Полиномы Лагерра - Laguerre polynomials

В математика, то Полиномы Лагерра, названный в честь Эдмон Лагерр (1834–1886), являются решениями Уравнение Лагерра:

${\displaystyle xy''+(1-x)y'+ny=0}$

который является вторым порядком линейное дифференциальное уравнение. Это уравнение имеет неособые решения, только если п - целое неотрицательное число.

Иногда имя Полиномы Лагерра используется для решений

${\displaystyle xy''+(\alpha +1-x)y'+ny=0~.}$

куда п по-прежнему является неотрицательным целым числом. Тогда они также называются обобщенные полиномы Лагерра, как и здесь (в качестве альтернативы ассоциированные полиномы Лагерра или, редко, Сониновые полиномы, в честь их изобретателя^[1] Николай Яковлевич Сонин ).

В более общем плане Функция Лагерра это решение, когда п не обязательно является целым неотрицательным числом.

Полиномы Лагерра также используются для Квадратура Гаусса для численного вычисления интегралов вида

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.}$

Эти многочлены, обычно обозначаемые L₀, L₁, ..., площадь полиномиальная последовательность который может быть определен Формула Родригеса,

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},}$

сводя к закрытому виду следующего раздела.

Они есть ортогональные многочлены в отношении внутренний продукт

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}$

Последовательность многочленов Лагерра п! L_п это Последовательность Шеффера,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}L_{n}=\left({\frac {d}{dx}}-1\right)L_{n-1}.}$

В ладейные многочлены в комбинаторике более или менее похожи на многочлены Лагерра, с точностью до элементарных замен переменных. Далее см. Многочлены Трикоми – Карлица.

Полиномы Лагерра возникают в квантовой механике в радиальной части решения уравнения Уравнение Шредингера для одноэлектронного атома. Они также описывают статические функции Вигнера осцилляторных систем в квантовая механика в фазовом пространстве. Далее они входят в квантовую механику Потенциал Морзе и из Трехмерный изотропный гармонический осциллятор.

Иногда физики используют определение полиномов Лагерра, которое в несколько раз больше. п! чем определение, используемое здесь. (Точно так же некоторые физики могут использовать несколько иные определения так называемых ассоциированных многочленов Лагерра.)

Первые несколько полиномов

Это первые несколько полиномов Лагерра:

п	${\displaystyle L_{n}(x)\,}$
0	${\displaystyle 1\,}$
1	${\displaystyle -x+1\,}$
2	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x^{2}-4x+2)\,}$
3	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,}$
4	${\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,}$
5	${\displaystyle {\tfrac {1}{120}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,}$
6	${\displaystyle {\tfrac {1}{720}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,}$
п	${\displaystyle {\tfrac {1}{n!}}((-x)^{n}+n^{2}(-x)^{n-1}+...+n({n!})(-x)+n!)\,}$

Первые шесть полиномов Лагерра.

Рекурсивное определение, закрытая форма и производящая функция

Можно также определить полиномы Лагерра рекурсивно, определив первые два полинома как

${\displaystyle L_{0}(x)=1}$

${\displaystyle L_{1}(x)=1-x}$

а затем используя следующие отношение повторения для любого k ≥ 1:

${\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {(2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)}{k+1}}.}$

При решении некоторых краевых задач могут быть полезны характеристические значения:

${\displaystyle L_{k}(0)=1,L_{k}'(0)=-k.}$

В закрытая форма является

${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}.}$

В производящая функция для них также следует,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}(x)={\frac {1}{1-t}}e^{-tx/(1-t)}.}$

Полиномы с отрицательным индексом можно выразить с помощью полиномов с положительным индексом:

${\displaystyle L_{-n}(x)=e^{x}L_{n-1}(-x).}$

Обобщенные полиномы Лагерра

Для произвольного действительного α полиномиальные решения дифференциального уравнения^[2]

${\displaystyle x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+n\,y=0}$

называются обобщенные полиномы Лагерра, или же ассоциированные полиномы Лагерра.

Можно также определить обобщенные многочлены Лагерра рекурсивно, определив первые два многочлена как

${\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1}$

${\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=1+\alpha -x}$

а затем используя следующие отношение повторения для любого k ≥ 1:

${\displaystyle L_{k+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2k+1+\alpha -x)L_{k}^{(\alpha )}(x)-(k+\alpha )L_{k-1}^{(\alpha )}(x)}{k+1}}.}$

Простые многочлены Лагерра являются частным случаем α = 0 обобщенных многочленов Лагерра:

${\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).}$

В Формула Родригеса для них это

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)\\[4pt]&=x^{-\alpha }{\frac {\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}}{n!}}x^{n+\alpha }.\end{aligned}}}$

В производящая функция для них это

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-tx/(1-t)}.}$

Первые несколько обобщенных многочленов Лагерра, L_п^(k)(Икс)

Явные примеры и свойства обобщенных многочленов Лагерра

• Функции Лагерра определяются формулами конфлюэнтные гипергеометрические функции и преобразование Куммера как^[3]

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x):={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x).}$

${\displaystyle {n+\alpha \choose n}}$ является обобщенным биномиальный коэффициент. Когда п - целое число, функция сводится к полиному степени п. Имеет альтернативное выражение^[4]

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}U(-n,\alpha +1,x)}$

с точки зрения Функция Куммера второго рода.

• Замкнутая форма для этих обобщенных многочленов Лагерра степени п является^[5]

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}}$

полученный путем применения Теорема Лейбница о дифференцировании продукта к формуле Родригеса.

• Первые несколько обобщенных многочленов Лагерра:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\L_{1}^{(\alpha )}(x)&=-x+\alpha +1\\L_{2}^{(\alpha )}(x)&={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}\\L_{3}^{(\alpha )}(x)&={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}\end{aligned}}}$

• В коэффициент главного члена равен (−1)^п/п!;
• В постоянный срок, которое является значением при 0, равно

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}={\frac {n^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}+O\left(n^{\alpha -1}\right);}$

• Если α неотрицательно, то L_п^(α) имеет п настоящий, строго положительный корни (Заметь ${\displaystyle \left((-1)^{n-i}L_{n-i}^{(\alpha )}\right)_{i=0}^{n}}$ это Штурмовая цепь ), которые все в интервал ${\displaystyle \left(0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}\,\right].}$^{[нужна цитата ]}
• Асимптотика полиномов при больших п, но исправлено α и Икс > 0, дан кем-то^[6][7]

${\displaystyle {\begin{aligned}&L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\sin \left(2{\sqrt {nx}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)\right)+O\left(n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {3}{4}}}\right),\\[6pt]&L_{n}^{(\alpha )}(-x)={\frac {(n+1)^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-x/2}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}e^{2{\sqrt {x(n+1)}}}\cdot \left(1+O\left({\frac {1}{\sqrt {n+1}}}\right)\right),\end{aligned}}}$

и резюмируя

${\displaystyle {\frac {L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{n}}\right)}{n^{\alpha }}}\approx e^{x/2n}\cdot {\frac {J_{\alpha }\left(2{\sqrt {x}}\right)}{{\sqrt {x}}^{\alpha }}},}$

куда ${\displaystyle J_{\alpha }}$ это Функция Бесселя.

Как контурный интеграл

Учитывая производящую функцию, указанную выше, многочлены могут быть выражены через контурный интеграл

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)^{\alpha +1}\,t^{n+1}}}\;dt,}$

где контур обходит начало координат один раз против часовой стрелки, не ограничивая существенную особенность в точке 1

Отношения рецидива

Формула сложения для полиномов Лагерра:^[8]

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y)}$.

Многочлены Лагерра удовлетворяют рекуррентным соотношениям

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{n-i}^{(\alpha +i)}(y){\frac {(y-x)^{i}}{i!}},}$

особенно

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)}$

и

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \choose n-i}L_{i}^{(\beta )}(x),}$

или же

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n \choose n-i}L_{i}^{(\beta -i)}(x);}$

более того

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)-\sum _{j=0}^{\Delta -1}{n+\alpha \choose n-j}(-1)^{j}{\frac {x^{j}}{j!}}&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(\alpha +\Delta )}(x)\\[6pt]&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha -i-1 \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(n+\alpha +\Delta -i)}(x)\end{aligned}}}$

Их можно использовать для вывода четырех правил из трех точек.

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=L_{n}^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}L_{n-j}^{(\alpha +k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha )}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-xL_{n-1}^{(\alpha +1)}(x),\\[10pt]&{\text{or }}\\{\frac {x^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{n+i \choose i}{n+\alpha \choose k-i}L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]xL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n-x)L_{n}^{(\alpha )}(x);\end{aligned}}}$

вместе они дают дополнительные полезные повторяющиеся соотношения

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\left(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\right)L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-\left(1+{\frac {\alpha -1}{n}}\right)L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]&={\frac {\alpha +1-x}{n}}L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-{\frac {x}{n}}L_{n-2}^{(\alpha +2)}(x)\end{aligned}}}$

С ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$ - монический многочлен степени ${\displaystyle n}$ в ${\displaystyle \alpha }$,Здесь частичное разложение на фракции

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {n!\,L_{n}^{(\alpha )}(x)}{(\alpha +1)_{n}}}&=1-\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}{\frac {j}{\alpha +j}}{n \choose j}L_{n}^{(-j)}(x)\\&=1-\sum _{j=1}^{n}{\frac {x^{j}}{\alpha +j}}\,\,{\frac {L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}}\\&=1-x\sum _{i=1}^{n}{\frac {L_{n-i}^{(-\alpha )}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}(-x)}{\alpha +i}}.\end{aligned}}}$

Второе равенство следует из следующего тождества, действительного для целого числа я и п и сразу после выражения ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$ с точки зрения Полиномы Шарлье:

${\displaystyle {\frac {(-x)^{i}}{i!}}L_{n}^{(i-n)}(x)={\frac {(-x)^{n}}{n!}}L_{i}^{(n-i)}(x).}$

Для третьего равенства применяются четвертый и пятый тождества этого раздела.

Производные от обобщенных полиномов Лагерра

Дифференцирование представления степенного ряда обобщенного многочлена Лагерра k раз приводит к

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\begin{cases}(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)&{\text{if }}k\leq n,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Это указывает на особый случай (α = 0) формулы выше: для целого числа α = k обобщенный многочлен можно записать

${\displaystyle L_{n}^{(k)}(x)=(-1)^{k}{\frac {d^{k}L_{n+k}(x)}{dx^{k}}},}$

сдвиг на k иногда вызывая путаницу с обычным обозначением скобок для производной.

Кроме того, имеет место следующее уравнение:

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose k}x^{\alpha -k}L_{n}^{(\alpha -k)}(x),}$

который обобщает Формула Коши к

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha ')}(x)=(\alpha '-\alpha ){\alpha '+n \choose \alpha '-\alpha }\int _{0}^{x}{\frac {t^{\alpha }(x-t)^{\alpha '-\alpha -1}}{x^{\alpha '}}}L_{n}^{(\alpha )}(t)\,dt.}$

Производная по второй переменной α имеет вид,^[9]

${\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{n-i}}.}$

Это видно из представленного ниже контурного интегрального представления.

Обобщенные полиномы Лагерра подчиняются дифференциальному уравнению

${\displaystyle xL_{n}^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )\prime }(x)+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0,}$

которое можно сравнить с уравнением, которому подчиняется k-я производная обычного многочлена Лагерра,

${\displaystyle xL_{n}^{[k]\prime \prime }(x)+(k+1-x)L_{n}^{[k]\prime }(x)+(n-k)L_{n}^{[k]}(x)=0,}$

куда ${\displaystyle L_{n}^{[k]}(x)\equiv {\frac {d^{k}L_{n}(x)}{dx^{k}}}}$ только для этого уравнения.

В Форма Штурма – Лиувилля дифференциальное уравнение

${\displaystyle -\left(x^{\alpha +1}e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x)^{\prime }\right)^{\prime }=n\cdot x^{\alpha }e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x),}$

что показывает, что L^(α)
_п является собственным вектором для собственного значения п.

Ортогональность

Обобщенные полиномы Лагерра ортогональны над [0, ∞) по мере с весовой функцией Икс^α е^−Икс:^[10]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m},}$

что следует из

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha '-1}e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)dx={\alpha -\alpha '+n \choose n}\Gamma (\alpha ').}$

Если ${\displaystyle \Gamma (x,\alpha +1,1)}$ обозначает гамма-распределение, то соотношение ортогональности можно записать как

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)\Gamma (x,\alpha +1,1)dx={n+\alpha \choose n}\delta _{n,m},}$

Соответствующий симметричный ядерный многочлен имеет представления (Формула Кристоффеля – Дарбу )^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}^{(\alpha )}(x,y)&:={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{i}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +i \choose i}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(y)-L_{n+1}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{{\frac {x-y}{n+1}}{n+\alpha \choose n}}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {L_{n-i}^{(\alpha +i)}(x)L_{n-i}^{(\alpha +i+1)}(y)}{{\alpha +n \choose n}{n \choose i}}};\end{aligned}}}$

рекурсивно

${\displaystyle K_{n}^{(\alpha )}(x,y)={\frac {y}{\alpha +1}}K_{n-1}^{(\alpha +1)}(x,y)+{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha +1)}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +n \choose n}}.}$

Более того,^{[требуется разъяснение Предел как n уходит в бесконечность?]}

${\displaystyle y^{\alpha }e^{-y}K_{n}^{(\alpha )}(\cdot ,y)\to \delta (y-\cdot ).}$

Неравенство Турана можно вывести здесь, что

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)^{2}-L_{n-1}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\alpha +n-1 \choose n-k}{n{n \choose k}}}L_{k}^{(\alpha -1)}(x)^{2}>0.}$

Следующий интеграл необходим при квантово-механическом рассмотрении атом водорода,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).}$

Расширения серии

Пусть функция имеет разложение в (формальный) ряд

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}^{(\alpha )}L_{i}^{(\alpha )}(x).}$

потом

${\displaystyle f_{i}^{(\alpha )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{i+\alpha \choose i}}\cdot {\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot f(x)\,dx.}$

Ряд сходится в ассоциированном Гильбертово пространство L²[0, ∞) если и только если

${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}:=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{i=0}^{\infty }{i+\alpha \choose i}|f_{i}^{(\alpha )}|^{2}<\infty .}$

Дополнительные примеры расширений

Мономы представлены как

${\displaystyle {\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}L_{i}^{(\alpha )}(x),}$

пока биномы иметь параметризацию

${\displaystyle {n+x \choose n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\alpha ^{i}}{i!}}L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha ).}$

Это приводит непосредственно к

${\displaystyle e^{-\gamma x}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{(1+\gamma )^{i+\alpha +1}}}L_{i}^{(\alpha )}(x)\qquad {\text{convergent iff }}\Re (\gamma )>-{\tfrac {1}{2}}}$

для экспоненциальной функции. В неполная гамма-функция имеет представление

${\displaystyle \Gamma (\alpha ,x)=x^{\alpha }e^{-x}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{1+i}}\qquad \left(\Re (\alpha )>-1,x>0\right).}$

В квантовой механике

В квантовой механике уравнение Шредингера для водородоподобный атом точно решается разделением переменных в сферических координатах. Радиальная часть волновой функции представляет собой (обобщенный) полином Лагерра.^[11]

Вибронные переходы в приближении Франка-Кондона также можно описать с помощью полиномов Лагерра.^[12]

Теоремы умножения

Эрдели дает следующие два теоремы умножения ^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}&t^{n+1+\alpha }e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=n}^{\infty }{k \choose n}\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{k-n}L_{k}^{(\alpha )}(z),\\[6pt]&e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-t)^{k}z^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha +k)}(z).\end{aligned}}}$

Связь с полиномами Эрмита

Обобщенные полиномы Лагерра связаны с Полиномы Эрмита:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})\\[4pt]H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x^{2})\end{aligned}}}$

где ЧАС_п(Икс) являются Полиномы Эрмита на основе весовой функции exp (-Икс²), так называемая «версия физика».

Вследствие этого при рассмотрении уравнения возникают обобщенные полиномы Лагерра. квантовый гармонический осциллятор.

Связь с гипергеометрическими функциями

Многочлены Лагерра могут быть определены в терминах гипергеометрические функции в частности конфлюэнтные гипергеометрические функции, так как

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)}$

куда ${\displaystyle (a)_{n}}$ это Символ Поххаммера (который в данном случае представляет собой возрастающий факториал).

Формула Харди – Хилле

Обобщенные полиномы Лагерра удовлетворяют формуле Харди – Хилле^[14][15]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!\,\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\Gamma \left(n+\alpha +1\right)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-(x+y)t/(1-t)}\,_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\frac {xyt}{(1-t)^{2}}}\right),}$

где ряд слева сходится при ${\displaystyle \alpha >-1}$ и ${\displaystyle |t|<1}$. Используя личность

${\displaystyle \,_{0}F_{1}(;\alpha +1;z)=\,\Gamma (\alpha +1)z^{-\alpha /2}I_{\alpha }\left(2{\sqrt {z}}\right),}$

(видеть обобщенная гипергеометрическая функция ), это также можно записать как

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{\Gamma (1+\alpha +n)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(xyt)^{\alpha /2}(1-t)}}e^{-(x+y)t/(1-t)}I_{\alpha }\left({\frac {2{\sqrt {xyt}}}{1-t}}\right).}$

Эта формула является обобщением Ядро Мелера за Полиномы Эрмита, который может быть восстановлен из него, используя приведенные выше соотношения между полиномами Лагерра и Эрмита.

Смотрите также

• Многочлены Анжелеску
• Поперечный режим, важное применение полиномов Лагерра для описания интенсивности поля в волноводе или профиле лазерного луча.

Примечания

1. Н. Сонин (1880). "Исследования по функционированию цилиндрических конструкций и развитие функций продолжаются в серии". Математика. Анна. 16 (1): 1–80. Дои:10.1007 / BF01459227.
2. A&S стр. 781
3. A&S стр. 509
4. A&S стр. 510
5. A&S стр. 775
6. Сегё, стр. 198.
7. Д. Борвейн, Дж. М. Борвейн, Р. Э. Крэндалл, "Эффективные асимптотики Лагерра", SIAM J. Numer. Анальный., т. 46 (2008), нет. 6. С. 3285–3312. Дои:10.1137 / 07068031X
8. Уравнение A&S (22.12.6), стр. 785
9. Кёпф, Вольфрам (1997). «Тождества семейств ортогональных многочленов и специальных функций». Интегральные преобразования и специальные функции. 5 (1–2): 69–102. CiteSeerX  10.1.1.298.7657. Дои:10.1080/10652469708819127.
10. «Ассоциированный многочлен Лагерра».
11. Ратнер, Шац, Марк А., Джордж К. (2001). Квантовая механика в химии. 0-13-895491-7: Prentice Hall. С. 90–91.
12. Jong, Mathijs de; Сейджо, Луис; Мейеринк, Андрис; Rabouw, Фредди Т. (2015-06-24). «Разрешение неоднозначности в связи между стоксовым сдвигом и параметром Хуанга – Риса». Физическая химия Химическая физика. 17 (26): 16959–16969. Дои:10.1039 / C5CP02093J. ISSN  1463-9084.
13. К. Трусделл "О теоремах сложения и умножения для специальных функций ", Труды Национальной академии наук, математика, (1950) стр. 752–757.
14. Сегё, стр. 102.
15. В. А. Аль-Салам (1964), «Операционные представления для многочленов Лагерра и других», Дюк Мат Дж. 31 (1): 127–142.

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 22". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 773. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
• Г. Сегу, Ортогональные многочлены, 4-е издание, Амер. Математика. Soc. Коллок. Publ., т. 23, амер. Математика. Soc., Providence, RI, 1975.
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S.C .; Коэкоек, Рулоф; Свартту, Рене Ф. (2010), «Ортогональные многочлены», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• Б. Испания, M.G. Смит, Функции математической физики, Компания Van Nostrand Reinhold, Лондон, 1970. Глава 10 посвящена многочленам Лагерра.
• «Многочлены Лагерра», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Эрик В. Вайсштейн, "Полином Лагерра ", Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.
• Джордж Арфкен и Ханс Вебер (2000). Математические методы для физиков. Академическая пресса. ISBN  978-0-12-059825-0.

внешняя ссылка

• Тимоти Джонс. «Полиномы Лежандра и Лагерра и элементарная квантово-механическая модель атома водорода».
• Вайсштейн, Эрик В. «Многочлен Лагерра». MathWorld.