Многочлены Цернике - Zernike polynomials

Первые 21 многочлен Цернике, упорядоченные по вертикали по радиальному градусу и по горизонтали по азимутальному градусу

В математика, то Многочлены Цернике площадь последовательность из многочлены которые ортогональный на единичный диск. Назван в честь физика-оптика Фриц Зернике, победитель 1953 г. Нобелевская премия по физике и изобретатель фазово-контрастная микроскопия, они играют важную роль в различных областях оптики, таких как луч оптика и изображения.^[1][2]

Определения

Есть четный и нечетный Полиномы Цернике. Четные многочлены Цернике определяются как

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )\!}$

(даже функция по азимутальному углу ${\displaystyle \varphi }$), а нечетные полиномы Цернике определяются как

${\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi ),\!}$

(нечетная функция по азимутальному углу ${\displaystyle \varphi }$) где м и п неотрицательны целые числа с участием п ≥ м ≥ 0 (т = 0 только для четного варианта), ${\displaystyle \varphi }$ это азимутальный угол, ρ это радиальное расстояние ${\displaystyle 0\leq \rho \leq 1}$, и ${\displaystyle R_{n}^{m}}$ - радиальные многочлены, определенные ниже. Многочлены Цернике имеют свойство ограничиваться диапазоном от -1 до +1, т. Е. ${\displaystyle |Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1}$. Радиальные многочлены ${\displaystyle R_{n}^{m}}$ определены как

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\left({\tfrac {n+m}{2}}-k\right)!\left({\tfrac {n-m}{2}}-k\right)!}}\;\rho ^{n-2k}}$

для четного числа п − м, а для нечетного числа п − м. Особая ценность

${\displaystyle R_{n}^{m}(1)=1.}$

Другие представления

Переписывая отношения факториалов в радиальной части как произведения биномы показывает, что коэффициенты являются целыми числами:

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}{\binom {n-2k}{{\tfrac {n-m}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}}$.

Обозначение как завершающееся Гауссовские гипергеометрические функции полезно для выявления рецидивов, чтобы продемонстрировать, что они являются частными случаями Многочлены Якоби, записать дифференциальные уравнения и т. д .:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2}}}\rho ^{n}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};-n;\rho ^{-2}\right)\\&=(-1)^{\tfrac {n-m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{m}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};1+m;\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}$

для п − м даже.

Фактор ${\displaystyle \rho ^{n-2k}}$ в радиальном полиноме ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$ может быть расширен в Базис Бернштейна из ${\displaystyle b_{s,n/2}(\rho ^{2})}$ даже для ${\displaystyle n}$ или ${\displaystyle \rho }$ раз в зависимости от ${\displaystyle b_{s,(n-1)/2}(\rho ^{2})}$ для нечетных ${\displaystyle n}$ В диапазоне ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor -k\leq s\leq \lfloor n/2\rfloor }$. Следовательно, радиальный многочлен может быть выражен конечным числом многочленов Бернштейна с рациональными коэффициентами:

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {1}{\binom {\lfloor n/2\rfloor }{\lfloor m/2\rfloor }}}\rho ^{n\mod 2}\sum _{s=\lfloor m/2\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{\lfloor n/2\rfloor -s}{\binom {s}{\lfloor m/2\rfloor }}{\binom {(n+m)/2}{s+\lceil m/2\rceil }}b_{s,\lfloor n/2\rfloor }(\rho ^{2}).}$

Последовательные индексы Нолля

Приложения часто включают линейную алгебру, где интегралы по произведениям многочленов Цернике и некоторого другого фактора составляют матричные элементы. Для перечисления строк и столбцов этих матриц одним индексом используется обычное отображение двух индексов. п и м ' к единому индексу j был представлен Ноллом.^[3] Таблица этой ассоциации ${\displaystyle Z_{n}^{m'}\rightarrow Z_{j}}$ начинается следующим образом (последовательность A176988 в OEIS ).${\displaystyle j={\frac {n(n+1)}{2}}+|{m'}|+\left\{{\begin{array}{ll}0,&{m'}>0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}};\\0,&{m'}<0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&{m'}\geq 0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&{m'}\leq 0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}}.\end{array}}\right.}$

п, м '	0,0	1,1	1,−1	2,0	2,−2	2,2	3,−1	3,1	3,−3	3,3
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
п, м '	4,0	4,2	4,−2	4,4	4,−4	5,1	5,−1	5,3	5,−3	5,5
j	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Правило следующее.

• Четные многочлены Цернике Z (с четными азимутальными частями ${\displaystyle \cos(m\varphi )}$, где ${\displaystyle m=m'}$ так как ${\displaystyle m'}$ положительное число) получить четные индексы j.
• Странный Z получает (с нечетными азимутальными частями ${\displaystyle \sin(m\varphi )}$, где ${\displaystyle m=\left\vert {m'}\right\vert }$ так как ${\displaystyle m'}$ отрицательное число) нечетные индексы j.
• В рамках данного п, меньшие значения |м| получить более низкийj.

Стандартные индексы OSA / ANSI

OSA^[4] и ANSI одноиндексные полиномы Цернике с использованием:

${\displaystyle j={\frac {n(n+2)+{m'}}{2}}}$

п, м '	0,0	1,-1	1,1	2,-2	2,0	2,2	3,-3	3,-1	3,1	3,3
j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
п, м '	4,-4	4,-2	4,0	4,2	4,4	5,-5	5,-3	5,-1	5,1	5,3
j	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19

Индексы Fringe / Университета Аризоны

Схема индексации Fringe используется в коммерческом программном обеспечении для проектирования оптики и оптических испытаниях.^[5][6]

${\displaystyle j=\left(1+{\frac {n+|{m'}|}{2}}\right)^{2}-2|{m'}|+{\frac {1-\operatorname {sgn} {m'}}{2}}}$

где ${\displaystyle \operatorname {sgn} m}$ это знак или сигнум функция. Первые 20 дополнительных номеров перечислены ниже.

п, м '	0,0	1,1	1,−1	2,0	2,2	2,-2	3,1	3,-1	4,0	3,3
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
п, м '	3,-3	4,2	4,−2	5,1	5,−1	6,0	4,4	4,-4	5,3	5,-3
j	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Индексы Вайанта

Джеймс С. Вайант использует схему индексации «Fringe», за исключением того, что она начинается с 0 вместо 1 (вычитание 1).^[7] Этот метод обычно используется, включая программное обеспечение для анализа интерферограмм в интерферометрах Zygo и программное обеспечение с открытым исходным кодом DFTFringe.

Свойства

Ортогональность

Ортогональность в радиальной части составляет^[8]

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{n'}^{m}(\rho )\,\rho d\rho =\delta _{n,n'}}$

или

${\displaystyle {\underset {0}{\overset {1}{\mathop {\int } }}}\,R_{n}^{m}(\rho )R_{{n}'}^{m}(\rho )\rho d\rho ={\frac {{\delta }_{n,{n}'}}{2n+2}}.}$

Ортогональность в угловой части представлена элементарный

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\epsilon _{m}\pi \delta _{m,m'},}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =\pi \delta _{m,m'};\quad m\neq 0,}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,}$

где ${\displaystyle \epsilon _{m}}$ (иногда называют Фактор Неймана поскольку он часто появляется вместе с функциями Бесселя) определяется как 2 если ${\displaystyle m=0}$ и 1 если ${\displaystyle m\neq 0}$. Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике по отношению к обоим индексам при интегрировании по единичному кругу,

${\displaystyle \int Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{m'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac {\epsilon _{m}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{m,m'},}$

где ${\displaystyle d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi }$ это Якобиан круговой системы координат, и где ${\displaystyle n-m}$ и ${\displaystyle n'-m'}$ оба четные.

Преобразование Зернике

Любое достаточно гладкое вещественное фазовое поле над единичным кругом ${\displaystyle G(\rho ,\varphi )}$ могут быть представлены через его коэффициенты Цернике (нечетные и четные), точно так же, как периодические функции находят ортогональное представление с Ряд Фурье. У нас есть

${\displaystyle G(\rho ,\varphi )=\sum _{m,n}\left[a_{m,n}Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )+b_{m,n}Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right],}$

где коэффициенты можно вычислить с помощью внутренние продукты. На пространстве ${\displaystyle L^{2}}$ функций на единичном диске, существует внутренний продукт, определяемый

${\displaystyle \langle F,G\rangle :=\int F(\rho ,\varphi )G(\rho ,\varphi )\rho d\rho d\varphi .}$

Тогда коэффициенты Цернике можно выразить следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )\right\rangle ,\\b_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right\rangle .\end{aligned}}}$

В качестве альтернативы можно использовать известные значения фазовой функции г на круговой сетке, чтобы сформировать систему уравнений. Фазовая функция извлекается с помощью взвешенного произведения с неизвестными коэффициентами с (известными значениями) полинома Цернике по единичной сетке. Следовательно, коэффициенты также могут быть найдены путем решения линейной системы, например, путем обращения матрицы. В быстрых алгоритмах вычисления прямого и обратного преобразования Цернике используются свойства симметрии тригонометрический функции, разделимость радиальной и азимутальной частей полиномов Цернике и их вращательные симметрии.

Симметрии

Четность относительно отражения вдоль Икс ось

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=(-1)^{m}Z_{n}^{m}(\rho ,-\varphi ).}$

Четность относительно отражения точки в центре координат равна

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=(-1)^{m}Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi +\pi ),}$

где ${\displaystyle (-1)^{m}}$ также можно было бы написать ${\displaystyle (-1)^{n}}$ потому что ${\displaystyle n-m}$ является четным для соответствующих ненулевых значений. Радиальные многочлены также могут быть четными или нечетными, в зависимости от порядка п или м:

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{n}R_{n}^{m}(-\rho )=(-1)^{m}R_{n}^{m}(-\rho ).}$

Периодичность тригонометрических функций подразумевает инвариантность при повороте на кратные ${\displaystyle 2\pi /m}$ радиан вокруг центра:

${\displaystyle Z_{n}^{m}\left(\rho ,\varphi +{\tfrac {2\pi k}{m}}\right)=Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi ),\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots .}$

Отношения рецидива

Многочлены Цернике удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, которое не зависит ни от степени, ни от азимутального порядка радиальных многочленов:^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )+R_{n-2}^{m}(\rho )=\rho \left[R_{n-1}^{\left|m-1\right|}(\rho )+R_{n-1}^{m+1}(\rho )\right]{\text{ .}}\end{aligned}}}$

Из определения ${\displaystyle R_{n}^{m}}$ видно, что ${\displaystyle R_{m}^{m}(\rho )=\rho ^{m}}$ и ${\displaystyle R_{m+2}^{m}(\rho )=((m+2)\rho ^{2}-(m+1))\rho ^{m}}$. Следующее трехчленное рекуррентное соотношение^[10] затем позволяет вычислить все остальные ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$:

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {2(n-1)(2n(n-2)\rho ^{2}-m^{2}-n(n-2))R_{n-2}^{m}(\rho )-n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^{m}(\rho )}{(n+m)(n-m)(n-2)}}{\text{ .}}}$

Вышеупомянутое соотношение особенно полезно, поскольку производная от ${\displaystyle R_{n}^{m}}$ можно вычислить из двух радиальных многочленов Цернике смежной степени:^[10]

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\rho }}R_{n}^{m}(\rho )={\frac {(2nm(\rho ^{2}-1)+(n-m)(m+n(2\rho ^{2}-1)))R_{n}^{m}(\rho )-(n+m)(n-m)R_{n-2}^{m}(\rho )}{2n\rho (\rho ^{2}-1)}}{\text{ .}}}$

Примеры

Радиальные многочлены

Первые несколько радиальных многочленов:

${\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1\,}$

${\displaystyle R_{1}^{1}(\rho )=\rho \,}$

${\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1\,}$

${\displaystyle R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho \,}$

${\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}\,}$

${\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1\,}$

${\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}\,}$

${\displaystyle R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho \,}$

${\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}\,}$

${\displaystyle R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1\,}$

${\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}\,}$

${\displaystyle R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.\,}$

Полиномы Цернике

Первые несколько режимов Зернике с OSA / ANSI и Нолл одиночные индексы, показаны ниже. Они нормализованы так, что: ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}Z^{2}\cdot \rho \,d\rho \,d\phi =\pi }$.

	OSA / ANSI показатель (${\displaystyle j}$)	Нолл показатель (${\displaystyle j}$)	Wyant показатель (${\displaystyle j}$)	Бахрома / UA показатель (${\displaystyle j}$)	Радиальный степень (${\displaystyle n}$)	Азимутальный степень (${\displaystyle m}$)	${\displaystyle Z_{j}}$	Классическое название
${\displaystyle Z_{0}^{0}}$	00	01	00	01	0	00	${\displaystyle 1}$	Поршень (увидеть, Распределение полукруга Вигнера )
${\displaystyle Z_{1}^{-1}}$	01	03	02	03	1	−1	${\displaystyle 2\rho \sin \phi }$	Наклон (Y-наклон, вертикальный наклон)
${\displaystyle Z_{1}^{1}}$	02	02	01	02	1	+1	${\displaystyle 2\rho \cos \phi }$	Подсказка (X-Tilt, горизонтальный наклон)
${\displaystyle Z_{2}^{-2}}$	03	05	05	06	2	−2	${\displaystyle {\sqrt {6}}\rho ^{2}\sin 2\phi }$	Косой астигматизм
${\displaystyle Z_{2}^{0}}$	04	04	03	04	2	00	${\displaystyle {\sqrt {3}}(2\rho ^{2}-1)}$	Расфокусировать (продольное положение)
${\displaystyle Z_{2}^{2}}$	05	06	04	05	2	+2	${\displaystyle {\sqrt {6}}\rho ^{2}\cos 2\phi }$	Вертикальный астигматизм
${\displaystyle Z_{3}^{-3}}$	06	09	10	11	3	−3	${\displaystyle {\sqrt {8}}\rho ^{3}\sin 3\phi }$	Вертикальный трилистник
${\displaystyle Z_{3}^{-1}}$	07	07	07	08	3	−1	${\displaystyle {\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\sin \phi }$	Вертикальная кома
${\displaystyle Z_{3}^{1}}$	08	08	06	07	3	+1	${\displaystyle {\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\cos \phi }$	Горизонтальная кома
${\displaystyle Z_{3}^{3}}$	09	10	09	10	3	+3	${\displaystyle {\sqrt {8}}\rho ^{3}\cos 3\phi }$	Косой трилистник
${\displaystyle Z_{4}^{-4}}$	10	15	17	18	4	−4	${\displaystyle {\sqrt {10}}\rho ^{4}\sin 4\phi }$	Наклонный четырехлистник
${\displaystyle Z_{4}^{-2}}$	11	13	12	13	4	−2	${\displaystyle {\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\sin 2\phi }$	Косой вторичный астигматизм
${\displaystyle Z_{4}^{0}}$	12	11	08	09	4	00	${\displaystyle {\sqrt {5}}(6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1)}$	Первичная сферическая
${\displaystyle Z_{4}^{2}}$	13	12	11	12	4	+2	${\displaystyle {\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\cos 2\phi }$	Вертикальный вторичный астигматизм
${\displaystyle Z_{4}^{4}}$	14	14	16	17	4	+4	${\displaystyle {\sqrt {10}}\rho ^{4}\cos 4\phi }$	Вертикальный четырехлистник

Приложения

Дальнейшая информация: Optical_aberration § Zernike_model_of_aberration

Функции являются основой определяется по области круговой поддержки, обычно в плоскости зрачка классической оптической визуализации при видимых и инфракрасных диапазонах длин волн через систему линз и зеркала конечного диаметра. Их преимущества - это простые аналитические свойства, унаследованные от простоты радиальных функций и факторизации радиальных и азимутальных функций; это приводит, например, к выражениям в замкнутой форме двумерных преобразование Фурье в терминах функций Бесселя.^[11][12] Их недостаток, особенно если высокий п участвуют, является неравномерным распределением узловых линий по единичному диску, что вносит эффекты звона вблизи периметра ${\displaystyle \rho \approx 1}$, что часто приводит к попыткам определить другие ортогональные функции над круговым диском.^[13][14][15]

В прецизионном оптическом производстве полиномы Цернике используются для характеристики ошибок более высокого порядка, наблюдаемых при интерферометрическом анализе. В датчиках наклона волнового фронта, таких как Шак-Хартманн Коэффициенты Цернике волнового фронта могут быть получены путем подгонки измеренных наклонов с помощью полиномиальных производных Цернике, усредненных по субапертурам выборки.^[16] В оптометрия и офтальмология, Полиномы Цернике используются для описания аберрации волнового фронта из роговица или линза от идеальной сферической формы, в результате чего ошибки рефракции. Они также обычно используются в адаптивная оптика, где они могут быть использованы для характеристики атмосферное искажение. Очевидными приложениями для этого являются инфракрасная или визуальная астрономия и спутниковые снимки.

Другое применение полиномов Цернике можно найти в расширенной теории Нейбура – ​​Цернике. дифракция и аберрации.

Многочлены Цернике широко используются как базисные функции имиджевые моменты. Поскольку многочлены Цернике равны ортогональный по отношению друг к другу моменты Зернике могут представлять свойства изображения без избыточности или перекрытия информации между моментами. Хотя моменты Зернике существенно зависят от масштабирование и перевод объекта в регион интереса (ROI), их величины не зависят от угла поворота объекта.^[17] Таким образом, их можно использовать для извлечения Особенности из изображений, описывающих характеристики формы объекта. Например, моменты Зернике используются в качестве дескрипторов формы для классификации доброкачественных и злокачественных груди^[18] или поверхность вибрирующих дисков.^[19] Моменты Зернике также использовались для количественной оценки формы линий раковых клеток остеосаркомы на уровне отдельных клеток.^[20]

Высшие измерения

Концепция транслируется в более высокие измерения D если многочлены ${\displaystyle x_{1}^{i}x_{2}^{j}\cdots x_{D}^{k}}$ в декартовых координатах преобразуются в гиперсферические координаты, ${\displaystyle \rho ^{s},s\leq D}$, умноженный на произведение многочленов Якоби от угловых переменных. В ${\displaystyle D=3}$ размеры, угловые переменные сферические гармоники, Например. Линейные сочетания сил ${\displaystyle \rho ^{s}}$ определить ортогональный базис ${\displaystyle R_{n}^{(l)}(\rho )}$ удовлетворение

${\displaystyle \int _{0}^{1}\rho ^{D-1}R_{n}^{(l)}(\rho )R_{n'}^{(l)}(\rho )d\rho =\delta _{n,n'}}$.

(Обратите внимание, что фактор ${\displaystyle {\sqrt {2n+D}}}$ поглощен определением р здесь, тогда как в ${\displaystyle D=2}$ нормализация выбрана несколько иначе. Это в значительной степени дело вкуса, в зависимости от того, желаете ли вы сохранить целочисленный набор коэффициентов или предпочитаете более точные формулы, если задействована ортогонализация.) Явное представление

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{(l)}(\rho )&={\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{n-s-1+{\tfrac {D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{n-2s}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{s-1+{\tfrac {n+l+D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{2s+l}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}{{\tfrac {n+l+D}{2}}-1 \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{l}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n-l}{2}},{\tfrac {n+l+D}{2}};l+{\tfrac {D}{2}};\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}$

даже для ${\displaystyle n-l\geq 0}$, остальное равно нулю.

Смотрите также

• Многочлены Якоби
• Теория Нейбура – ​​Зернике
• Псевдо-полиномы Цернике

использованная литература

1. Зернике, Ф. (1934). "Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode". Physica. 1 (8): 689–704. Bibcode:1934Phy ..... 1..689Z. Дои:10.1016 / S0031-8914 (34) 80259-5.
2. Родился, Макс & Вольф, Эмиль (1999). Принципы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (7-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 986. ISBN  9780521642224.
3. Нолл, Р. Дж. (1976). «Полиномы Цернике и атмосферная турбулентность» (PDF). J. Opt. Soc. Am. 66 (3): 207. Bibcode:1976JOSA ... 66..207N. Дои:10.1364 / JOSA.66.000207.
4. Thibos, L.N .; Applegate, R.A .; Schwiegerling, J. T .; Уэбб Р. (2002). «Стандарты отчетности об оптических аберрациях глаз» (PDF). Журнал рефракционной хирургии. 18 (5): S652-60. PMID  12361175.
5. Лумис, Дж., "Компьютерная программа для анализа интерферометрических данных", Оптические интерферограммы, сокращение и интерпретация, ASTM STP 666, AH Guenther и DH Liebenberg, Eds., Американское общество испытаний и материалов, 1978, стр. 71–86 .
6. Генберг, В. Л .; Michels, G.J .; Дойл, К. Б. (2002). «Ортогональность многочленов Цернике». Оптомеханическое проектирование и инжиниринг 2002 г.. Proc SPIE. 4771. С. 276–286. Дои:10.1117/12.482169.
7. Эрик П. Гудвин; Джеймс С. Вайант (2006). Полевое руководство по интерферометрическому оптическому тестированию. п. 25. ISBN  0-8194-6510-0.
8. Lakshminarayanan, V .; Флек, Андре (2011). «Многочлены Цернике: руководство». J. Mod. Opt. 58 (7): 545–561. Bibcode:2011JMOp ... 58..545л. Дои:10.1080/09500340.2011.554896. S2CID  120905947.
9. Хонарвар Шакибаи, Бармак (2013). «Рекурсивная формула для вычисления радиальных многочленов Цернике». Опт. Латыш. 38 (14): 2487–2489. Дои:10.1364 / OL.38.002487. PMID  23939089.
10. Кинтнер, Э. К. (1976). «О математических свойствах полиномов Цернике». Опт. Acta. 23 (8): 679–680. Bibcode:1976AcOpt..23..679K. Дои:10.1080/713819334.
11. Татулли, Э. (2013). «Преобразование коэффициентов Цернике: метод на основе Фурье для масштабированных, сдвинутых и повернутых апертур волнового фронта». J. Opt. Soc. Am. А. 30 (4): 726–32. arXiv:1302.7106. Bibcode:2013JOSAA..30..726T. Дои:10.1364 / JOSAA.30.000726. PMID  23595334. S2CID  23491106.
12. Янссен, А. Дж. Э. М. (2011). «Новые аналитические результаты для полиномов окружности Цернике из основного результата теории дифракции Нейбора-Цернике». Журнал Европейского оптического общества: быстрые публикации. 6: 11028. Bibcode:2011JEOS .... 6E1028J. Дои:10.2971 / jeos.2011.11028.
13. Баракат, Ричард (1980). "Оптимальные сбалансированные аберрации волнового фронта для радиально-симметричных распределений амплитуды: Обобщения полиномов Цернике". J. Opt. Soc. Am. 70 (6): 739–742. Bibcode:1980JOSA ... 70..739B. Дои:10.1364 / JOSA.70.000739.
14. Янссен, А. Дж. Э. М. (2011). «Обобщение полиномов круга Цернике для прямых и обратных задач теории дифракции». arXiv:1110.2369 [математика ].
15. Матар, Р. Дж. (2018). «Ортогональная базисная функция над единичной окружностью с минимаксным свойством». arXiv:1802.09518 [math.NA ].
16. Аконди, Вьяс; Дубра, Альфредо (22 июня 2020 г.). «Средний градиент полиномов Цернике по многоугольникам». Оптика Экспресс. 28 (13): 18876–18886. Дои:10.1364 / OE.393223. ISSN  1094-4087. PMID  32672177.
17. Тахмасби, А. (2010). Эффективная система диагностики массы груди с использованием моментов Цернике. 17-я Иранская конф. по биомедицинской инженерии (ICBME'2010). Исфахан, Иран: IEEE. С. 1–4. Дои:10.1109 / ICBME.2010.5704941.
18. Тахмасби, А .; Саки, Ф .; Шокухи, С. (2011). «Классификация доброкачественных и злокачественных образований на основе моментов Зернике». Компьютеры в биологии и медицине. 41 (8): 726–735. Дои:10.1016 / j.compbiomed.2011.06.009. PMID  21722886.
19. Рдзанек, В. П. (2018). «Звуковое излучение колеблющейся круглой пластины с упругой опорой, встроенной в плоский экран, пересмотренное с использованием круговых полиномов Цернике». J. Sound Vibr. 434: 91–125. Bibcode:2018JSV ... 434 ... 92R. Дои:10.1016 / j.jsv.2018.07.035.
20. Ализаде, Элахе; Lyons, Samanthe M; Замок, Иордания M; Прасад, Ашок (2016). «Измерение систематических изменений в форме инвазивных раковых клеток с использованием моментов Зернике». Интегративная биология. 8 (11): 1183–1193. Дои:10.1039 / C6IB00100A. PMID  27735002.

• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Цернике». MathWorld.
• Андерсен, Торбен Б. (2018). «Эффективные и надежные рекуррентные соотношения для многочленов окружности Цернике и их производных в декартовых координатах». Опт. Экспресс. 26 (15): 18878–18896. Bibcode:2018OExpr..2618878A. Дои:10.1364 / OE.26.018878. PMID  30114148.
• Bhatia, A.B .; Вольф, Э. (1952). «Многочлены круга Цернике, встречающиеся в теории дифракции». Proc. Phys. Soc. B. 65 (11): 909–910. Bibcode:1952ППСБ ... 65..909Б. Дои:10.1088/0370-1301/65/11/112.
• Callahan, P.G .; Де Грэф, М. (2012). «Подгонка и реконструкция формы преципитата с помощью функций 3D Цернике». Модель. Simul. Мат. Sci. Энгин. 20 (1): 015003. Bibcode:2012MSMSE..20a5003C. Дои:10.1088/0965-0393/20/1/015003.
• Кэмпбелл, К. Э. (2003). «Матричный метод для нахождения нового набора коэффициентов Цернике формирует исходный набор при изменении радиуса апертуры». J. Opt. Soc. Am. А. 20 (2): 209. Bibcode:2003JOSAA..20..209C. Дои:10.1364 / JOSAA.20.000209. PMID  12570287.
• Cerjan, C. (2007). «Представление Цернике-Бесселя и его приложение к преобразованиям Ганкеля». J. Opt. Soc. Am. А. 24 (6): 1609–16. Bibcode:2007JOSAA..24.1609C. Дои:10.1364 / JOSAA.24.001609. PMID  17491628.
• Комастри, С. А .; Perez, L. I .; Perez, G.D .; Martin, G .; Бастида Цержан, К. (2007). «Коэффициенты расширения Цернике: изменение масштаба и децентрализация для разных учеников и оценка аберраций роговицы». J. Opt. Soc. Am. А. 9 (3): 209–221. Bibcode:2007JOptA ... 9..209C. Дои:10.1088/1464-4258/9/3/001.
• Конфорти, Г. (1983). «Коэффициенты аберрации Цернике от Зейделя и коэффициенты степенного ряда более высокого порядка». Опт. Латыш. 8 (7): 407–408. Bibcode:1983 ОптЛ .... 8..407С. Дои:10.1364 / OL.8.000407. PMID  19718130.
• Дай, Г-м .; Махаджан, В. Н. (2007). «Кольцевые многочлены Цернике и атмосферная турбулентность». J. Opt. Soc. Am. А. 24 (1): 139. Bibcode:2007JOSAA..24..139D. Дои:10.1364 / JOSAA.24.000139. PMID  17164852.
• Дай, Г-м. (2006). «Масштабирование коэффициентов расширения Цернике к меньшим размерам зрачка: более простая формула». J. Opt. Soc. Am. А. 23 (3): 539. Bibcode:2006JOSAA..23..539D. Дои:10.1364 / JOSAA.23.000539. PMID  16539048.
• Díaz, J. A .; Fernández-Dorado, J .; Pizarro, C .; Араса, Дж. (2009). «Коэффициенты Цернике для концентрических, круговых, масштабных учеников: эквивалентное выражение». Журнал современной оптики. 56 (1): 149–155. Bibcode:2009JMOp ... 56..149D. Дои:10.1080/09500340802531224. S2CID  122620015.
• Díaz, J. A .; Фернандес-Дорадо, Х. «Коэффициенты Цернике для концентрических, круговых и масштабных зрачков». из Демонстрационного проекта Вольфрама.
• Фарохи, Саджад; Шамсуддин, Сити Мариям; Flusser, Ян; Sheikh, U.U .; Хансари, Мохаммад; Джафари-Хузани, Курош (2013). «Распознавание лиц в ближнем инфракрасном диапазоне с инвариантным вращением и шумом с помощью моментов Цернике и спектрального регрессионного дискриминантного анализа». Журнал электронного изображения. 22 (1): 013030. Bibcode:2013JEI .... 22a3030F. Дои:10.1117 / 1.JEI.22.1.013030. S2CID  16758261.
• Gu, J .; Shu, H. Z .; Toumoulin, C .; Луо, Л. М. (2002). «Новый алгоритм для быстрого вычисления моментов Зернике». Распознавание образов. 35 (12): 2905–2911. Дои:10.1016 / S0031-3203 (01) 00194-7.
• Херрманн, Дж. (1981). «Перекрестная связь и наложение спектров при оценке модального волнового фронта». J. Opt. Soc. Am. 71 (8): 989. Bibcode:1981JOSA ... 71..989H. Дои:10.1364 / JOSA.71.000989.
• Hu, P.H .; Stone, J .; Стэнли, Т. (1989). «Применение полиномов Цернике к задачам распространения в атмосфере». J. Opt. Soc. Am. А. 6 (10): 1595. Bibcode:1989JOSAA ... 6.1595H. Дои:10.1364 / JOSAA.6.001595.
• Кинтнер, Э. К. (1976). «О математических свойствах полиномов Цернике». Опт. Acta. 23 (8): 679–680. Bibcode:1976AcOpt..23..679K. Дои:10.1080/713819334.
• Лоуренс, Г. Н .; Чоу, В. В. (1984). "Томография волнового фронта методом разложения полиномов Цернике". Опт. Латыш. 9 (7): 267. Bibcode:1984OptL .... 9..267L. Дои:10.1364 / OL.9.000267. PMID  19721566.
• Лю, Хайгуан; Моррис, Ричард Дж .; Hexemer, A .; Грандисон, Скотт; Зварт, Питер Х. (2012). «Расчет профилей малоуглового рассеяния с трехмерными полиномами Цернике». Acta Crystallogr. А. 68 (2): 278–285. Дои:10.1107 / S010876731104788X. PMID  22338662.
• Lundström, L .; Унсбо, П. (2007). «Преобразование коэффициентов Цернике: масштабированные, сдвинутые и повернутые волновые фронты с круглыми и эллиптическими зрачками». J. Opt. Soc. Am. А. 24 (3): 569–77. Bibcode:2007JOSAA..24..569L. Дои:10.1364 / JOSAA.24.000569. PMID  17301846.
• Махаджан, В. Н. (1981). «Кольцевые многочлены Цернике для систем визуализации с кольцевыми зрачками». J. Opt. Soc. Am. 71: 75. Bibcode:1981JOSA ... 71 ... 75M. Дои:10.1364 / JOSA.71.000075.
• Матар, Р. Дж. (2007). "Метод Ньютона третьего порядка для полиномиальных нулей Цернике". arXiv:0705.1329 [math.NA ].
• Матар, Р. Дж. (2009). «Основание Зернике декартовых преобразований». Сербский астрономический журнал. 179 (179): 107–120. arXiv:0809.2368. Bibcode:2009SerAJ.179..107M. Дои:10.2298 / SAJ0979107M. S2CID  115159231.
• Prata Jr, A .; Руш, В. В. Т. (1989). «Алгоритм вычисления коэффициентов разложения многочленов Цернике». Appl. Opt. 28 (4): 749–54. Bibcode:1989АпОпт..28..749P. Дои:10.1364 / AO.28.000749. PMID  20548554.
• Швигерлинг, Дж. (2002). «Масштабирование коэффициентов расширения Цернике для разных размеров зрачка». J. Opt. Soc. Am. А. 19 (10): 1937–45. Bibcode:2002JOSAA..19.1937S. Дои:10.1364 / JOSAA.19.001937. PMID  12365613.
• Шеппард, К. Дж. Р.; Кэмпбелл, S .; Хиршхорн, М. Д. (2004). «Разложение Цернике разделимых функций в декартовых координатах». Appl. Opt. 43 (20): 3963–6. Bibcode:2004ApOpt..43.3963S. Дои:10.1364 / AO.43.003963. PMID  15285082.
• Shu, H .; Luo, L .; Han, G .; Коатрие, Ж.-Л. (2006). «Общий метод получения взаимосвязи между двумя наборами коэффициентов Цернике, соответствующих разным размерам апертуры». J. Opt. Soc. Am. А. 23 (8): 1960–1966. Bibcode:2006JOSAA..23.1960S. Дои:10.1364 / JOSAA.23.001960. ЧВК  1961626. PMID  16835654.
• Swantner, W .; Чоу, В. В. (1994). «Ортогонализация по Граму-Шмидту полиномов Цернике для общей формы апертуры». Appl. Opt. 33 (10): 1832–7. Bibcode:1994ApOpt..33.1832S. Дои:10.1364 / AO.33.001832. PMID  20885515.
• Танго, В. Дж. (1977). «Круговые многочлены Зернике и их применение в оптике». Appl. Phys. А. 13 (4): 327–332. Bibcode:1977ApPhy..13..327T. Дои:10.1007 / BF00882606. S2CID  120469275.
• Тайсон, Р. К. (1982). «Преобразование коэффициентов аберрации Цернике в коэффициенты аберрации Зейделя и степенных рядов более высокого порядка». Опт. Латыш. 7 (6): 262. Bibcode:1982 ОптЛ .... 7..262Т. Дои:10.1364 / OL.7.000262. PMID  19710893.
• Wang, J. Y .; Сильва, Д. Э. (1980). «Интерпретация волнового фронта с помощью полиномов Цернике». Appl. Opt. 19 (9): 1510–8. Bibcode:1980ApOpt .. 19,15 · 10 Вт. Дои:10.1364 / AO.19.001510. PMID  20221066.
• Баракат, Р. (1980). "Оптимальные сбалансированные аберрации волнового фронта для радиально-симметричных распределений амплитуды: Обобщения полиномов Цернике". J. Opt. Soc. Am. 70 (6): 739. Bibcode:1980JOSA ... 70..739B. Дои:10.1364 / JOSA.70.000739.
• тен Браммелаар, Т. А. (1996). «Моделирование атмосферных волновых аберраций и астрономических приборов с использованием полиномов Зернике». Опт. Сообщество. 132 (3–4): 329–342. Bibcode:1996OptCo.132..329T. Дои:10.1016/0030-4018(96)00407-5.
• Новотни, М .; Кляйн, Р. (2003). 3D-дескрипторы Цернике для извлечения формы на основе содержимого (PDF). Материалы 8-го симпозиума ACM по твердотельному моделированию и приложениям. п. 216. CiteSeerX  10.1.1.14.4970. Дои:10.1145/781606.781639. ISBN  978-1581137064. S2CID  10514681.
• Новотни, М .; Кляйн, Р. (2004). «Получение формы с использованием трехмерных дескрипторов Цернике» (PDF). Системы автоматизированного проектирования. 36 (11): 1047–1062. CiteSeerX  10.1.1.71.8238. Дои:10.1016 / j.cad.2004.01.005.
• Фарохи, Саджад; Шамсуддин, Сити Мариям; Sheikh, U.U .; Флюссер, янв (2014). "Распознавание лиц в ближнем инфракрасном диапазоне: сравнение подходов на основе моментов". Конспект лекций по электротехнике. 291 (1): 129–135. Дои:10.1007/978-981-4585-42-2_15.
• Фарохи, Саджад; Шамсуддин, Сити Мариям; Flusser, Ян; Sheikh, U.U .; Хансари, Мохаммад; Джафари-Хузани, Курош (2014). «Распознавание лиц в ближнем инфракрасном диапазоне путем комбинирования моментов Зернике и недецимации дискретного вейвлет-преобразования». Цифровая обработка сигналов. 31 (1): 13–27. Дои:10.1016 / j.dsp.2014.04.008.

внешние ссылки

• Расширенный веб-сайт Ниджбоэр-Зернике
• Код MATLAB для быстрого вычисления моментов Цернике
• Библиотека Python / NumPy для вычисления полиномов Цернике
• Аберрации Цернике в Оптика телескопа
• Пример: использование WolframAlpha для построения полиномов Цернике
• orthopy, пакет Python, вычисляющий ортогональные многочлены (включая многочлены Цернике)