Обобщенная гипергеометрическая функция - Generalized hypergeometric function

По поводу других обобщений гипергеометрической функции см. Гипергеометрическая функция.

Не путать с общая гипергеометрическая функция.

В математика, а обобщенный гипергеометрический ряд это степенной ряд в котором соотношение последовательных коэффициенты проиндексировано п это рациональная функция из п. Ряд, если сходится, определяет обобщенная гипергеометрическая функция, который затем может быть определен в более широкой области аргумента с помощью аналитическое продолжение. Обобщенный гипергеометрический ряд иногда называют просто гипергеометрическим рядом, хотя иногда этот термин просто относится к Гауссов гипергеометрический ряд. Обобщенные гипергеометрические функции включают (гауссовский) гипергеометрическая функция и конфлюэнтная гипергеометрическая функция как частные случаи, которые, в свою очередь, имеют много частных специальные функции как особые случаи, такие как элементарные функции, Функции Бесселя, а классические ортогональные многочлены.

Обозначение

Формально гипергеометрический ряд определяется как степенной ряд

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}z+\beta _{2}z^{2}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}\beta _{n}z^{n}}$

в котором отношение последовательных коэффициентов есть рациональная функция из п. Это,

${\displaystyle {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {A(n)}{B(n)}}}$

где А(п) и B(п) находятся многочлены в п.

Например, в случае серии для экспоненциальная функция,

${\displaystyle 1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

у нас есть:

${\displaystyle \beta _{n}={\frac {1}{n!}},\qquad {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {1}{n+1}}.}$

Итак, это удовлетворяет определению с А(п) = 1 и B(п) = п + 1.

Старший член принято выносить за скобки, поэтому β₀ предполагается равным 1. Многочлены можно разложить на линейные множители вида (а_j + п) и (б_k + п) соответственно, где а_j и б_k находятся сложные числа.

По историческим причинам предполагается, что (1 +п) является фактором B. Если это еще не так, то оба А и B можно умножить на этот коэффициент; фактор отменяется, поэтому термины остаются неизменными и без потери общности.

Соотношение между последовательными коэффициентами теперь имеет вид

${\displaystyle {\frac {c(a_{1}+n)\cdots (a_{p}+n)}{d(b_{1}+n)\cdots (b_{q}+n)(1+n)}}}$,

где c и d являются старшими коэффициентами при А и B. Тогда серия имеет вид

${\displaystyle 1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {cz}{d}}+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {(a_{1}+1)\cdots (a_{p}+1)}{(b_{1}+1)\cdots (b_{q}+1)\cdot 2}}\left({\frac {cz}{d}}\right)^{2}+\cdots }$,

или, масштабируя z соответствующим коэффициентом и перестановкой,

${\displaystyle 1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a_{1}(a_{1}+1)\cdots a_{p}(a_{p}+1)}{b_{1}(b_{1}+1)\cdots b_{q}(b_{q}+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots }$.

Это имеет форму экспоненциальная производящая функция. Этот ряд обычно обозначают

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)}$

или

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{q}\end{matrix}};z\right].}$

Используя возрастающий факториал или Символ Поххаммера

${\displaystyle {\begin{aligned}(a)_{0}&=1,\\(a)_{n}&=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1),&&n\geq 1\end{aligned}}}$

это можно написать

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\cdots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\cdots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

(Обратите внимание, что такое использование символа Поххаммера не является стандартным; однако это стандартное использование в данном контексте.)

Терминология

Когда все члены ряда определены и он имеет ненулевое значение радиус схождения, то серия определяет аналитическая функция. Такая функция и ее аналитические продолжения, называется гипергеометрическая функция.

Случай, когда радиус сходимости равен 0, дает много интересных математических рядов, например неполная гамма-функция имеет асимптотическое разложение

${\displaystyle \Gamma (a,z)\sim z^{a-1}e^{-z}\left(1+{\frac {a-1}{z}}+{\frac {(a-1)(a-2)}{z^{2}}}+\cdots \right)}$

что можно было бы написать z^а−1е^−z ₂F₀(1−а,1;;−z⁻¹). Однако использование термина гипергеометрический ряд обычно ограничивается случаем, когда ряд определяет фактическую аналитическую функцию.

Обычный гипергеометрический ряд не следует путать с базовый гипергеометрический ряд, который, несмотря на свое название, представляет собой довольно сложную и загадочную серию. «Базовая» серия - это q-аналог обыкновенного гипергеометрического ряда. Есть несколько таких обобщений обычных гипергеометрических рядов, в том числе и из зональные сферические функции на Римановы симметрические пространства.

Серия без фактора п! в знаменателе (суммированном по всем целым числам п, в том числе отрицательный) называется двусторонний гипергеометрический ряд.

Условия сходимости

Есть определенные значения а_j и б_k для которых числитель или знаменатель коэффициентов равен 0.

• Если есть а_j является целым неположительным числом (0, −1, −2 и т. д.), то ряд имеет только конечное число членов и фактически является многочленом степени -а_j.
• Если есть б_k - целое неположительное число (за исключением предыдущего случая с -б_k < а_j), то знаменатели станут 0 и ряд не определен.

За исключением этих случаев, тест соотношения может применяться для определения радиуса сходимости.

• Если п < q + 1, то отношение коэффициентов стремится к нулю. Отсюда следует, что ряд сходится при любом конечном значении z и таким образом определяет целую функцию z. Примером может служить степенной ряд для экспоненциальной функции.
• Если п = q + 1, то отношение коэффициентов стремится к единице. Отсюда следует, что ряд сходится при |z| <1 и расходится при |z| > 1. Сходится ли он для |z| = 1 определить труднее. Аналитическое продолжение можно использовать для больших значений z.
• Если п > q + 1, то отношение коэффициентов неограниченно растет. Это означает, что кроме z = 0, ряд расходится. Тогда это расходящийся или асимптотический ряд, или он может быть интерпретирован как символическое сокращение для дифференциального уравнения, которому сумма формально удовлетворяет.

Вопрос о сходимости для п=q+1 когда z находится на единичном круге сложнее. Можно показать, что ряд абсолютно сходится при z = 1, если

${\displaystyle \Re \left(\sum b_{k}-\sum a_{j}\right)>0}$.

Далее, если п=q+1, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}a_{i}\geq \sum _{j=1}^{q}b_{j}}$ и z действительно, то имеет место следующий результат сходимости Quigley et al. (2013):

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow 1}(1-z){\frac {d\log(_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z^{p}))}{dz}}=\sum _{i=1}^{p}a_{i}-\sum _{j=1}^{q}b_{j}}$.

Основные свойства

Непосредственно из определения следует, что порядок параметров а_j, или порядок параметров б_k можно изменить без изменения значения функции. Также, если какой-либо из параметров а_j равно любому из параметров б_k, то соответствующие параметры могут быть "аннулированы", за некоторыми исключениями, когда параметры являются целыми неположительными числами. Например,

${\displaystyle \,{}_{2}F_{1}(3,1;1;z)=\,{}_{2}F_{1}(1,3;1;z)=\,{}_{1}F_{0}(3;;z)}$.

Эта отмена является частным случаем формулы сокращения, которая может применяться всякий раз, когда параметр в верхней строке отличается от параметра в нижней строке неотрицательным целым числом.^[1]

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c+n\\b_{1},\ldots ,b_{B},c\end{array}};z\right]=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {1}{(c)_{j}}}{\frac {\prod _{i=1}^{A}(a_{i})_{j}}{\prod _{i=1}^{B}(b_{i})_{j}}}{}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+j,\ldots ,a_{A}+j\\b_{1}+j,\ldots ,b_{B}+j\end{array}};z\right]}$

Интегральное преобразование Эйлера

Следующее основное тождество очень полезно, поскольку оно связывает гипергеометрические функции более высокого порядка в терминах интегралов по функциям более низкого порядка^[2]

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt}$

Дифференциация

Обобщенная гипергеометрическая функция удовлетворяет

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}$

Их объединение дает дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет ш = _пF_q:

${\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w}$.

Непрерывная функция и связанные идентичности

Возьмем следующий оператор:

${\displaystyle \vartheta =z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}.}$

Из приведенных выше формул дифференцирования линейное пространство, натянутое на

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),\vartheta \;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)}$

содержит каждый из

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),}$

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q};z),}$

${\displaystyle z\;{}_{p}F_{q}(a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1;b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1;z),}$

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).}$

Поскольку пространство имеет размерность 2, любые три из них п+q+2 функции линейно зависимы. Эти зависимости могут быть записаны для создания большого количества идентификаторов, включающих ${\displaystyle {}_{p}F_{q}}$.

Например, в простейшем нетривиальном случае

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a;z)=(1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)=({\frac {\vartheta }{a-1}}+1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

${\displaystyle z\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)=(a\vartheta )\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

Так

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)-\;{}_{0}F_{1}(;a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)}$.

Этот и другие важные примеры

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {z}{b}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {bz}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-a)z}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

можно использовать для создания непрерывная дробь выражения, известные как Непрерывная дробь Гаусса.

Аналогично, дважды применяя формулы дифференцирования, получаем ${\displaystyle {\binom {p+q+3}{2}}}$ такие функции содержатся в

${\displaystyle \{1,\vartheta ,\vartheta ^{2}\}\;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),}$

который имеет размерность три, поэтому любые четыре линейно зависимы. Это порождает больше идентичностей, и процесс можно продолжать. Созданные таким образом идентичности можно комбинировать друг с другом для создания новых по-разному.

Функция, полученная добавлением ± 1 ровно к одному из параметров а_j, б_k в

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)}$

называется смежный к

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).}$

Используя описанную выше технику, идентичность, относящаяся к ${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$ и его две смежные функции могут быть даны, шесть тождеств, связанных ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$ и любые две из четырех смежных функций и пятнадцать тождеств, относящихся ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$ и были найдены любые две из шести его смежных функций. (Первый был получен в предыдущем абзаце. Последние пятнадцать были даны Гауссом в его статье 1812 года.)

Идентичности

Для тождеств с гипергеометрической функцией Гаусса ₂F₁, увидеть Гипергеометрическая функция.

В девятнадцатом и двадцатом веках был открыт ряд других гипергеометрических функциональных тождеств. Вклад ХХ века в методологию доказательства этих идентичностей - Егорычева метод.

Теорема Заальшюца

Теорема Заальшюца^[3] (Заальшютц 1890 ) является

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.}$

Для расширения этой теоремы см. Исследовательскую статью Rakha & Rathie.

Личность Диксона

Основная статья: Личность Диксона

Личность Диксона,^[4] впервые доказано Диксон (1902), дает сумму хорошо сбалансированной ₃F₂ в 1:

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.}$

Для обобщения личности Диксона см. Статью Lavoie et al.

Формула Дугалла

Формула Дугалла (Дугалл  1907 ) дает сумму очень уравновешенный серия оконечная и 2-уравновешенная.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&d&e&-m\\&{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}}{(1+a-b)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}}}.\end{aligned}}}$

Прекращение означает, что м является целым неотрицательным числом, а 2-сбалансированный означает, что

${\displaystyle 1+2a=b+c+d+e-m.}$

Многие другие формулы для специальных значений гипергеометрических функций могут быть выведены из этого как частные или предельные случаи.

Обобщение преобразований и тождеств Куммера для ₂F₂

Личность 1.

${\displaystyle e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)}$

где

${\displaystyle f={\frac {d(a-c+1)}{a-d}}}$;

Личность 2.

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right),}$

какие ссылки Функции Бесселя к ₂F₂; это сводится ко второй формуле Куммера для б = 2а:

Личность 3.

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{1}F_{1}(a,2a,x)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)}$.

Личность 4.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}},\end{aligned}}}$

что является конечной суммой, если б-г - целое неотрицательное число.

Отношение Куммера

Отношение Куммера

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).}$

Формула Клаузена

Основная статья: Формула Клаузена

Формула Клаузена

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}}$

использовался де Бранж чтобы доказать Гипотеза Бибербаха.

Особые случаи

Многие из специальных функций в математике являются частными случаями конфлюэнтная гипергеометрическая функция или гипергеометрическая функция; примеры см. в соответствующих статьях.

Сериал ₀F₀

Основная статья: Экспоненциальная функция

Как отмечалось ранее, ${\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=e^{z}}$. Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=w}$, который имеет решения ${\displaystyle w=ke^{z}}$ где k является константой.

Сериал ₁F₀

Основная статья: Биномиальный ряд

Важный случай:

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.}$

Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,}$

или

${\displaystyle (1-z){\frac {dw}{dz}}=aw,}$

который имеет решения

${\displaystyle w=k(1-z)^{-a}}$

где k является константой.

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(1;;z)=\sum _{n\geqslant 0}z^{n}=(1-z)^{-1}}$ это геометрическая серия с соотношением z и коэффициент 1.

${\displaystyle z~{}_{1}F_{0}(2;;z)=\sum _{n\geqslant 0}nz^{n}=z(1-z)^{-2}}$ тоже полезно.

Сериал ₀F₁

Особый случай:

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cos z}$

пример

Мы можем получить этот результат, используя формулу с возрастающими факториалами, следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{0}F_{1}\left(;{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{4}}\right)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{({\tfrac {1}{2}})_{k}}}\,{\frac {(-{\frac {z^{2}}{4}})^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}({\tfrac {1}{2}}+j-1)}}\,{\frac {(-{\frac {z^{2}}{4}})^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{k!4^{k}\prod _{j=1}^{k}(j-{\tfrac {1}{2}})}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{k!2^{k}2^{k}\prod _{j=1}^{k}({\tfrac {2j-1}{2}})}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{k!2^{k}2^{k}{\tfrac {\prod _{j=1}^{k}(2j-1)}{2^{k}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{k!2^{k}\prod _{j=1}^{k}(2j-1)}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{\prod _{j=1}^{k}(2j)\prod _{j=1}^{k}(2j-1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}=\cos z\end{aligned}}}$

Функции формы ${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$ называются конфлюэнтные гипергеометрические предельные функции и тесно связаны с Функции Бесселя.

Отношения следующие:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

${\displaystyle I_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид

${\displaystyle w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}}$

или

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.}$

Когда а не является положительным целым числом, подстановка

${\displaystyle w=z^{1-a}u,}$

дает линейно независимое решение

${\displaystyle z^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z),}$

так что общее решение

${\displaystyle k\;{}_{0}F_{1}(;a;z)+lz^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z)}$

где k, л являются константами. (Если а - целое положительное число, независимое решение дается соответствующей функцией Бесселя второго рода.)

Сериал ₁F₁

Основная статья: Конфлюэнтная гипергеометрическая функция

Функции формы ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$ называются конфлюэнтные гипергеометрические функции первого рода, также написано ${\displaystyle M(a;b;z)}$. Неполная гамма-функция ${\displaystyle \gamma (a,z)}$ это особый случай.

Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right){\frac {dw}{dz}}}$

или

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0.}$

Когда б не является положительным целым числом, подстановка

${\displaystyle w=z^{1-b}u,}$

дает линейно независимое решение

${\displaystyle z^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z),}$

так что общее решение

${\displaystyle k\;{}_{1}F_{1}(a;b;z)+lz^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)}$

где k, л являются константами.

Когда a - целое неположительное число, -п, ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(-n;b;z)}$ является многочленом. С точностью до постоянных факторов это Полиномы Лагерра. Из этого следует Полиномы Эрмита можно выразить через ₁F₁ также.

Сериал ₂F₀

Это происходит в связи с экспоненциальный интеграл функция Ei (z).

Сериал ₂F₁

Основная статья: Гипергеометрическая функция

Исторически наиболее важными являются функции формы ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$. Иногда их называют Гипергеометрические функции Гаусса, классические стандартные гипергеометрические или часто просто гипергеометрические функции. Период, термин Обобщенная гипергеометрическая функция используется для функций _пF_q если есть риск запутаться. Эта функция была впервые подробно изучена Карл Фридрих Гаусс, который исследовал условия его конвергенции.

Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+c\right){\frac {dw}{dz}}}$

или

${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$

Он известен как гипергеометрическое дифференциальное уравнение. Когда c не является положительным целым числом, подстановка

${\displaystyle w=z^{1-c}u}$

дает линейно независимое решение

${\displaystyle z^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z),}$

так что общее решение для |z| <1 это

${\displaystyle k\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+lz^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$

где k, л являются константами. Различные решения могут быть получены для других значений z. На самом деле существует 24 решения, известных как Куммер решения, получаемые с использованием различных тождеств, действительные в разных областях комплексной плоскости.

Когда а - целое неположительное число, -п,

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,b;c;z)}$

является многочленом. С точностью до постоянных коэффициентов и масштабирования это Многочлены Якоби. Некоторые другие классы ортогональных многочленов, с точностью до постоянных множителей, являются частными случаями многочленов Якоби, поэтому их можно выразить с помощью ₂F₁ также. Это включает в себя Полиномы Лежандра и Полиномы Чебышева.

С помощью гипергеометрической функции можно выразить широкий спектр интегралов элементарных функций, например:

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\sqrt {1+y^{\alpha }}}\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2+\alpha }}\left\{\alpha \;{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{\alpha }},{\tfrac {1}{2}};1+{\tfrac {1}{\alpha }};-x^{\alpha }\right)+2{\sqrt {x^{\alpha }+1}}\right\},\qquad \alpha \neq 0.}$

Сериал ₃F₀

Это происходит в связи с Полиномы Мотта.^[5]

Сериал ₃F₁

Это происходит в теории функций Бесселя. Он предоставляет способ вычисления функций Бесселя с большими аргументами.

Дилогарифм

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)}$ это дилогарифм^[6]

Многочлены Хана

${\displaystyle Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)}$ это Многочлен Хана.

Многочлены Вильсона

${\displaystyle p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left({\begin{matrix}-n&a+b+c+d+n-1&a-t&a+t\\a+b&a+c&a+d\end{matrix}};1\right)}$ это Многочлен Вильсона.

Обобщения

Обобщенная гипергеометрическая функция связана с G-функция Мейера и МакРоберт E-функция. Гипергеометрические ряды были обобщены на несколько переменных, например Пол Эмиль Аппель и Жозеф Кампе де Фериет; но на появление сопоставимой общей теории потребовалось много времени. Было найдено много личностей, некоторые весьма примечательны. Обобщение, q-серия аналоги, называемые базовый гипергеометрический ряд, были предоставлены Эдуард Гейне в конце девятнадцатого века. Здесь рассматриваются отношения последовательных членов, а не рациональная функция п, являются рациональной функцией q^п. Еще одно обобщение эллиптический гипергеометрический ряд, - это те серии, в которых соотношение членов эллиптическая функция (двоякопериодическая мероморфная функция ) из п.

В течение двадцатого века это была плодотворная область комбинаторной математики с многочисленными связями с другими областями. Есть ряд новых определений общие гипергеометрические функции, автор: Aomoto, Израиль Гельфанд и другие; и приложения, например, к комбинаторике организации ряда гиперплоскости в комплексе N-пространство (см. расположение гиперплоскостей ).

Специальные гипергеометрические функции встречаются как зональные сферические функции на Римановы симметрические пространства и полупростой Группы Ли. Их важность и роль можно понять на следующем примере: гипергеометрический ряд ₂F₁ имеет Полиномы Лежандра как частный случай, а при рассмотрении в виде сферические гармоники, эти многочлены отражают, в определенном смысле, свойства симметрии двумерной сферы или, что то же самое, вращения, задаваемые группой Ли ТАК (3). В разложении тензорного произведения конкретных представлений этой группы Коэффициенты Клебша – Гордана встречаются, что можно записать как ₃F₂ гипергеометрический ряд.

Двусторонний гипергеометрический ряд являются обобщением гипергеометрических функций, где суммируются все целые числа, а не только положительные.

Функции Фокса – Райта являются обобщением обобщенных гипергеометрических функций, где символы Похгаммера в выражении ряда обобщаются на гамма-функции линейных выражений в индексе п.

Заметки

1. Прудников, А.П .; Брычков, Ю. А .; Маричев, О. И. (1990). Интегралы и серии, том 3: Дополнительные специальные функции. Гордон и Брич. п. 439.
2. (Слейтер 1966, Уравнение (4.1.2))
3. Увидеть (Слейтер 1966, Раздел 2.3.1) или (Бейли 1935, Раздел 2.2) для доказательства.
4. Увидеть (Бейли 1935, Раздел 3.1) для подробного доказательства. Альтернативное доказательство находится в (Слейтер 1966, Раздел 2.3.3)
5. См. Erdélyi et al. 1955 г.
6. Чандан, Чагатай. «Простое доказательство F (1,1,1; 2,2; x) = dilog (1-x) / x» (PDF).

использованная литература

• Askey, R.A .; Даалхуис, Адри Б. Олде (2010), «Обобщенная гипергеометрическая функция», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, Г-Н  2723248
• Эндрюс, Джордж Э .; Аски, Ричард и Рой, Ранджан (1999). Специальные функции. Энциклопедия математики и ее приложений. 71. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-78988-2. Г-Н  1688958.
• Бейли, W.N. (1935). Обобщенный гипергеометрический ряд. Кембриджские трактаты по математике и математической физике. 32. Лондон: Издательство Кембриджского университета. Zbl  0011.02303.
• Диксон, A.C. (1902). «Суммирование определенного ряда». Proc. Лондонская математика. Soc. 35 (1): 284–291. Дои:10.1112 / плмс / с1-35.1.284. JFM  34.0490.02.
• Дугалл, Дж. (1907). «О теореме Вандермонда и некоторых более общих разложениях». Proc. Edinburgh Math. Soc. 25: 114–132. Дои:10.1017 / S0013091500033642.
• Эрдели, Артур; Магнус, Вильгельм; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955). Высшие трансцендентные функции. Vol. III. McGraw-Hill Book Company, Inc., Нью-Йорк-Торонто-Лондон. Г-Н  0066496.
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004). Базовая гипергеометрическая серия. Энциклопедия математики и ее приложений. 96 (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-83357-8. Г-Н  2128719. Zbl  1129.33005. (в первом издании ISBN  0-521-35049-2)
• Гаусс, Карл Фридрих (1813). "Disquisitiones generales circa seriam infinitam" ${\displaystyle 1+{\tfrac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}}$". Комментарии Societatis Regiae Scientarum Gottingensis Recentiores (на латыни). Гёттинген. 2. (перепечатку этой статьи можно найти в Карл Фридрих Гаусс, Werke, п. 125)
• Гриншпан, А. З. (2013), "Обобщенные гипергеометрические функции: тождества произведения и неравенства взвешенной нормы", Рамануджанский журнал, 31 (1–2): 53–66, Дои:10.1007 / s11139-013-9487-х, S2CID  121054930

• Хекман, Геррит и Шлихткрулл, Хенрик (1994). Гармонический анализ и специальные функции на симметричных пространствах. Сан-Диего: Academic Press. ISBN  978-0-12-336170-7. (часть 1 посвящена гипергеометрическим функциям на группах Ли)
• Lavoie, J.L .; Grondin, F .; Rathie, A.K .; Арора, К. (1994). «Обобщения теоремы Диксона о сумме 3F2». Математика. Comp. 62 (205): 267–276. Дои:10.2307/2153407. JSTOR  2153407.
• Miller, A. R .; Пэрис, Р. Б. (2011). «Преобразования типа Эйлера для обобщенной гипергеометрической функции. _{г + 2}F_{г + 1}". З. Энгью. Математика. Phys. 62: 31–45. Дои:10.1007 / s00033-010-0085-0. S2CID  30484300.
• Quigley, J .; Wilson, K.J .; Стены, л .; Бедфорд, Т. (2013). «Байесовский линейный байесовский метод для оценки частоты коррелированных событий» (PDF). Анализ риска. 33 (12): 2209–2224. Дои:10.1111 / risa.12035. PMID  23551053.
• Рати, Арджун К .; Погани, Тибор К. (2008). "Новая формула суммирования для ₃F₂(1/2) и преобразование Куммера II типа ₂F₂(Икс)". Математические коммуникации. 13: 63–66. Г-Н  2422088. Zbl  1146.33002.
• Rakha, M.A .; Рати, Арджун К. (2011). «Расширения преобразования Эйлера типа II и теоремы Заальшуца». Бык. Корейская математика. Soc. 48 (1): 151–156. Дои:10.4134 / bkms.2011.48.1.151.
• Заальшютц, Л. (1890). "Eine Summationsformel". Zeitschrift für Mathematik und Physik (на немецком). 35: 186–188. JFM  22.0262.03.
• Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-06483-5. Г-Н  0201688. Zbl  0135.28101. (есть мягкая обложка 2008 года с ISBN  978-0-521-09061-2)
• Ёсида, Масааки (1997). Гипергеометрические функции, моя любовь: модульные интерпретации конфигурационных пространств. Брауншвейг / Висбаден: Фридр. Vieweg & Sohn. ISBN  978-3-528-06925-4. Г-Н  1453580.

внешние ссылки

• Книга "А = Б", эту книгу можно бесплатно загрузить из Интернета.
• MathWorld
  • Вайсштейн, Эрик В. «Обобщенная гипергеометрическая функция». MathWorld.
  • Вайсштейн, Эрик В. «Гипергеометрическая функция». MathWorld.
  • Вайсштейн, Эрик В. «Конфлюэнтная гипергеометрическая функция первого рода». MathWorld.
  • Вайсштейн, Эрик В. «Конфлюэнтная гипергеометрическая предельная функция». MathWorld.