Непрерывная дробь Гаусса - Gausss continued fraction

В комплексный анализ, Непрерывная дробь Гаусса это особый класс непрерывные дроби происходит от гипергеометрические функции. Это была одна из первых аналитических цепных дробей, известных математике, и ее можно использовать для представления нескольких важных элементарные функции, а также некоторые из более сложных трансцендентные функции.

История

Ламберт опубликовал несколько примеров непрерывных дробей в этой форме в 1768 году, и оба Эйлер и Лагранж исследовал подобные конструкции,^[1] но это было Карл Фридрих Гаусс который использовал алгебру, описанную в следующем разделе, чтобы вывести общую форму этой непрерывной дроби, в 1813 году.^[2]

Хотя Гаусс дал форму этой цепной дроби, он не дал доказательства ее свойств сходимости. Бернхард Риманн^[3] и Л.В. Томе^[4] получил частичные результаты, но последнее слово в области, в которой сходится эта цепная дробь, было дано только в 1901 г. Эдвард Берр Ван Флек.^[5]

Вывод

Позволять ${\displaystyle f_{0},f_{1},f_{2},\dots }$ - последовательность аналитических функций, так что

${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}\,z\,f_{i+1}}$

для всех ${\displaystyle i>0}$, где каждый ${\displaystyle k_{i}}$ является константой.

потом

${\displaystyle {\frac {f_{i-1}}{f_{i}}}=1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}},{\text{ and so }}{\frac {f_{i}}{f_{i-1}}}={\frac {1}{1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}}}}}$

Параметр ${\displaystyle g_{i}=f_{i}/f_{i-1},}$

${\displaystyle g_{i}={\frac {1}{1+k_{i}zg_{i+1}}},}$

Так

${\displaystyle g_{1}={\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+k_{1}zg_{2}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+k_{2}zg_{3}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+k_{3}zg_{4}}}}}}}=\cdots .\ }$

Повторение этого до бесконечности дает выражение непрерывной дроби

${\displaystyle {\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+{\cfrac {k_{3}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}$

В непрерывной дроби Гаусса функции ${\displaystyle f_{i}}$ являются гипергеометрическими функциями вида ${\displaystyle {}_{0}F_{1}}$, ${\displaystyle {}_{1}F_{1}}$, и ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$, а уравнения ${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$ возникают как тождества между функциями, где параметры различаются на целые числа. Эти тождества можно доказать несколькими способами, например, развернув ряд и сравнив коэффициенты, или взяв производную несколькими способами и исключив ее из созданных уравнений.

Сериал ₀F₁

Самый простой случай включает

${\displaystyle \,_{0}F_{1}(a;z)=1+{\frac {1}{a\,1!}}z+{\frac {1}{a(a+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {1}{a(a+1)(a+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .}$

Начиная с личности

${\displaystyle \,_{0}F_{1}(a-1;z)-\,_{0}F_{1}(a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\,_{0}F_{1}(a+1;z),}$

мы можем взять

${\displaystyle f_{i}={}_{0}F_{1}(a+i;z),\,k_{i}={\tfrac {1}{(a+i)(a+i-1)}},}$

давая

${\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {1}{a(a+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+1)(a+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+2)(a+3)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}$

или же

${\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{a\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{a+{\cfrac {z}{(a+1)+{\cfrac {z}{(a+2)+{\cfrac {z}{(a+3)+{}\ddots }}}}}}}}.}$

Это разложение сходится к мероморфной функции, определяемой отношением двух сходящихся рядов (конечно, при условии, что а не является ни нулем, ни отрицательным целым числом).

Сериал ₁F₁

Следующий случай связан с

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)=1+{\frac {a}{b\,1!}}z+{\frac {a(a+1)}{b(b+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)\,3!}}z^{3}+\cdots }$

для которого два тождества

${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

используются поочередно.

Позволять

${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{1}F_{1}(a;b;z),}$

${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z),}$

${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+2;z),}$

${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+3;z),}$

${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+4;z),}$

и Т. Д.

Это дает ${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$ куда ${\displaystyle k_{1}={\tfrac {a-b}{b(b+1)}},k_{2}={\tfrac {a+1}{(b+1)(b+2)}},k_{3}={\tfrac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}},k_{4}={\tfrac {a+2}{(b+3)(b+4)}}}$, производя

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a-b}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

или же

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {(a-b)z}{(b+1)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a+2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

по аналогии

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

или же

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {az}{(b+1)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a-b-2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

С ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(0;b;z)=1}$, параметр а на 0 и заменив б + 1 с б в первой непрерывной дроби дает упрощенный частный случай:

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(1;b;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{b+{\cfrac {z}{(b+1)+{\cfrac {-bz}{(b+2)+{\cfrac {2z}{(b+3)+{\cfrac {-(b+1)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

Сериал ₂F₁

Последний случай включает

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c\,1!}}z+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .\,}$

Опять же, поочередно используются два идентификатора.

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z),}$

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-c+1)az}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z).}$

По сути, это то же самое, что и а и б поменялись местами.

Позволять

${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$

${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z),}$

${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+2;z),}$

${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+1;c+3;z),}$

${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+2;c+4;z),}$

и Т. Д.

Это дает ${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$ куда ${\displaystyle k_{1}={\tfrac {(a-c)b}{c(c+1)}},k_{2}={\tfrac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}},k_{3}={\tfrac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}},k_{4}={\tfrac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}}$, производя

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

или же

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{c{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{c+{\cfrac {(a-c)bz}{(c+1)+{\cfrac {(b-c-1)(a+1)z}{(c+2)+{\cfrac {(a-c-1)(b+1)z}{(c+3)+{\cfrac {(b-c-2)(a+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

С ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(0,b;c;z)=1}$, параметр а на 0 и заменив c + 1 с c дает упрощенный частный случай непрерывной дроби:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(1,b;c;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{c+{\cfrac {(b-c)z}{(c+1)+{\cfrac {-c(b+1)z}{(c+2)+{\cfrac {2(b-c-1)z}{(c+3)+{\cfrac {-(c+1)(b+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

Свойства сходимости

В этом разделе исключаются случаи, когда один или несколько параметров являются отрицательными целыми числами, поскольку в этих случаях либо гипергеометрические ряды не определены, либо они являются полиномами, поэтому непрерывная дробь заканчивается. Исключаются и другие тривиальные исключения.

В случаях ${\displaystyle {}_{0}F_{1}}$ и ${\displaystyle {}_{1}F_{1}}$, ряды всюду сходятся, поэтому дробь в левой части есть мероморфная функция. Цепные дроби в правой части будут равномерно сходиться на любом замкнутом и ограниченном множестве, не содержащем полюса этой функции.^[6]

В случае ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$, радиус сходимости ряда равен 1, а дробь в левой части является мероморфной функцией внутри этого круга. Цепные дроби в правой части будут сходиться к функции всюду внутри этого круга.

Непрерывная дробь за пределами круга представляет собой аналитическое продолжение функции на комплексную плоскость с положительной действительной осью, от +1 до бесконечно удаленной точки. В большинстве случаев +1 это точка ветвления, а линия от +1 в положительную бесконечность - ветвь для этой функции. Цепная дробь сходится к мероморфной функции в этой области, и она сходится равномерно на любом замкнутом и ограниченном подмножестве этой области, не содержащем никаких полюсов.^[7]

Приложения

Сериал ₀F₁

У нас есть

${\displaystyle \cosh(z)=\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}$

${\displaystyle \sinh(z)=z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}$

так

${\displaystyle \tanh(z)={\frac {z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}{\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}}={\cfrac {z/2}{{\tfrac {1}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {3}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {5}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {7}{2}}+{}\ddots }}}}}}}}={\cfrac {z}{1+{\cfrac {z^{2}}{3+{\cfrac {z^{2}}{5+{\cfrac {z^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}.}$

Это конкретное расширение известно как Непрерывная дробь Ламберта и восходит к 1768 году.^[8]

Отсюда легко следует, что

${\displaystyle \tan(z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{3-{\cfrac {z^{2}}{5-{\cfrac {z^{2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}.}$

Расширение tanh может использоваться, чтобы доказать, что е^п иррационально для любого целого числа п (чего, увы, недостаточно, чтобы доказать, что е является трансцендентный ). Расширение загара использовали как Ламберт, так и Legendre к доказать, что π иррационально.

В Функция Бесселя ${\displaystyle J_{\nu }}$ можно написать

${\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {({\tfrac {1}{2}}z)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\,_{0}F_{1}(\nu +1;-{\frac {z^{2}}{4}}),}$

из чего следует

${\displaystyle {\frac {J_{\nu }(z)}{J_{\nu -1}(z)}}={\cfrac {z}{2\nu -{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +1)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +2)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +3)-{}\ddots }}}}}}}}.}$

Эти формулы верны и для любого комплекса z.

Сериал ₁F₁

С ${\displaystyle e^{z}={}_{1}F_{1}(1;1;z)}$, ${\displaystyle 1/e^{z}=e^{-z}}$

${\displaystyle e^{z}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{1+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {-z}{3+{\cfrac {2z}{4+{\cfrac {-2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {-z}{2+{\cfrac {z}{3+{\cfrac {-2z}{4+{\cfrac {2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}.}$

С некоторыми манипуляциями это может быть использовано, чтобы доказать представление простой непрерывной дробие,

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

В функция ошибки эрф (z), заданный

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,dt,}$

также может быть вычислено с помощью гипергеометрической функции Куммера:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}\,_{1}F_{1}(1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};z^{2}).}$

Применяя непрерывную дробь Гаусса, можно получить полезное разложение для каждого комплексного числа z может быть получен:^[9]

${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{z^{2}}\operatorname {erf} (z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{{\frac {3}{2}}+{\cfrac {z^{2}}{{\frac {5}{2}}-{\cfrac {{\frac {3}{2}}z^{2}}{{\frac {7}{2}}+{\cfrac {2z^{2}}{{\frac {9}{2}}-{\cfrac {{\frac {5}{2}}z^{2}}{{\frac {11}{2}}+{\cfrac {3z^{2}}{{\frac {13}{2}}-{\cfrac {{\frac {7}{2}}z^{2}}{{\frac {15}{2}}+-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Аналогичный аргумент можно привести для получения разложения в непрерывную дробь для Интегралы Френеля, для Функция Доусона, а для неполная гамма-функция. Более простая версия аргумента дает два полезных разложения в цепную дробь экспоненциальная функция.^[10]

Сериал ₂F₁

Из

${\displaystyle (1-z)^{-b}={}_{1}F_{0}(b;;z)=\,_{2}F_{1}(1,b;1;z),}$

${\displaystyle (1-z)^{-b}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{1+{\cfrac {(b-1)z}{2+{\cfrac {-(b+1)z}{3+{\cfrac {2(b-2)z}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Легко показать, что разложение в ряд Тейлора арктанz в окрестности нуля задается формулой

${\displaystyle \arctan z=zF({\scriptstyle {\frac {1}{2}}},1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};-z^{2}).}$

К этому тождеству можно применить цепную дробь Гаусса, что дает разложение

${\displaystyle \arctan z={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}},}$

который сходится к главной ветви функции обратной касательной на комплексной плоскости разреза, причем разрез продолжается вдоль мнимой оси от я в бесконечно удаленную точку, а от -я до бесконечности.^[11]

Эта конкретная цепная дробь довольно быстро сходится, когда z = 1, что дает значение π / 4 с точностью до семи десятичных знаков по девятой сходящейся дроби. Соответствующая серия

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\pm \cdots }$

сходится гораздо медленнее, требуется более миллиона членов, чтобы получить точность до семи десятичных знаков.^[12]

Варианты этого аргумента могут быть использованы для получения разложения в непрерывную дробь для натуральный логарифм, то функция arcsin, а обобщенный биномиальный ряд.

Примечания

1. Джонс и Трон (1980) стр. 5
2. К. Ф. Гаусс (1813 г.), Werke, т. 3 С. 134–38.
3. Б. Риман (1863), "Sullo svolgimento del quoziente di due serie ipergeometriche in frazione contina infinita" в Werke. С. 400–406. (Посмертный фрагмент).
4. Л. В. Томе (1867), "Über die Kettenbruchentwicklung des Gauß'schen Quotienten ..." Jour. für Math. т. 67 с. 299–309.
5. Э. Б. Ван Флек (1901), «О сходимости цепной дроби Гаусса и других цепных дробей». Анналы математики, т. 3 с. 1–18.
6. Джонс и Трон (1980) стр. 206
7. Стена, 1973 (с. 339)
8. Уолл (1973) стр. 349.
9. Джонс и Трон (1980) стр. 208.
10. Смотрите пример в статье Стол Паде для расширений е^z как непрерывные дроби Гаусса.
11. Уолл (1973) стр. 343. Обратите внимание, что я и -я находятся точки разветвления для функции обратной касательной.
12. Джонс и Трон (1980) стр. 202.

Рекомендации

• Джонс, Уильям Б .; Трон, У. Дж. (1980). Непрерывные дроби: теория и приложения. Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company. стр.198–214. ISBN  0-201-13510-8.
• Уолл, Х.С. (1973). Аналитическая теория непрерывных дробей. Издательская компания "Челси". С. 335–361. ISBN  0-8284-0207-8.
  (Это перепечатка тома, первоначально опубликованного D. Van Nostrand Company, Inc. в 1948 году.)
• Вайсштейн, Эрик В. «Непрерывная дробь Гаусса». MathWorld.