В Егорычева метод представляет собой набор методов поиска идентичности среди сумм биномиальные коэффициенты. Метод основан на двух наблюдениях. Во-первых, многие тождества можно доказать путем извлечения коэффициентов при производящие функции. Во-вторых, многие производящие функции являются сходящимися степенными рядами, и извлечение коэффициентов может быть выполнено с использованием Теорема Коши о вычетах (обычно это делается интегрированием по небольшому круговому контуру, охватывающему начало координат). Теперь искомую идентичность можно найти, используя манипуляции с интегралами. Некоторые из этих манипуляций непонятны с точки зрения производящей функции. Например, подынтегральное выражение обычно представляет собой рациональная функция, а сумма остатков рациональной функции равна нулю, что дает новое выражение для исходной суммы. В остаток на бесконечности особенно важно в этих соображениях.
Основные интегралы, используемые в методе Егорычева:
- Первый биномиальный интеграл коэффициентов

- Второй биномиальный интеграл коэффициентов

- Интеграл возведения в степень

![{ displaystyle [[0 leq k leq n]] = { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {z ^ {k}} { z ^ {n + 1}}} { frac {1} {1-z}} ; dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0680d3d4e311b2c6e25250974f1daf83f8844f)
Пример I
Предположим, мы стремимся оценить

который, как утверждается, является:
Вводить

и

Это дает сумму
![{ Displaystyle { begin {align} & { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {(1 + z) ^ {n}} {z }} { frac {1} {2 pi i}} int _ {| w | = varepsilon} { frac {1} {w ^ {j + 1}}} sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {n choose k} { frac {(1 + z) ^ {k} (1 + w) ^ {k}} {z ^ {k}}} ; dw ; dz [6pt] = {} & { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {(1 + z) ^ {n }} {z}} { frac {1} {2 pi i}} int _ {| w | = varepsilon} { frac {1} {w ^ {j + 1}}} left (1 - { frac {(1 + w) (1 + z)} {z}} right) ^ {n} ; dw ; dz [6pt] = {} & { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {(1 + z) ^ {n}} {z ^ {n + 1}}} { frac {1} {2 pi i}} int _ {| w | = varepsilon} { frac {1} {w ^ {j + 1}}} (- 1-w-wz) ^ {n} ; dw ; dz [6pt] = {} & { frac {(-1) ^ {n}} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {(1 + z) ^ {n }} {z ^ {n + 1}}} { frac {1} {2 pi i}} int _ {| w | = varepsilon} { frac {1} {w ^ {j + 1} }} (1 + w + wz) ^ {n} ; dw ; dz. End {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bec67decdc082335ccbc59252999791f807c774)
Это

Извлечение остатка при
мы получили
![{ Displaystyle { begin {align} & { frac {(-1) ^ {n}} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {(1 + z) ^ {n}} {z ^ {n + 1}}} {n choose j} (1 + z) ^ {j} ; dz [6pt] = {} & {n choose j} { гидроразрыв {(-1) ^ {n}} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {(1 + z) ^ {n + j}} {z ^ {n +1}}} ; dz [6pt] = {} & (- 1) ^ {n} {n choose j} {n + j choose n} end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73160d71da4c8dd07aa85b343727ab06d27b877b)
тем самым доказывая свою претензию.
Пример II
Предположим, мы стремимся оценить 
Вводить

Обратите внимание, что это ноль, когда
так что мы можем продлить
toinfinity получить на сумму
![{ displaystyle { begin {align} & { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {1} {z ^ {n + 1}}} { frac {1} {(1-z) ^ {n + 1}}} sum _ {k geq 0} k { frac {z ^ {k}} {(1-z) ^ {k} }} ; dz [6pt] = {} & { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {1} {z ^ {n + 1}}} { frac {1} {(1-z) ^ {n + 1}}} { frac {z / (1-z)} {(1-z / (1-z)) ^ { 2}}} ; dz [6pt] = {} & { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = varepsilon} { frac {1} {z ^ { n}}} { frac {1} {(1-z) ^ {n}}} { frac {1} {(1-2z) ^ {2}}} ; dz. end {выровнено}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe5191b439d619a7bc1b7773e57f3608df8ac0d0)
Теперь положите
так что (обратите внимание, что изображение
с
small - это еще один замкнутый кругообразный контур, который мы, конечно, можем деформировать, чтобы получить еще один круг
)

и, кроме того

получить за интеграл

Это оценивается путем осмотра (используйте Бином Ньютона )
![{ displaystyle { begin {align} & 4 ^ {n-1} {n-1 + 1/2 select n-1} = 4 ^ {n-1} {n-1/2 select n-1} = { frac {4 ^ {n-1}} {(n-1)!}} prod _ {q = 0} ^ {n-2} (n-1/2-q) = {} & { frac {2 ^ {n-1}} {(n-1)!}} prod _ {q = 0} ^ {n-2} (2n-2q-1) = { frac {2 ^ {n-1}} {(n-1)!}} { frac {(2n-1)!} {2 ^ {n-1} (n-1)!}} [6pt] = {} & { frac {n ^ {2}} {2n}} {2n choose n} = { frac {1} {2}} n {2n choose n}. end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7831d1aaeef12fb765ae5d5c5af0c68fe86f14bd)
Здесь отображение из
к
определяет выбор квадратного корня. Этот пример также уступает место более простым методам, но был включен сюда, чтобы продемонстрировать эффект подстановки в переменную интегрирования.
внешняя ссылка
Рекомендации