Момент изображения - Image moment

В обработка изображений, компьютерное зрение и связанных областях, момент изображения - некая конкретная средневзвешенная (момент ) интенсивности пикселей изображения или функции таких моментов, обычно выбираемых для того, чтобы иметь какое-то привлекательное свойство или интерпретацию.

Моменты изображения полезны для описания объектов после сегментация. Простые свойства изображения которые найдены через моменты изображения включают площадь (или общую интенсивность), ее центроид, и информация о его ориентации.

Сырые моменты

Для двумерной непрерывной функции ж(Икс,у) момент (иногда называемый «сырым моментом») порядка (п + q) определяется как

${\displaystyle M_{pq}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{p}y^{q}f(x,y)\,dx\,dy}$

за п,q = 0,1,2, ... Адаптация к скалярному (в оттенках серого) изображению с интенсивностью пикселей я(Икс,у), моменты сырых изображений M_ij рассчитываются

${\displaystyle M_{ij}=\sum _{x}\sum _{y}x^{i}y^{j}I(x,y)\,\!}$

В некоторых случаях это можно рассчитать, рассматривая изображение как функция плотности вероятности, т.е., разделив указанное выше на

${\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}I(x,y)\,\!}$

Теорема единственности (Hu [1962]) утверждает, что если ж(Икс,у) кусочно непрерывна и имеет ненулевые значения только в конечной части ху плоскости существуют моменты всех порядков, а последовательность моментов (M_pq) однозначно определяется ж(Икс,у). Наоборот, (M_pq) однозначно определяет ж(Икс,у). На практике изображение суммируется с функциями нескольких моментов более низкого порядка.

Примеры

Полученные свойства простого изображения через сырые моменты включают:

• Площадь (для двоичных изображений) или сумма уровней серого (для изображений в серых тонах):${\displaystyle M_{00}}$
• Центроид: ${\displaystyle \{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}}$

Центральные моменты

Центральные моменты определяются как

${\displaystyle \mu _{pq}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-{\bar {x}})^{p}(y-{\bar {y}})^{q}f(x,y)\,dx\,dy}$

куда ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {M_{10}}{M_{00}}}}$ и ${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {M_{01}}{M_{00}}}}$ компоненты центроид.

Если ƒ(Икс, у) является цифровым изображением, то предыдущее уравнение принимает вид

${\displaystyle \mu _{pq}=\sum _{x}\sum _{y}(x-{\bar {x}})^{p}(y-{\bar {y}})^{q}f(x,y)}$

Центральными моментами порядка до 3-х являются:

${\displaystyle \mu _{00}=M_{00},\,\!}$

${\displaystyle \mu _{01}=0,\,\!}$

${\displaystyle \mu _{10}=0,\,\!}$

${\displaystyle \mu _{11}=M_{11}-{\bar {x}}M_{01}=M_{11}-{\bar {y}}M_{10},}$

${\displaystyle \mu _{20}=M_{20}-{\bar {x}}M_{10},}$

${\displaystyle \mu _{02}=M_{02}-{\bar {y}}M_{01},}$

${\displaystyle \mu _{21}=M_{21}-2{\bar {x}}M_{11}-{\bar {y}}M_{20}+2{\bar {x}}^{2}M_{01},}$

${\displaystyle \mu _{12}=M_{12}-2{\bar {y}}M_{11}-{\bar {x}}M_{02}+2{\bar {y}}^{2}M_{10},}$

${\displaystyle \mu _{30}=M_{30}-3{\bar {x}}M_{20}+2{\bar {x}}^{2}M_{10},}$

${\displaystyle \mu _{03}=M_{03}-3{\bar {y}}M_{02}+2{\bar {y}}^{2}M_{01}.}$

Можно показать, что:

${\displaystyle \mu _{pq}=\sum _{m}^{p}\sum _{n}^{q}{p \choose m}{q \choose n}(-{\bar {x}})^{(p-m)}(-{\bar {y}})^{(q-n)}M_{mn}}$

Центральные моменты трансляционный инвариант.

Примеры

Информацию об ориентации изображения можно получить, сначала используя центральные моменты второго порядка для построения ковариационная матрица.

${\displaystyle \mu '_{20}=\mu _{20}/\mu _{00}=M_{20}/M_{00}-{\bar {x}}^{2}}$

${\displaystyle \mu '_{02}=\mu _{02}/\mu _{00}=M_{02}/M_{00}-{\bar {y}}^{2}}$

${\displaystyle \mu '_{11}=\mu _{11}/\mu _{00}=M_{11}/M_{00}-{\bar {x}}{\bar {y}}}$

В ковариационная матрица изображения ${\displaystyle I(x,y)}$ сейчас

${\displaystyle \operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}}$.

В собственные векторы этой матрицы соответствуют большой и малой осям интенсивности изображения, поэтому ориентация Таким образом, можно извлечь из угла собственного вектора, связанного с наибольшим собственным значением, к оси, ближайшей к этому собственному вектору. Можно показать, что этот угол Θ определяется следующей формулой:

${\displaystyle \Theta ={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2\mu '_{11}}{\mu '_{20}-\mu '_{02}}}\right)}$

Приведенная выше формула действует до тех пор, пока:

${\displaystyle \mu '_{20}-\mu '_{02}\neq 0}$

В собственные значения ковариационной матрицы легко показать как

${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {\mu '_{20}+\mu '_{02}}{2}}\pm {\frac {\sqrt {4{\mu '}_{11}^{2}+({\mu '}_{20}-{\mu '}_{02})^{2}}}{2}},}$

и пропорциональны квадрату длины осей собственных векторов. Таким образом, относительная разница в величине собственных значений является показателем эксцентриситета изображения или его вытянутости. В эксцентриситет является

${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}}}.}$

Инварианты моментов

Моменты хорошо известны своим применением в анализе изображений, поскольку их можно использовать для получения инварианты по отношению к конкретным классам трансформации.

Период, термин инвариантные моменты в этом контексте часто злоупотребляют. Однако пока моментные инварианты инварианты, образованные из моментов, единственные моменты, которые сами являются инвариантами, являются центральными моментами.^{[нужна цитата ]}

Обратите внимание, что описанные ниже инварианты точно инвариантны только в непрерывной области. В дискретной области ни масштабирование, ни поворот четко не определены: дискретное изображение, преобразованное таким образом, обычно является приближением, и преобразование не является обратимым. Следовательно, эти инварианты инвариантны лишь приблизительно при описании формы в дискретном изображении.

Инварианты перевода

Центральные моменты μ_{я j} любого порядка инвариантны по построению относительно переводы.

Масштабные инварианты

Инварианты η_{я j} в отношении обоих перевод и шкала можно построить из центральных моментов путем деления на правильно масштабированный нулевой центральный момент:

${\displaystyle \eta _{ij}={\frac {\mu _{ij}}{\mu _{00}^{\left(1+{\frac {i+j}{2}}\right)}}}\,\!}$

куда я + j ≥ 2. Обратите внимание, что трансляционная инвариантность непосредственно следует только при использовании центральных моментов.

Инварианты вращения

Как показано в работе Ху,^[1][2]инварианты относительно перевод, шкала, и вращение могут быть построены:

${\displaystyle I_{1}=\eta _{20}+\eta _{02}}$

${\displaystyle I_{2}=(\eta _{20}-\eta _{02})^{2}+4\eta _{11}^{2}}$

${\displaystyle I_{3}=(\eta _{30}-3\eta _{12})^{2}+(3\eta _{21}-\eta _{03})^{2}}$

${\displaystyle I_{4}=(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}+(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}}$

${\displaystyle I_{5}=(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]}$

${\displaystyle I_{6}=(\eta _{20}-\eta _{02})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+4\eta _{11}(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})}$

${\displaystyle I_{7}=(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]-(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}].}$

Они известны как Инварианты моментов Ху.

Первый, я₁, аналогичен момент инерции вокруг центроида изображения, где интенсивность пикселей аналогична физической плотности. Последний, я₇, является косоинвариантным, что позволяет ему различать зеркальные изображения идентичных в остальном изображений.

Общая теория вывода полных и независимых наборов инвариантов момента вращения была предложена Дж. Флюссером.^[3] Он показал, что традиционный набор инвариантов моментов Ху не является ни независимым, ни полным. я₃ не очень полезен, так как зависит от других. В исходном наборе Ху отсутствует независимый моментный инвариант третьего порядка:

${\displaystyle I_{8}=\eta _{11}[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{03}+\eta _{21})^{2}]-(\eta _{20}-\eta _{02})(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{03}+\eta _{21})}$

Позже Дж. Флюссер и Т. Сук^[4] специализированная теория для случая N-вращательно-симметричных форм.

Приложения

Zhang et al. применил инварианты моментов Ху для решения проблемы патологического обнаружения мозга (PBD).^[5]Дёрр и Флоренс использовали информацию об ориентации объекта, относящуюся к центральным моментам второго порядка, для эффективного извлечения инвариантных по перемещению и вращению поперечных сечений объекта из данных изображения микрорентгенотомографии.^[6]

внешняя ссылка

• Анализ двоичных изображений, Эдинбургский университет
• Статистические моменты, Эдинбургский университет
• Варианты моментов, Страница машинного восприятия и компьютерного зрения (исходный код Matlab и Python)
• Ху Моменты вступительное видео на YouTube

Рекомендации

1. М. К. Ху, "Распознавание визуальных образов по инвариантам момента", IRE Trans. Информация. Теория, т. ИТ-8, с.179–187, 1962 г.
2. http://docs.opencv.org/modules/imgproc/doc/structural_analysis_and_shape_descriptors.html?highlight=cvmatchshapes#humoments Метод OpenCV Ху Моментс
3. Дж. Флюссер: "О независимости инвариантов вращательного момента. ", Распознавание образов, т. 33, стр. 1405–1410, 2000.
4. Дж. Флюссер и Т. Сук "Инварианты момента вращения для распознавания симметричных объектов ", IEEE Trans. Image Proc., Том 15, стр. 3784–3790, 2006.
5. Чжан, Ю. (2015). «Патологическое обнаружение мозга на основе инвариантов вейвлет-энтропии и момента Ху». Биомедицинские материалы и инженерия. 26: 1283–1290. Дои:10.3233 / BME-151426. PMID  26405888.
6. Дёрр, Фредерик; Флоренс, Аластер (2020). «Методика анализа изображений микро-XRT и машинного обучения для характеристики составов капсул из нескольких частиц». Международный фармацевтический журнал: X. 2: 100041. Дои:10.1016 / j.ijpx.2020.100041. PMID  32025658.