В математика , псевдо-полиномы Цернике хорошо известны и широко используются при анализе оптический системы. Они также широко используются в анализ изображений в качестве дескрипторы формы .
Определение Они ортогональный набор из сложный -значен многочлены определяется как
V п м ( Икс , у ) = р п м ( Икс , у ) е j м арктан ( у Икс ) , {displaystyle V_ {nm} (x, y) = R_ {nm} (x, y) e ^ {jmarctan ({frac {y} {x}})},} куда Икс 2 + у 2 ≤ 1 , п ≥ 0 , | м | ≤ п {displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} leq 1, ngeq 0, | m | leq n} единичный диск дается как
∫ 0 2 π ∫ 0 1 р [ V п л ( р потому что θ , р грех θ ) ] ∗ × V м k ( р потому что θ , р грех θ ) d р d θ = π п + 1 δ м п δ k л , {displaystyle int _ {0} ^ {2pi} int _ {0} ^ {1} r [V_ {nl} (rcos heta, rsin heta)] ^ {*} imes V_ {mk} (rcos heta, rsin heta) , dr, d heta = {frac {pi} {n + 1}} delta _ {mn} delta _ {kl},} где звездочка означает комплексное сопряжение, а р 2 = Икс 2 + у 2 {displaystyle r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}} Икс = р потому что θ {displaystyle x = rcos heta} у = р грех θ {displaystyle y = rsin heta}
Радиальные многочлены р п м {displaystyle R_ {nm}} [1]
р п м ( Икс , у ) = ∑ s = 0 п − | м | D п , | м | , s ( Икс 2 + у 2 ) ( п − s ) / 2 {displaystyle R_ {nm} (x, y) = сумма _ {s = 0} ^ {n- | m |} D_ {n, | m |, s} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {(нс) / 2}}
с целыми коэффициентами
D п , м , s = ( − 1 ) s ( 2 п + 1 − s ) ! s ! ( п − м − s ) ! ( п + м − s + 1 ) ! . {displaystyle D_ {n, m, s} = (- 1) ^ {s} {frac {(2n + 1-s)!} {s! (nms)! (n + m-s + 1)!}} .} Примеры Примеры:
р 0 , 0 = 1 {displaystyle R_ {0,0} = 1}
р 1 , 0 = − 2 + 3 р {displaystyle R_ {1,0} = - 2 + 3r}
р 1 , 1 = р {displaystyle R_ {1,1} = r}
р 2 , 0 = 3 + 10 р 2 − 12 р {displaystyle R_ {2,0} = 3 + 10r ^ {2} -12r}
р 2 , 1 = 5 р 2 − 4 р {displaystyle R_ {2,1} = 5r ^ {2} -4r}
р 2 , 2 = р 2 {displaystyle R_ {2,2} = r ^ {2}}
р 3 , 0 = − 4 + 35 р 3 − 60 р 2 + 30 р {displaystyle R_ {3,0} = - 4 + 35r ^ {3} -60r ^ {2} + 30r}
р 3 , 1 = 21 р 3 − 30 р 2 + 10 р {displaystyle R_ {3,1} = 21r ^ {3} -30r ^ {2} + 10r}
р 3 , 2 = 7 р 3 − 6 р 2 {displaystyle R_ {3,2} = 7r ^ {3} -6r ^ {2}}
р 3 , 3 = р 3 {displaystyle R_ {3,3} = r ^ {3}}
р 4 , 0 = 5 + 126 р 4 − 280 р 3 + 210 р 2 − 60 р {displaystyle R_ {4,0} = 5 + 126r ^ {4} -280r ^ {3} + 210r ^ {2} -60r}
р 4 , 1 = 84 р 4 − 168 р 3 + 105 р 2 − 20 р {displaystyle R_ {4,1} = 84r ^ {4} -168r ^ {3} + 105r ^ {2} -20r}
р 4 , 2 = 36 р 4 − 56 р 3 + 21 р 2 {displaystyle R_ {4,2} = 36r ^ {4} -56r ^ {3} + 21r ^ {2}}
р 4 , 3 = 9 р 4 − 8 р 3 {displaystyle R_ {4,3} = 9r ^ {4} -8r ^ {3}}
р 4 , 4 = р 4 {displaystyle R_ {4,4} = r ^ {4}}
р 5 , 0 = − 6 + 462 р 5 − 1260 р 4 + 1260 р 3 − 560 р 2 + 105 р {displaystyle R_ {5,0} = - 6 + 462r ^ {5} -1260r ^ {4} + 1260r ^ {3} -560r ^ {2} + 105r}
р 5 , 1 = 330 р 5 − 840 р 4 + 756 р 3 − 280 р 2 + 35 р {displaystyle R_ {5,1} = 330r ^ {5} -840r ^ {4} + 756r ^ {3} -280r ^ {2} + 35r}
р 5 , 2 = 165 р 5 − 360 р 4 + 252 р 3 − 56 р 2 {displaystyle R_ {5,2} = 165r ^ {5} -360r ^ {4} + 252r ^ {3} -56r ^ {2}}
р 5 , 3 = 55 р 5 − 90 р 4 + 36 р 3 {displaystyle R_ {5,3} = 55r ^ {5} -90r ^ {4} + 36r ^ {3}}
р 5 , 4 = 11 р 5 − 10 р 4 {displaystyle R_ {5,4} = 11r ^ {5} -10r ^ {4}}
р 5 , 5 = р 5 {displaystyle R_ {5,5} = r ^ {5}}
Моменты Псевдо-Зернике Моменты порядка (PZM) п {displaystyle n} л {displaystyle l}
А п л = п + 1 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 [ V п л ( р потому что θ , р грех θ ) ] ∗ ж ( р потому что θ , р грех θ ) р d р d θ , {displaystyle A_ {nl} = {frac {n + 1} {pi}} int _ {0} ^ {2pi} int _ {0} ^ {1} [V_ {nl} (rcos heta, rsin heta)] ^ {*} f (rcos heta, rsin heta) r, dr, d heta,} куда п = 0 , … ∞ {displaystyle n = 0, ldots infty} л {displaystyle l} целое число ценности при условии | л | ≤ п {displaystyle | l | leq n}
Функция изображения может быть восстановлена путем разложения коэффициентов псевдо-Цернике на единичном диске как
ж ( Икс , у ) = ∑ п = 0 ∞ ∑ л = − п + п А п л V п л ( Икс , у ) . {displaystyle f (x, y) = sum _ {n = 0} ^ {infty} sum _ {l = -n} ^ {+ n} A_ {nl} V_ {nl} (x, y).} Моменты псевдо-Цернике происходят из общепринятых Моменты Зернике и показать, чтобы быть более надежным и менее чувствительным к изображению шум чем моменты Зернике.[1]
Смотрите также Рекомендации ^ а б Teh, C.-H .; Чин Р. (1988). «Об анализе изображений методами моментов». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу . 10 (4): 496–513. Дои :10.1109/34.3913 . Белкасим, С .; Ahmadi, M .; Шридхар, М. (1996). «Эффективный алгоритм для быстрого вычисления моментов Зернике». Журнал Института Франклина . 333 (4): 577–581. Дои :10.1016/0016-0032(96)00017-8 . Haddadnia, J .; Ahmadi, M .; Фаэз, К. (2003). «Эффективный метод извлечения признаков с псевдо-нулевым моментом в системе распознавания человеческих лиц на основе нейронной сети RF» . Журнал EURASIP по прикладной обработке сигналов . 2003 (9): 890–901. Bibcode :2003EJASP2003..146H . Дои :10.1155 / S1110865703305128 Т.-В. Линь; Ю.-Ф. Чжоу (2003). Сравнительное исследование моментов Зернике . Материалы Международной конференции IEEE / WIC по веб-аналитике. С. 516–519. Дои :10.1109 / WI.2003.1241255 . ISBN 0-7695-1932-6 Chong, C.-W .; Raveendran, P .; Мукундан, Р. (2003). «Масштабные инварианты псевдо-моментов Зернике» (PDF) . Pattern Anal. Приложение . 6 (3): 176–184. Дои :10.1007 / s10044-002-0183-5 . Чонг, Чи-Вэй; Mukundan, R .; Равендран, П. (2003). «Эффективный алгоритм для быстрого вычисления моментов псевдо-Цернике» (PDF) . Int. J. Распознавание образов. Артиф. Int . 17 (6): 1011–1023. Дои :10.1142 / S0218001403002769 . HDL :10092/448 . Шатлер, Джейми (1992). "Сложные моменты Зернике" . 
![{displaystyle int _ {0} ^ {2pi} int _ {0} ^ {1} r [V_ {nl} (rcos heta, rsin heta)] ^ {*} imes V_ {mk} (rcos heta, rsin heta) , dr, d heta = {frac {pi} {n + 1}} delta _ {mn} delta _ {kl},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214213ac74ccc5cdcb393dd0c96e3614b13da296)
![{displaystyle A_ {nl} = {frac {n + 1} {pi}} int _ {0} ^ {2pi} int _ {0} ^ {1} [V_ {nl} (rcos heta, rsin heta)] ^ {*} f (rcos heta, rsin heta) r, dr, d heta,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69ea395ffd749f711bc22287c5d0feacf6c64c7c)
