1},x_{2}]\to \mathbb {R} }$

неотрицательная функция с опорой на некотором интервале [Икс₁, Икс₂] в действительной строке (где Икс₁ = −∞ и Икс₂ = ∞). Такой W называется весовая функция. Тогда внутренний продукт дается

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\;dx.}$

Однако существует множество примеров ортогональных многочленов, в которых мера dα (Икс) имеет точки с ненулевой мерой, в которых функция α разрывна, поэтому не может быть задана весовой функцией W как указано выше.

Примеры ортогональных многочленов

Наиболее часто используемые ортогональные полиномы ортогональны для меры с опорой в реальном интервале. Это включает в себя:

• Классические ортогональные многочлены (Многочлены Якоби, Полиномы Лагерра, Полиномы Эрмита, и их частные случаи Полиномы Гегенбауэра, Полиномы Чебышева и Полиномы Лежандра ).
• В Многочлены Вильсона, обобщающие полиномы Якоби. Они включают много ортогональных многочленов в качестве частных случаев, например, Многочлены Мейкснера – Поллачека, то непрерывные многочлены Хана, то непрерывные двойственные многочлены Хана, и классические многочлены, описываемые Схема Askey
• В Многочлены Аски – Вильсона ввести дополнительный параметр q в полиномы Вильсона.

Дискретные ортогональные многочлены ортогональны относительно некоторой дискретной меры. Иногда мера имеет конечный носитель, и в этом случае семейство ортогональных многочленов конечно, а не бесконечная последовательность. В Полиномы Рака являются примерами дискретных ортогональных многочленов и включают в качестве частных случаев Полиномы Хана и двойственные многочлены Хана, которые, в свою очередь, включают в качестве частных случаев Полиномы Мейкснера, Полиномы Кравчука, и Полиномы Шарлье.

Просеянные ортогональные многочлены, такой как просеянные ультрасферические полиномы, просеянные многочлены Якоби, и просеянные полиномы Поллачека, изменили рекуррентные отношения.

Можно также рассматривать ортогональные многочлены для некоторой кривой на комплексной плоскости. Самый важный случай (кроме реальных интервалов) - это когда кривая представляет собой единичный круг, что дает ортогональные многочлены на единичной окружности, такой как Полиномы Роджерса – Сегё.

Есть несколько семейств ортогональных многочленов, которые ортогональны на плоских участках, таких как треугольники или диски. Иногда их можно записать в терминах полиномов Якоби. Например, Многочлены Цернике ортогональны на единичном круге.

Преимущество ортогональности между разными порядками Полиномы Эрмита применяется к структуре обобщенного мультиплексирования с частотным разделением (GFDM). В каждой сетке частотно-временной решетки можно переносить более одного символа.^[1]

Характеристики

Ортогональные многочлены одной переменной, определяемые неотрицательной мерой на действительной прямой, обладают следующими свойствами.

Отношение к моментам

Ортогональные многочлены п_п можно выразить через моменты

${\displaystyle m_{n}=\int x^{n}\,d\alpha (x)}$

следующее:

${\displaystyle P_{n}(x)=c_{n}\,\det {\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\&&\vdots &&\vdots \\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\cdots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{bmatrix}}~,}$

где константы c_п произвольны (зависят от нормировки п_п).

Отношение рецидива

Полиномы п_п удовлетворяют рекуррентному соотношению вида

${\displaystyle P_{n}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n-1}(x)+C_{n}P_{n-2}(x)~.}$

Видеть Теорема Фавара для обратного результата.

Формула Кристоффеля – Дарбу

Основная статья: Формула Кристоффеля – Дарбу

Нули

Если мера dα поддерживается на интервале [а, б], все нули п_п роды [а, б]. Кроме того, нули обладают следующим свойством чередования: если м < п, есть ноль п_п между любыми двумя нулямип_м.

Многомерные ортогональные многочлены

В Многочлены Макдональда являются ортогональными многочленами от нескольких переменных, в зависимости от выбора аффинной корневой системы. Они включают в себя множество других семейств многомерных ортогональных многочленов в качестве частных случаев, включая Полиномы Джека, то Полиномы Холла – Литтлвуда, то Многочлены Хекмана – Опдама, а Полиномы Коорнвиндера. В Многочлены Аски – Вильсона являются частным случаем многочленов Макдональда для некоторой неприведенной корневой системы ранга 1.

Смотрите также

• Последовательность апелляций
• Схема Askey гипергеометрических ортогональных многочленов
• Теорема Фавара
• Полиномиальные последовательности биномиального типа
• Биортогональные полиномы
• Обобщенный ряд Фурье
• Вторичная мера
• Последовательность Шеффера
• Теория Штурма-Лиувилля
• Темное исчисление

Рекомендации

1. Catak, E .; Дурак-Ата, Л. (2017). «Эффективная конструкция приемопередатчика для наложенных сигналов с ортогональными многочленами». Международная черноморская конференция по коммуникациям и сетям IEEE (BlackSeaCom): 1–5. Дои:10.1109 / BlackSeaCom.2017.8277657. ISBN  978-1-5090-5049-9. S2CID  22592277.

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 22". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 773. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
• Чихара, Теодор Сейо (1978). Введение в ортогональные многочлены. Гордон и Брич, Нью-Йорк. ISBN  0-677-04150-0.
• Чихара, Теодор Сейо (2001). «45 лет ортогональных многочленов: взгляд с крыльев». Труды Пятого Международного симпозиума по ортогональным многочленам, специальным функциям и их приложениям (Patras, 1999). Журнал вычислительной и прикладной математики. 133 (1): 13–21. Bibcode:2001JCoAM.133 ... 13C. Дои:10.1016 / S0377-0427 (00) 00632-4. ISSN  0377-0427. МИСТЕР  1858267.
• Foncannon, J. J .; Foncannon, J. J .; Пеконен, Осмо (2008). "Обзор Классические и квантовые ортогональные многочлены от одной переменной Мурада Исмаила ". Математический интеллект. Springer Нью-Йорк. 30: 54–60. Дои:10.1007 / BF02985757. ISSN  0343-6993. S2CID  118133026.
• Исмаил, Мурад Э. Х. (2005). Классические и квантовые ортогональные многочлены от одной переменной. Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. ISBN  0-521-78201-5.
• Джексон, Данэм (2004) [1941]. Ряды Фурье и ортогональные многочлены. Нью-Йорк: Дувр. ISBN  0-486-43808-2.
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S.C .; Коэкоек, Рулоф; Свартту, Рене Ф. (2010), «Ортогональные многочлены», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• «Ортогональные многочлены», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Сегё, Габор (1939). Ортогональные многочлены. Публикации коллоквиума. XXIII. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1023-1. МИСТЕР  0372517.
• П. Сиркар, Р. Б. Пачори и Р. Кумар, Анализ ритмов сигналов ЭЭГ с использованием ортогональной полиномиальной аппроксимации, Международная конференция ACM по конвергенции и гибридным информационным технологиям, стр. 176–180, 27–29 августа 2009 г., Тэджон, Южная Корея.
• Тотик, Вильмос (2005). «Ортогональные многочлены». Обзоры по теории приближений. 1: 70–125. arXiv:math.CA/0512424.
• Ч. Чан, А. Миронов, А. Морозов, А. Слепцов, arXiv:1712.03155.