Функция Бесселя - Bessel function

Функции Бесселя - это радиальная часть мод колебаний кругового барабана.

Функции Бесселя, впервые определенная математиком Даниэль Бернулли а затем обобщить Фридрих Бессель, являются каноническими решениями у(Икс) Бесселя дифференциальное уравнение

${displaystyle x^{2}{frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{frac {dy}{dx}}+left(x^{2}-alpha ^{2}ight)y=0}$

для произвольного комплексное число α, то порядок функции Бесселя. Несмотря на то что α и −α производят одно и то же дифференциальное уравнение, принято определять разные функции Бесселя для этих двух значений таким образом, чтобы функции Бесселя в основном были гладкими функциями от α.

Наиболее важные случаи, когда α является целое число или же полуцелое число. Функции Бесселя для целых чисел α также известны как функции цилиндра или цилиндрические гармоники потому что они появляются в решении Уравнение Лапласа в цилиндрические координаты. Сферические функции Бесселя с полуцелым числом α получаются, когда Уравнение Гельмгольца решается в сферические координаты.

Приложения функций Бесселя

Уравнение Бесселя возникает при нахождении разделимых решений Уравнение Лапласа и Уравнение Гельмгольца в цилиндрической или сферические координаты. Поэтому функции Бесселя особенно важны для многих задач распространение волн и статические потенциалы. При решении задач в цилиндрических системах координат получаются функции Бесселя целого порядка (α = п); в сферических задачах получаются полуцелые порядки (α = п + 1/2). Например:

• Электромагнитные волны в цилиндрической волновод
• Амплитуды давления невязкий вращательные потоки
• Теплопроводность в цилиндрическом объекте
• Режимы колебаний тонкой круговой (или кольцевой) акустическая мембрана (например, барабан или другой мембранофон )
• Задачи диффузии на решетке
• Решения радиального Уравнение Шредингера (в сферической и цилиндрической координатах) для свободной частицы
• Решение шаблонов акустического излучения
• Частотно-зависимое трение в круглых трубопроводах
• Динамика плавающих тел
• Угловое разрешение
• Дифракция от спиральных объектов, в том числе ДНК
• Функция плотности вероятности произведения двух нормально распределенных случайных величин

Функции Бесселя также появляются в других задачах, таких как обработка сигналов (например, см. FM синтез, Окно Кайзера, или же Фильтр Бесселя ).

Определения

Поскольку это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, должно быть два линейно независимый решения. Однако в зависимости от обстоятельств удобны различные составы этих растворов. Различные варианты приведены в таблице ниже и описаны в следующих разделах.

Тип	Первый вид	Второй вид
Функции Бесселя	Jα	Yα
Модифицированные функции Бесселя	яα	Kα
Функции Ганкеля	ЧАС^(1) α = Jα + iYα	ЧАС^(2) α = Jα − iYα
Сферические функции Бесселя	jп	уп
Сферические функции Ганкеля	час^(1) п = jп + иуп	час^(2) п = jп − иуп

Функции Бесселя второго рода и сферические функции Бесселя второго рода иногда обозначают через N_п и п_п соответственно, а не Y_п и у_п.^[1][2]

Функции Бесселя первого рода: J_α

Функции Бесселя первого рода, обозначаемые как J_α(Икс), являются решениями дифференциального уравнения Бесселя, конечными в начале координат (Икс = 0) для целых или положительныхα и расходятся как Икс стремится к нулю для отрицательных нецелых чиселα. Функцию можно определить по ее расширение серии вокруг Икс = 0, который можно найти, применив Метод Фробениуса к уравнению Бесселя:^[3]

${displaystyle J_{alpha }(x)=sum _{m=0}^{infty }{frac {(-1)^{m}}{m!Gamma (m+alpha +1)}}{left({frac {x}{2}}ight)}^{2m+alpha },}$

куда Γ (z) это гамма-функция, смещенное обобщение факториал функция к нецелым значениям. Функция Бесселя первого рода - это вся функция если α является целым числом, иначе это многозначная функция с особенностью в нуле. Графики функций Бесселя выглядят примерно как осциллирующие функции синуса или косинуса, которые убывают пропорционально ${displaystyle x^{-{frac {1}{2}}}}$ (см. также их асимптотические формы ниже), хотя их корни в общем случае не периодичны, за исключением асимптотики для больших Икс. (В серии указано, что −J₁(Икс) является производной от J₀(Икс), так же, как −sin Икс является производной от потому что Икс; в более общем смысле производная от J_п(Икс) можно выразить через J_{п ± 1}(Икс) по тождествам ниже.)

График функции Бесселя первого рода, J_α(Икс), для целочисленных заказов α = 0, 1, 2

Для нецелых α, функции J_α(Икс) и J_−α(Икс) линейно независимы и, следовательно, являются двумя решениями дифференциального уравнения. С другой стороны, для целочисленного порядка п, верно следующее соотношение (гамма-функция имеет простые полюсы у каждого из целых неположительных чисел):^[4]

${displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}$

Это означает, что два решения больше не являются линейно независимыми. В этом случае вторым линейно независимым решением оказывается функция Бесселя второго рода, как обсуждается ниже.

Интегралы Бесселя

Другое определение функции Бесселя для целых значений п, можно использовать интегральное представление:^[5]

${displaystyle J_{n}(x)={frac {1}{pi }}int _{0}^{pi }cos(n au -xsin au ),d au .}$

Еще одно интегральное представление:^[5]

${displaystyle J_{n}(x)={frac {1}{2pi }}int _{-pi }^{pi }e^{i(xsin au -n au )},d au .}$

Это был подход, который использовал Бессель, и из этого определения он вывел несколько свойств функции. Определение может быть расширено до нецелочисленных порядков с помощью одного из интегралов Шлефли для Re (Икс) > 0:^{[5][6][7][8][9]}

${displaystyle J_{alpha }(x)={frac {1}{pi }}int _{0}^{pi }cos(alpha au -xsin au ),d au -{frac {sin alpha pi }{pi }}int _{0}^{infty }e^{-xsinh t-alpha t},dt.}$

Отношение к гипергеометрическому ряду

Функции Бесселя можно выразить через обобщенный гипергеометрический ряд в качестве^[10]

${displaystyle J_{alpha }(x)={frac {left({frac {x}{2}}ight)^{alpha }}{Gamma (alpha +1)}};_{0}F_{1}left(alpha +1;-{frac {x^{2}}{4}}ight).}$

Это выражение связано с развитием функций Бесселя в терминах Функция Бесселя – Клиффорда.

Связь с полиномами Лагерра

Что касается Полиномы Лагерра L_k и произвольно выбранный параметр т, функция Бесселя может быть выражена как^[11]

${displaystyle {frac {J_{alpha }(x)}{left({frac {x}{2}}ight)^{alpha }}}={frac {e^{-t}}{Gamma (alpha +1)}}sum _{k=0}^{infty }{frac {L_{k}^{(alpha )}left({frac {x^{2}}{4t}}ight)}{inom {k+alpha }{k}}}{frac {t^{k}}{k!}}.}$

Функции Бесселя второго рода: Y_α

Функции Бесселя второго рода, обозначаемые Y_α(Икс), иногда вместо этого обозначается N_α(Икс), являются решениями дифференциального уравнения Бесселя, имеющими особенность в начале координат (Икс = 0) и являются многозначный. Иногда их называют Функции Вебера, как они были представлены Х. М. Вебер  (1873 ), а также Функции Неймана после Карл Нойманн.^[12]

График функции Бесселя второго рода, Y_α(Икс), для целочисленных заказов α = 0, 1, 2

Для нецелых α, Y_α(Икс) относится к J_α(Икс) к

${displaystyle Y_{alpha }(x)={frac {J_{alpha }(x)cos(alpha pi )-J_{-alpha }(x)}{sin(alpha pi )}}.}$

В случае целочисленного порядка п, функция определяется путем принятия предела как нецелого числа α как правило п:

${displaystyle Y_{n}(x)=lim _{alpha o n}Y_{alpha }(x).}$

Если п - целое неотрицательное число, имеем ряд^[13]

${displaystyle Y_{n}(z)=-{frac {left({frac {z}{2}}ight)^{-n}}{pi }}sum _{k=0}^{n-1}{frac {(n-k-1)!}{k!}}left({frac {z^{2}}{4}}ight)^{k}+{frac {2}{pi }}J_{n}(z)ln {frac {z}{2}}-{frac {left({frac {z}{2}}ight)^{n}}{pi }}sum _{k=0}^{infty }(psi (k+1)+psi (n+k+1)){frac {left(-{frac {z^{2}}{4}}ight)^{k}}{k!(n+k)!}}}$

куда ${displaystyle psi (z)}$ это функция дигаммы, то логарифмическая производная из гамма-функция.^[14]

Также существует соответствующая интегральная формула (для Re (Икс) > 0):^[15]

${displaystyle Y_{n}(x)={frac {1}{pi }}int _{0}^{pi }sin(xsin heta -n heta ),d heta -{frac {1}{pi }}int _{0}^{infty }left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}ight)e^{-xsinh t},dt.}$

Y_α(Икс) необходимо как второе линейно независимое решение уравнения Бесселя, когда α целое число. Но Y_α(Икс) имеет большее значение, чем это. Его можно рассматривать как «естественного» партнера J_α(Икс). См. Также подраздел о функциях Ганкеля ниже.

Когда α является целым числом, причем, как и в случае с функциями первого рода, верно следующее соотношение:

${displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).}$

Обе J_α(Икс) и Y_α(Икс) находятся голоморфные функции из Икс на комплексная плоскость разрез по отрицательной действительной оси. Когда α является целым числом, функции Бесселя J находятся целые функции из Икс. Если Икс фиксируется на ненулевом значении, то функции Бесселя являются целыми функциями α.

Функции Бесселя второго рода при α является целым числом является примером второго вида решения в Теорема Фукса.

Функции Ганкеля: ЧАС⁽¹⁾
_α, ЧАС⁽²⁾
_α

Другой важной формулировкой двух линейно независимых решений уравнения Бесселя являются Функции Ганкеля первого и второго рода, ЧАС⁽¹⁾
_α(Икс) и ЧАС⁽²⁾
_α(Икс), определяется как^[16]

${displaystyle {egin{aligned}H_{alpha }^{(1)}(x)&=J_{alpha }(x)+iY_{alpha }(x),H_{alpha }^{(2)}(x)&=J_{alpha }(x)-iY_{alpha }(x),end{aligned}}}$

куда я это мнимая единица. Эти линейные комбинации также известны как Функции Бесселя третьего рода; это два линейно независимых решения дифференциального уравнения Бесселя. Они названы в честь Герман Ганкель.

Эти формы линейной комбинации удовлетворяют многочисленным на первый взгляд простым свойствам, таким как асимптотические формулы или интегральные представления. Здесь "простой" означает появление фактора формы е^{я ж(Икс)}. Таким образом, можно думать, что функция Бесселя второго рода естественным образом возникает как мнимая часть функций Ганкеля.

Функции Ганкеля используются для выражения решений цилиндрических волн, распространяющихся наружу и внутрь, уравнения цилиндрической волны, соответственно (или наоборот, в зависимости от подписать соглашение для частота ).

Используя предыдущие отношения, их можно выразить как

${displaystyle {egin{aligned}H_{alpha }^{(1)}(x)&={frac {J_{-alpha }(x)-e^{-alpha pi i}J_{alpha }(x)}{isin alpha pi }},H_{alpha }^{(2)}(x)&={frac {J_{-alpha }(x)-e^{alpha pi i}J_{alpha }(x)}{-isin alpha pi }}.end{aligned}}}$

Если α является целым числом, необходимо рассчитать предел. Следующие отношения действительны, независимо от того, α целое число или нет:^[17]

${displaystyle {egin{aligned}H_{-alpha }^{(1)}(x)&=e^{alpha pi i}H_{alpha }^{(1)}(x),H_{-alpha }^{(2)}(x)&=e^{-alpha pi i}H_{alpha }^{(2)}(x).end{aligned}}}$

В частности, если α = м + 1/2 с м неотрицательное целое число, из приведенных выше соотношений прямо следует, что

${displaystyle {egin{aligned}J_{-(m+{frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{frac {1}{2}}}(x),Y_{-(m+{frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{frac {1}{2}}}(x).end{aligned}}}$

Они полезны при разработке сферических функций Бесселя (см. Ниже).

Функции Ганкеля допускают следующие интегральные представления для Re (Икс) > 0:^[18]

${displaystyle {egin{aligned}H_{alpha }^{(1)}(x)&={frac {1}{pi i}}int _{-infty }^{+infty +ipi }e^{xsinh t-alpha t},dt,H_{alpha }^{(2)}(x)&=-{frac {1}{pi i}}int _{-infty }^{+infty -ipi }e^{xsinh t-alpha t},dt,end{aligned}}}$

где пределы интеграции указывают на интеграцию по контур который можно выбрать так: из −∞ до 0 по отрицательной действительной оси, от 0 до ±яπ вдоль мнимой оси, а от ±яπ к +∞ ± яπ по контуру, параллельному действительной оси.^[15]

Модифицированные функции Бесселя: я_α, K_α

Функции Бесселя справедливы даже для сложный аргументы Икс, и важным частным случаем является случай чисто воображаемого аргумента. В этом случае решения уравнения Бесселя называются модифицированные функции Бесселя (или иногда гиперболические функции Бесселя) первого и второго рода и определяются как^[19]

${displaystyle {egin{aligned}I_{alpha }(x)&=i^{-alpha }J_{alpha }(ix)=sum _{m=0}^{infty }{frac {1}{m!,Gamma (m+alpha +1)}}left({frac {x}{2}}ight)^{2m+alpha },K_{alpha }(x)&={frac {pi }{2}}{frac {I_{-alpha }(x)-I_{alpha }(x)}{sin alpha pi }},end{aligned}}}$

когда α не является целым числом; когда α является целым числом, тогда используется предел. Они выбраны как действительные для реальных и положительных аргументов. Икс. Расширение серии для я_α(Икс) таким образом, аналогичен таковому для J_α(Икс), но без чередования (−1)^м фактор.

${displaystyle K_{alpha }}$ можно выразить через функции Ганкеля:

${displaystyle K_{alpha }={egin{cases}{frac {pi }{2}}i^{alpha +1}H_{alpha }^{(1)}(ix)&-pi <arg xleq {frac {pi }{2}}{frac {pi }{2}}(-i)^{alpha +1}H_{alpha }^{(2)}(-ix)&-{frac {pi }{2}}<arg xleq pi end{cases}}}$

Мы можем выразить первую и вторую функции Бесселя через модифицированные функции Бесселя (они верны, если −π z ≤ π/2):^[20]

${displaystyle {egin{aligned}J_{alpha }(iz)&=e^{frac {alpha ipi }{2}}I_{alpha }(z),Y_{alpha }(iz)&=e^{frac {(alpha +1)ipi }{2}}I_{alpha }(z)-{frac {2}{pi }}e^{-{frac {alpha ipi }{2}}}K_{alpha }(z).end{aligned}}}$

я_α(Икс) и K_α(Икс) два линейно независимых решения модифицированное уравнение Бесселя:^[21]

${displaystyle x^{2}{frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{frac {dy}{dx}}-left(x^{2}+alpha ^{2}ight)y=0.}$

В отличие от обычных функций Бесселя, которые колеблются как функции действительного аргумента, я_α и K_α находятся экспоненциально растущий и разлагающийся функции соответственно. Как и обычная функция Бесселя J_α, функция я_α стремится к нулю в Икс = 0 за α > 0 и конечна при Икс = 0 за α = 0. Аналогично, K_α расходится в Икс = 0 с особенностью логарифмического типа для K₀, и ½Γ (|α|)(2/Икс)^|α| иначе.^[22]

Модифицированные функции Бесселя первого рода, яα(Икс), за α = 0, 1, 2, 3

Модифицированные функции Бесселя второго рода, Kα(Икс), за α = 0, 1, 2, 3

Две интегральные формулы для модифицированных функций Бесселя: (для Re (Икс) > 0):^[23]

${displaystyle {egin{aligned}I_{alpha }(x)&={frac {1}{pi }}int _{0}^{pi }e^{xcos heta }cos alpha heta ,d heta -{frac {sin alpha pi }{pi }}int _{0}^{infty }e^{-xcosh t-alpha t},dt,K_{alpha }(x)&=int _{0}^{infty }e^{-xcosh t}cosh alpha t,dt.end{aligned}}}$

Функции Бесселя можно описать как преобразования Фурье степеней квадратичных функций. Например:

${displaystyle 2,K_{0}(omega )=int _{-infty }^{infty }{frac {e^{iomega t}}{sqrt {t^{2}+1}}},dt.}$

Это может быть доказано, если показать равенство приведенному выше определению интеграла для K₀. Это делается путем интегрирования замкнутой кривой в первом квадранте комплексной плоскости.

Модифицированные функции Бесселя K_1/3 и K_2/3 можно представить в виде быстро сходящихся интегралов^[24]

${displaystyle {egin{aligned}K_{frac {1}{3}}(xi )&={sqrt {3}}int _{0}^{infty }exp left(-xi left(1+{frac {4x^{2}}{3}}ight){sqrt {1+{frac {x^{2}}{3}}}}ight),dx,K_{frac {2}{3}}(xi )&={frac {1}{sqrt {3}}}int _{0}^{infty }{frac {3+2x^{2}}{sqrt {1+{frac {x^{2}}{3}}}}}exp left(-xi left(1+{frac {4x^{2}}{3}}ight){sqrt {1+{frac {x^{2}}{3}}}}ight),dx.end{aligned}}}$

В модифицированная функция Бесселя второго рода также был назван следующими именами (теперь редко):

• Функция бассета после Альфред Барнард Бассет
• Модифицированная функция Бесселя третьего рода
• Модифицированная функция Ганкеля^[25]
• Функция Макдональда после Гектор Манро Макдональд

Сферические функции Бесселя: j_п, у_п

Сферические функции Бесселя первого рода, j_п(Икс), за п = 0, 1, 2

Сферические функции Бесселя второго рода, у_п(Икс), за п = 0, 1, 2

При решении Уравнение Гельмгольца в сферических координатах путем разделения переменных радиальное уравнение имеет вид

${displaystyle x^{2}{frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{frac {dy}{dx}}+left(x^{2}-n(n+1)ight)y=0.}$

Два линейно независимых решения этого уравнения называются сферические функции Бесселя j_п и у_п, и связаны с обычными функциями Бесселя J_п и Y_п к^[26]

${displaystyle {egin{aligned}j_{n}(x)&={sqrt {frac {pi }{2x}}}J_{n+{frac {1}{2}}}(x),y_{n}(x)&={sqrt {frac {pi }{2x}}}Y_{n+{frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{sqrt {frac {pi }{2x}}}J_{-n-{frac {1}{2}}}(x).end{aligned}}}$

у_п также обозначается п_п или же η_п; некоторые авторы называют эти функции сферические функции Неймана.

Сферические функции Бесселя также можно записать как (Формулы Рэлея)^[27]

${displaystyle {egin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}left({frac {1}{x}}{frac {d}{dx}}ight)^{n}{frac {sin x}{x}},y_{n}(x)&=-(-x)^{n}left({frac {1}{x}}{frac {d}{dx}}ight)^{n}{frac {cos x}{x}}.end{aligned}}}$

Первая сферическая функция Бесселя j₀(Икс) также известен как (ненормализованный) функция sinc. Первые несколько сферических функций Бесселя:^[28]

${displaystyle {egin{aligned}j_{0}(x)&={frac {sin x}{x}}.j_{1}(x)&={frac {sin x}{x^{2}}}-{frac {cos x}{x}},j_{2}(x)&=left({frac {3}{x^{2}}}-1ight){frac {sin x}{x}}-{frac {3cos x}{x^{2}}},j_{3}(x)&=left({frac {15}{x^{3}}}-{frac {6}{x}}ight){frac {sin x}{x}}-left({frac {15}{x^{2}}}-1ight){frac {cos x}{x}}end{aligned}}}$

и^[29]

${displaystyle {egin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{frac {cos x}{x}},y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{frac {cos x}{x^{2}}}-{frac {sin x}{x}},y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=left(-{frac {3}{x^{2}}}+1ight){frac {cos x}{x}}-{frac {3sin x}{x^{2}}},y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=left(-{frac {15}{x^{3}}}+{frac {6}{x}}ight){frac {cos x}{x}}-left({frac {15}{x^{2}}}-1ight){frac {sin x}{x}}.end{aligned}}}$

Производящая функция

Сферические функции Бесселя имеют производящие функции^[30]

${displaystyle {egin{aligned}{frac {1}{z}}cos left({sqrt {z^{2}-2zt}}ight)&=sum _{n=0}^{infty }{frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),{frac {1}{z}}sin left({sqrt {z^{2}-2zt}}ight)&=sum _{n=0}^{infty }{frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).end{aligned}}}$

Дифференциальные отношения

В следующих, ж_п любой из j_п, у_п, час⁽¹⁾
_п, час⁽²⁾
_п за п = 0, ±1, ±2, ...^[31]

${displaystyle {egin{aligned}left({frac {1}{z}}{frac {d}{dz}}ight)^{m}left(z^{n+1}f_{n}(z)ight)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),left({frac {1}{z}}{frac {d}{dz}}ight)^{m}left(z^{-n}f_{n}(z)ight)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).end{aligned}}}$

Сферические функции Ганкеля: час⁽¹⁾
_п, час⁽²⁾
_п

Существуют также сферические аналоги функций Ганкеля:

${displaystyle {egin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).end{aligned}}}$

Фактически, существуют простые выражения в замкнутой форме для функций Бесселя от полуцелое число заказ по стандарту тригонометрические функции, а значит, и для сферических функций Бесселя. В частности, для неотрицательных целых чисел п:

${displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{frac {e^{ix}}{x}}sum _{m=0}^{n}{frac {i^{m}}{m!,(2x)^{m}}}{frac {(n+m)!}{(n-m)!}},}$

и час⁽²⁾
_п является комплексно-сопряженным с этим (на самом деле Икс). Отсюда следует, например, что j₀(Икс) = грех Икс/Икс и у₀(Икс) = −потому что Икс/Икс, и так далее.

Сферические функции Ганкеля возникают в задачах, включающих сферическая волна распространение, например, в мультипольное разложение электромагнитного поля.

Функции Риккати – Бесселя: S_п, C_п, ξ_п, ζ_п

Риккати –Функции Бесселя мало отличаются от сферических функций Бесселя:

${displaystyle {egin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={sqrt {frac {pi x}{2}}}J_{n+{frac {1}{2}}}(x)C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{sqrt {frac {pi x}{2}}}Y_{n+{frac {1}{2}}}(x)xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={sqrt {frac {pi x}{2}}}H_{n+{frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={sqrt {frac {pi x}{2}}}H_{n+{frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)end{aligned}}}$

Они удовлетворяют дифференциальному уравнению

${displaystyle x^{2}{frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+left(x^{2}-n(n+1)ight)y=0.}$

Например, такое дифференциальное уравнение появляется в квантовая механика при решении радиальной составляющей Уравнение Шредингера с гипотетическим цилиндрическим бесконечным потенциальным барьером.^[32] Это дифференциальное уравнение и решения Риккати – Бесселя также возникают в задаче о рассеянии электромагнитных волн на сфере, известной как Рассеяние Ми после первого опубликованного решения Ми (1908). См., Например, Du (2004).^[33] для последних событий и ссылок.

Следующий Дебай (1909), обозначения ψ_п, χ_п иногда используется вместо S_п, C_п.

Асимптотические формы

Функции Бесселя имеют следующие асимптотический формы. Для небольших аргументов 0 < z ≪ √α + 1, получаем, когда α не является отрицательным целым числом:^[3]

${displaystyle J_{alpha }(z)sim {frac {1}{Gamma (alpha +1)}}left({frac {z}{2}}ight)^{alpha }.}$

Когда α отрицательное целое число, мы имеем

${displaystyle J_{alpha }(z)sim {frac {(-1)^{alpha }}{(-alpha )!}}left({frac {2}{z}}ight)^{alpha }.}$

Для функции Бесселя второго рода имеем три случая:

${displaystyle Y_{alpha }(z)sim {egin{cases}{dfrac {2}{pi }}left(ln left({dfrac {z}{2}}ight)+gamma ight)&{ ext{if }}alpha =0-{dfrac {Gamma (alpha )}{pi }}left({dfrac {2}{z}}ight)^{alpha }+{dfrac {1}{Gamma (alpha +1)}}left({dfrac {z}{2}}ight)^{alpha }cot(alpha pi )&{ ext{if }}alpha { ext{ is not a non-positive integer (one term dominates unless }}alpha { ext{ is imaginary)}},-{dfrac {(-1)^{alpha }Gamma (-alpha )}{pi }}left({dfrac {z}{2}}ight)^{alpha }&{ ext{if }}alpha { ext{ is a negative integer,}}end{cases}}}$

куда γ это Константа Эйлера – Маскерони (0.5772...).

Для больших реальных аргументов z ≫ |α² − 1/4|, нельзя записать истинную асимптотику для функций Бесселя первого и второго рода (если только α является полуцелое число ) потому что у них есть нули вплоть до бесконечности, что должно быть точно согласовано с любым асимптотическим разложением. Однако для данного значения аргумент z можно написать уравнение, содержащее член порядка |z|⁻¹:^[34]

${displaystyle {egin{aligned}J_{alpha }(z)&={sqrt {frac {2}{pi z}}}left(cos left(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}ight)+e^{left|operatorname {Im} (z)ight|}mathrm {O} left(|z|^{-1}ight)ight)&&{ ext{for }}left|arg zight|<pi ,Y_{alpha }(z)&={sqrt {frac {2}{pi z}}}left(sin left(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}ight)+e^{left|operatorname {Im} (z)ight|}mathrm {O} left(|z|^{-1}ight)ight)&&{ ext{for }}left|arg zight|<pi .end{aligned}}}$

(За α = 1/2 последние члены в этих формулах полностью выпадают; см. сферические функции Бесселя выше.) Несмотря на то, что эти уравнения верны, лучшие приближения могут быть доступны для сложных z. Например, J₀(z) когда z находится рядом с отрицательной действительной линией, лучше аппроксимируется

${displaystyle J_{0}(z)approx {sqrt {frac {-2}{pi z}}}cos left(z+{frac {pi }{4}}ight)}$

чем на

${displaystyle J_{0}(z)approx {sqrt {frac {2}{pi z}}}cos left(z-{frac {pi }{4}}ight).}$

Асимптотики функций Ганкеля:

${displaystyle {egin{aligned}H_{alpha }^{(1)}(z)&sim {sqrt {frac {2}{pi z}}}e^{ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}ight)}&&{ ext{for }}-pi <arg z<2pi ,H_{alpha }^{(2)}(z)&sim {sqrt {frac {2}{pi z}}}e^{-ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}ight)}&&{ ext{for }}-2pi <arg z<pi .end{aligned}}}$

Их можно распространить на другие значения аргумент z используя уравнения, связывающие ЧАС⁽¹⁾
_α(зе^яπ) и ЧАС⁽²⁾
_α(зе^яπ) к ЧАС⁽¹⁾
_α(z) и ЧАС⁽²⁾
_α(z).^[35]

Интересно, что, хотя функция Бесселя первого рода является средним из двух функций Ганкеля, J_α(z) не является асимптотическим к среднему этих двух асимптотик, когда z отрицательный (потому что то или другое там не будет правильным, в зависимости от аргумент z использовал). Но асимптотики для функций Ганкеля позволяют записать асимптотики для функций Бесселя первого и второго рода для сложный (нереально) z пока |z| уходит в бесконечность при постоянном фазовом угле аргумент z (используя квадратный корень с положительной действительной частью):

${displaystyle {egin{aligned}J_{alpha }(z)&sim {frac {1}{sqrt {2pi z}}}e^{ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}ight)}&&{ ext{for }}-pi <arg z<0,J_{alpha }(z)&sim {frac {1}{sqrt {2pi z}}}e^{-ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}ight)}&&{ ext{for }}0<arg z<pi ,Y_{alpha }(z)&sim -i{frac {1}{sqrt {2pi z}}}e^{ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}ight)}&&{ ext{for }}-pi <arg z<0,Y_{alpha }(z)&sim -i{frac {1}{sqrt {2pi z}}}e^{-ileft(z-{frac {alpha pi }{2}}-{frac {pi }{4}}ight)}&&{ ext{for }}0<arg z<pi .end{aligned}}}$

Для модифицированных функций Бесселя Ганкель развитый асимптотические разложения (с большим аргументом) также:^[36][37]

${displaystyle {egin{aligned}I_{alpha }(z)&sim {frac {e^{z}}{sqrt {2pi z}}}left(1-{frac {4alpha ^{2}-1}{8z}}+{frac {left(4alpha ^{2}-1ight)left(4alpha ^{2}-9ight)}{2!(8z)^{2}}}-{frac {left(4alpha ^{2}-1ight)left(4alpha ^{2}-9ight)left(4alpha ^{2}-25ight)}{3!(8z)^{3}}}+cdots ight)&&{ ext{for }}left|arg zight|<{frac {pi }{2}},K_{alpha }(z)&sim {sqrt {frac {pi }{2z}}}e^{-z}left(1+{frac {4alpha ^{2}-1}{8z}}+{frac {left(4alpha ^{2}-1ight)left(4alpha ^{2}-9ight)}{2!(8z)^{2}}}+{frac {left(4alpha ^{2}-1ight)left(4alpha ^{2}-9ight)left(4alpha ^{2}-25ight)}{3!(8z)^{3}}}+cdots ight)&&{ ext{for }}left|arg zight|<{frac {3pi }{2}}.end{aligned}}}$

Когда α = 1/2, все члены, кроме первого, исчезают, и мы имеем

${displaystyle {egin{aligned}I_{frac {1}{2}}(z)&={sqrt {frac {2}{pi z}}}sinh(z)sim {frac {e^{z}}{sqrt {2pi z}}}&&{ ext{for }}left|arg zight|<{ frac {pi }{2}},K_{frac {1}{2}}(z)&={sqrt {frac {pi }{2z}}}e^{-z}.end{aligned}}}$

Для небольших аргументов 0 < |z| ≪ √α + 1, у нас есть

${displaystyle {egin{aligned}I_{alpha }(z)&sim {frac {1}{Gamma (alpha +1)}}left({frac {z}{2}}ight)^{alpha },K_{alpha }(z)&sim {egin{cases}-ln left({dfrac {z}{2}}ight)-gamma &{ ext{if }}alpha =0{frac {Gamma (alpha )}{2}}left({dfrac {2}{z}}ight)^{alpha }&{ ext{if }}alpha >0end{cases}}end{aligned}}}$

Полнобластные приближения с элементарными функциями

Очень хорошее приближение (ошибка ниже ${displaystyle 0.3\%}$ от максимального значения 1)^{[нужна цитата ]} функции Бесселя ${displaystyle J_{0}}$ для произвольного значения аргумента Икс может быть получена с элементарными функциями путем объединения тригонометрического приближения, работающего для меньших значений Икс с выражением, содержащим ослабленную функцию косинуса, действительную для больших аргументов, с использованием функции плавного перехода ${displaystyle {frac {1}{1+(x/7)^{20}}}}$ т.е.

${displaystyle J_{0}(x)approx left[{frac {1}{6}}+{frac {1}{3}}cos {frac {x}{2}}+{frac {1}{3}}cos {frac {{sqrt {3}}x}{2}}+{frac {1}{6}}cos xight]{frac {1}{1+(x/7)^{20}}}+{sqrt {frac {2}{pi |x|}}}cos left[x-{frac {pi }{4}}operatorname {sgn}(x)ight]left[1-{frac {1}{1+(x/7)^{20}}}ight].}$

Характеристики

Для целочисленного порядка α = п, J_п часто определяется через Серия Laurent для производящей функции:

${displaystyle e^{left({frac {x}{2}}ight)left(t-{frac {1}{t}}ight)}=sum _{n=-infty }^{infty }J_{n}(x)t^{n}}$

подход, используемый П. А. Хансен в 1843 году. (Это может быть обобщено на нецелочисленный порядок с помощью контурная интеграция или другие методы.) Другим важным соотношением для целочисленных порядков является Расширение Якоби – Гнева:

${displaystyle e^{izcos phi }=sum _{n=-infty }^{infty }i^{n}J_{n}(z)e^{inphi }}$

и

${displaystyle e^{pm izsin phi }=J_{0}(z)+2sum _{n=1}^{infty }J_{2n}(z)cos(2nphi )pm 2isum _{n=0}^{infty }J_{2n+1}(z)sin((2n+1)phi )}$

который используется для расширения плоская волна как сумма цилиндрических волн, или найти Ряд Фурье тональной модуляции FM сигнал.

В более общем смысле, серия

${displaystyle f(z)=a_{0}^{u }J_{u }(z)+2cdot sum _{k=1}^{infty }a_{k}^{u }J_{u +k}(z)}$

называется разложением Неймана ж. Коэффициенты при ν = 0 имеют явный вид

${displaystyle a_{k}^{0}={frac {1}{2pi i}}int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z),dz}$

куда О_k является Многочлен Неймана.^[38]

Выбранные функции допускают особое представление

${displaystyle f(z)=sum _{k=0}^{infty }a_{k}^{u }J_{u +2k}(z)}$

с

${displaystyle a_{k}^{u }=2(u +2k)int _{0}^{infty }f(z){frac {J_{u +2k}(z)}{z}},dz}$

в силу соотношения ортогональности

${displaystyle int _{0}^{infty }J_{alpha }(z)J_{eta }(z){frac {dz}{z}}={frac {2}{pi }}{frac {sin left({frac {pi }{2}}(alpha -eta )ight)}{alpha ^{2}-eta ^{2}}}}$

В более общем смысле, если ж имеет точку ветвления рядом с источником такой природы, что

${displaystyle f(z)=sum _{k=0}a_{k}J_{u +k}(z)}$

тогда

${displaystyle {mathcal {L}}left{sum _{k=0}a_{k}J_{u +k}ight}(s)={frac {1}{sqrt {1+s^{2}}}}sum _{k=0}{frac {a_{k}}{left(s+{sqrt {1+s^{2}}}ight)^{u +k}}}}$

или же

${displaystyle sum _{k=0}a_{k}xi ^{u +k}={frac {1+xi ^{2}}{2xi }}{mathcal {L}}{f}left({frac {1-xi ^{2}}{2xi }}ight)}$

куда ${displaystyle {mathcal {L}}{f}}$ это Преобразование Лапласа из ж.^[39]

Еще один способ определения функций Бесселя - это формула представления Пуассона и формула Мелера-Сонина:

${displaystyle {egin{aligned}J_{u }(z)&={frac {left({frac {z}{2}}ight)^{u }}{Gamma left(u +{frac {1}{2}}ight){sqrt {pi }}}}int _{-1}^{1}e^{izs}left(1-s^{2}ight)^{u -{frac {1}{2}}},ds[5px]&={frac {2}{{left({frac {z}{2}}ight)}^{u }cdot {sqrt {pi }}cdot Gamma left({frac {1}{2}}-u ight)}}int _{1}^{infty }{frac {sin zu}{left(u^{2}-1ight)^{u +{frac {1}{2}}}}},duend{aligned}}}$

куда ν> -1/2 и z ∈ C.^[40]Эта формула особенно полезна при работе с Преобразования Фурье.

Поскольку уравнение Бесселя становится Эрмитский (самосопряженный), если он разделен на Икс, решения должны удовлетворять соотношению ортогональности для соответствующих граничных условий. В частности, следует, что:

${displaystyle int _{0}^{1}xJ_{alpha }left(xu_{alpha ,m}ight)J_{alpha }left(xu_{alpha ,n}ight),dx={frac {delta _{m,n}}{2}}left[J_{alpha +1}left(u_{alpha ,m}ight)ight]^{2}={frac {delta _{m,n}}{2}}left[J_{alpha }'left(u_{alpha ,m}ight)ight]^{2}}$

куда α > −1, δ_м,п это Дельта Кронекера, и ты_α,м это мth нуль из J_α(Икс). Это соотношение ортогональности затем можно использовать для извлечения коэффициентов в Ряд Фурье – Бесселя, где функция раскладывается по базису функций J_α(Икс ты_α,м) для фиксированного α и различные м.

Непосредственно следует аналогичное соотношение для сферических функций Бесселя:

${displaystyle int _{0}^{1}x^{2}j_{alpha }left(xu_{alpha ,m}ight)j_{alpha }left(xu_{alpha ,n}ight),dx={frac {delta _{m,n}}{2}}left[j_{alpha +1}left(u_{alpha ,m}ight)ight]^{2}}$

Если определить функция товарного вагона из Икс это зависит от небольшого параметра ε в качестве:

${displaystyle f_{varepsilon }(x)=varepsilon operatorname {rect} left({frac {x-1}{varepsilon }}ight)}$

(куда прямоугольник это функция прямоугольника ) тогда Преобразование Ганкеля его (любого данного порядка α > −1/2), грамм_ε(k), подходы J_α(k) в качестве ε приближается к нулю для любого данного k. Наоборот, преобразование Ганкеля (того же порядка) грамм_ε(k) является ж_ε(Икс):

${displaystyle int _{0}^{infty }kJ_{alpha }(kx)g_{varepsilon }(k),dk=f_{varepsilon }(x)}$

который равен нулю всюду, кроме около 1. Поскольку ε стремится к нулю, правая часть приближается δ(Икс − 1), куда δ это Дельта-функция Дирака. Это допускает предел (в распределительный смысл):

${displaystyle int _{0}^{infty }kJ_{alpha }(kx)J_{alpha }(k),dk=delta (x-1)}$

Затем замена переменных дает уравнение замыкания:^[41]

${displaystyle int _{0}^{infty }xJ_{alpha }(ux)J_{alpha }(vx),dx={frac {1}{u}}delta (u-v)}$

за α > −1/2. Преобразование Ханкеля может выражать довольно произвольную функцию^{[требуется разъяснение ]}как интеграл функций Бесселя разного масштаба. Для сферических функций Бесселя соотношение ортогональности:

${displaystyle int _{0}^{infty }x^{2}j_{alpha }(ux)j_{alpha }(vx),dx={frac {pi }{2u^{2}}}delta (u-v)}$

за α > −1.

Еще одно важное свойство уравнений Бесселя, которое следует из Личность Авеля, включает Вронскиан решений:

${displaystyle A_{alpha }(x){frac {dB_{alpha }}{dx}}-{frac {dA_{alpha }}{dx}}B_{alpha }(x)={frac {C_{alpha }}{x}}}$

куда А_α и B_α - любые два решения уравнения Бесселя, и C_α постоянная, не зависящая от Икс (который зависит от α и от конкретных рассматриваемых функций Бесселя). Особенно,

${displaystyle J_{alpha }(x){frac {dY_{alpha }}{dx}}-{frac {dJ_{alpha }}{dx}}Y_{alpha }(x)={frac {2}{pi x}}}$

и

${displaystyle I_{alpha }(x){frac {dK_{alpha }}{dx}}-{frac {dI_{alpha }}{dx}}K_{alpha }(x)=-{frac {1}{x}},}$

за α > −1.

За α > −1, четная целая функция рода 1, Икс^−αJ_α(Икс), имеет только действительные нули. Позволять

${displaystyle 0<j_{alpha ,1}<j_{alpha ,2}<cdots <j_{alpha ,n}<cdots }$

- все его положительные нули, тогда

${displaystyle J_{alpha }(z)={frac {left({frac {z}{2}}ight)^{alpha }}{Gamma (alpha +1)}}prod _{n=1}^{infty }left(1-{frac {z^{2}}{j_{alpha ,n}^{2}}}ight)}$

(Существует большое количество других известных интегралов и тождеств, которые здесь не воспроизводятся, но которые можно найти в справочных материалах.)

Повторяющиеся отношения

Функции J_α, Y_α, ЧАС⁽¹⁾
_α, и ЧАС⁽²⁾
_α все удовлетворяют повторяющиеся отношения^[42]

${displaystyle {frac {2alpha }{x}}Z_{alpha }(x)=Z_{alpha -1}(x)+Z_{alpha +1}(x)}$

и

${displaystyle 2{frac {dZ_{alpha }(x)}{dx}}=Z_{alpha -1}(x)-Z_{alpha +1}(x),}$

куда Z обозначает J, Y, ЧАС⁽¹⁾, или же ЧАС⁽²⁾. Эти две идентичности часто сочетаются, например добавлены или вычтены, чтобы получить различные другие отношения.Таким образом, например, можно вычислить функции Бесселя более высоких порядков (или более высокие производные) с учетом значений более низких порядков (или более низких производных). В частности, отсюда следует, что^[43]

${displaystyle {egin{aligned}left({frac {1}{x}}{frac {d}{dx}}ight)^{m}left[x^{alpha }Z_{alpha }(x)ight]&=x^{alpha -m}Z_{alpha -m}(x),left({frac {1}{x}}{frac {d}{dx}}ight)^{m}left[{frac {Z_{alpha }(x)}{x^{alpha }}}ight]&=(-1)^{m}{frac {Z_{alpha +m}(x)}{x^{alpha +m}}}.end{aligned}}}$

Изменено Функции Бесселя подчиняются аналогичным отношениям:

${displaystyle e^{left({frac {x}{2}}ight)left(t+{frac {1}{t}}ight)}=sum _{n=-infty }^{infty }I_{n}(x)t^{n}}$

и

${displaystyle e^{zcos heta }=I_{0}(z)+2sum _{n=1}^{infty }I_{n}(z)cos n heta .}$

и

${displaystyle {frac {1}{2pi }}int _{0}^{2pi }e^{zcos(m heta )+ycos heta }=I_{0}(z)I_{0}(y)+2sum _{n=1}^{infty }I_{n}(z)I_{mn}(y).}$

Рекуррентное отношение читается

${displaystyle {egin{aligned}C_{alpha -1}(x)-C_{alpha +1}(x)&={frac {2alpha }{x}}C_{alpha }(x),C_{alpha -1}(x)+C_{alpha +1}(x)&=2{frac {dC_{alpha }}{dx}},end{aligned}}}$

куда C_α обозначает я_α или же е^αiπK_α. Эти рекуррентные соотношения полезны для дискретных задач диффузии.

Теорема умножения

Функции Бесселя подчиняются теорема умножения

${displaystyle lambda ^{-u }J_{u }(lambda z)=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{n!}}left({frac {left(1-lambda ^{2}ight)z}{2}}ight)^{n}J_{u +n}(z),}$

куда λ и ν можно принимать как произвольные комплексные числа.^[44][45] За |λ² − 1| < 1,^[44] указанное выше выражение также выполняется, если J заменяется на Y. Аналогичные тождества для модифицированных функций Бесселя и |λ² − 1| < 1 находятся

${displaystyle lambda ^{-u }I_{u }(lambda z)=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{n!}}left({frac {left(lambda ^{2}-1ight)z}{2}}ight)^{n}I_{u +n}(z)}$

и

${displaystyle lambda ^{-u }K_{u }(lambda z)=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{n!}}left({frac {left(lambda ^{2}-1ight)z}{2}}ight)^{n}K_{u +n}(z).}$

Нули функции Бесселя

Гипотеза Бурже

Сам Бессель первоначально доказал, что для целых неотрицательных чисел п, уравнение J_п(Икс) = 0 имеет бесконечное количество решений в Икс.^[46] Когда функции J_п(Икс) нанесены на один и тот же график, однако, кажется, что ни один из нулей не совпадает для разных значений п кроме нуля на Икс = 0. Это явление известно как Гипотеза Бурже после французского математика 19 века, изучавшего функции Бесселя. В частности, он утверждает, что для любых целых чисел п ≥ 0 и м ≥ 1, функции J_п(Икс) и J_{п + м}(Икс) не имеют общих нулей, кроме одного в Икс = 0. Гипотеза была подтверждена Карл Людвиг Сигель в 1929 г.^[47]

Численные подходы

О численных исследованиях нулей функции Бесселя см. Гил, Сегура и Темме (2007) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFGilSeguraTemme2007 (помощь), Kravanja et al. (1998) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFKravanjaRagosVrahatisZafiropoulos1998 (помощь) и Молер (2004) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFMoler2004 (помощь).

Смотрите также

• Функция гнева
• Функция Бесселя – Клиффорда
• Функция Бесселя – Мейтланда
• Полиномы Бесселя
• Ряд Фурье – Бесселя
• Серия Шлёмильха
• Хан-Экстон q-Функция Бесселя
• Преобразование Ганкеля
• Джексон q-Функция Бесселя
• Функции Кельвина
• Преобразование Конторовича-Лебедева
• Правило сумм Лерша – Ньюбергера
• Функция Ломмеля
• Многочлен Ломмеля
• Многочлен Неймана
• Сониновая формула
• Функция Струве
• Колебания кругового барабана
• Функция Вебера

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Сферическая функция Бесселя второго рода». MathWorld.
2. Вайсштейн, Эрик В. "Функция Бесселя второго рода". MathWorld.
3. Абрамовиц и Стегун, п. 360, 9.1.10.
4. Абрамовиц и Стегун, п. 358, 9.1.5.
5. Темме, Нико М. (1996). Специальные функции: введение в классические функции математической физики (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. С. 228–231. ISBN  0471113131.
6. Ватсон, п. 176
7. «Архивная копия». Архивировано из оригинал на 2010-09-23. Получено 2010-10-18.
8. «Интегральные представления функции Бесселя». www.nbi.dk. Получено 25 марта 2018.
9. Арфкен и Вебер, упражнение 11.1.17.
10. Абрамовиц и Стегун, п. 362, 9.1.69.
11. Сегё, Габор (1975). Ортогональные многочлены (4-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: AMS.
12. http://www.mhtlab.uwaterloo.ca/courses/me755/web_chap4.pdf
13. Цифровая библиотека математических функций NIST, (10.8.1). Доступ на сайте 25 октября 2016 г.
14. Вайсштейн, Эрик В. "Функция Бесселя второго рода". MathWorld.
15. Ватсон, п. 178.
16. Абрамовиц и Стегун, п. 358, 9.1.3, 9.1.4.
17. Абрамовиц и Стегун, п. 358, 9.1.6.
18. Абрамовиц и Стегун, п. 360, 9.1.25.
19. Абрамовиц и Стегун, п. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11.
20. Абрамовиц и Стегун, п. 375, 9.6.3, 9.6.5.
21. Абрамовиц и Стегун, п. 374, 9.6.1.
22. Грейнер, Уолтер; Рейнхардт, Иоахим (2009). Квантовая электродинамика. Springer. п. 72. ISBN  978-3-540-87561-1.
23. Ватсон, п. 181.
24. Хоконов, М.Х. (2004). «Каскадные процессы потери энергии за счет излучения жестких фотонов». Журнал экспериментальной и теоретической физики. 99 (4): 690–707. Bibcode:2004JETP ... 99..690K. Дои:10.1134/1.1826160. S2CID  122599440.. Получено из формул, полученных от И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблица интегралов, серий и продуктов (Физматгиз, М., 1963; Academic Press, New York, 1980).
25. Упоминается как таковой в: Тейхроев, Д. (1957). «Смесь нормальных распределений с разными вариантами» (PDF). Анналы математической статистики. 28 (2): 510–512. Дои:10.1214 / aoms / 1177706981.
26. Абрамовиц и Стегун, п. 437, 10.1.1.
27. Абрамовиц и Стегун, п. 439, 10.1.25, 10.1.26.
28. Абрамовиц и Стегун, п. 438, 10.1.11.
29. Абрамовиц и Стегун, п. 438, 10.1.12.
30. Абрамовиц и Стегун, п. 439, 10.1.39.
31. Абрамовиц и Стегун, п. 439, 10.1.23, 10.1.24.
32. Гриффитс. Введение в квантовую механику, 2-е издание, с. 154.
33. Ду, Хун (2004). «Расчет Ми-рассеяния». Прикладная оптика. 43 (9): 1951–1956. Bibcode:2004ApOpt..43.1951D. Дои:10.1364 / ао.43.001951. PMID  15065726.
34. Абрамовиц и Стегун, п. 364, 9.2.1.
35. NIST Электронная библиотека математических функций, Раздел 10.11.
36. Абрамовиц и Стегун, п. 377, 9.7.1.
37. Абрамовиц и Стегун, п. 378, 9.7.2.
38. Абрамовиц и Стегун, п. 363, 9.1.82 ff.
39. Уотсон, Г. Н. (25 августа 1995 г.). Трактат по теории функций Бесселя.. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521483919. Получено 25 марта 2018 - через Google Книги.
40. Градштейн Израиль Соломонович; Рыжик Иосиф Моисеевич; Геронимус Юрий Вениаминович; Цейтлин Михаил Юльевич; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. «8.411.10.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
41. Arfken & Weber, раздел 11.2
42. Абрамовиц и Стегун, п. 361, 9.1.27.
43. Абрамовиц и Стегун, п. 361, 9.1.30.
44. Абрамовиц и Стегун, п. 363, 9.1.74.
45. Трусделл, К. (1950). «О теоремах сложения и умножения для специальных функций» (PDF). Труды Национальной академии наук, математика. 1950 (12): 752–757. Bibcode:1950ПНАС ... 36..752Т. Дои:10.1073 / pnas.36.12.752. ЧВК  1063284. PMID  16578355.
46. Бессель, Ф. (1824) "Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen", Берлин Абхандлунген, статья 14.
47. Уотсон, стр. 484–485.

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 9». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. С. 355, 435. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253. Смотрите также Глава 10.
• Арфкен, Джордж Б. и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков, 6-е издание (Harcourt: San Diego, 2005). ISBN  0-12-059876-0.
• Боуман, Фрэнк Введение в функции Бесселя (Довер: Нью-Йорк, 1958). ISBN  0-486-60462-4.
• Ми, Г. (1908). "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen". Анна. Phys. Лейпциг. 25 (3): 377. Bibcode:1908АнП ... 330..377М. Дои:10.1002 / andp.19083300302.
• Олвер, Ф. В. Дж.; Максимон, Л. К. (2010), «Функция Бесселя», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248.
• Press, W.H.; Теукольский, С. А .; Vetterling, W. T .; Фланнери, Б. П. (2007), «Раздел 6.5. Функции Бесселя целого порядка», Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-88068-8.
• B Испания, М. Г. Смит, Функции математической физики, Компания Van Nostrand Reinhold, Лондон, 1970. Глава 9 посвящена функциям Бесселя.
• Н. М. Темме, Специальные функции. Введение в классические функции математической физики, John Wiley and Sons, Inc., Нью-Йорк, 1996. ISBN  0-471-11313-1. Глава 9 посвящена функциям Бесселя.
• Уотсон, Г.Н., Трактат по теории функций Бесселя, второе издание, (1995) Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-48391-3.
• Вебер, Х. (1873 г.), "Ueber eine Darstellung willkürlicher Functionen durch Bessel'sche Functionen", Mathematische Annalen, 6 (2): 146–161, Дои:10.1007 / BF01443190, S2CID  122409461.
• Гил А., Сегура Дж., Темме Н. М. (2007). Численные методы для специальных функций. Общество промышленной и прикладной математики.

внешняя ссылка

• Лизоркин П. И. (2001) [1994], «Функции Бесселя», Энциклопедия математики, EMS Press.
• Кармазина, Л. Н .; Прудников, А.П. (2001) [1994], «Функция цилиндра», Энциклопедия математики, EMS Press.
• Розов, Н.Х. (2001) [1994], «Уравнение Бесселя», Энциклопедия математики, EMS Press.
• Страницы функций Wolfram на Бесселе J и Y функции и модифицированный Бессель я и K функции. Страницы включают формулы, средства оценки функций и калькуляторы построения графиков.
• Wolfram Mathworld - функции Бесселя первого рода.
• Функции Бесселя J_ν, Y_ν, я_ν и K_ν в Либрове Справочник по функциям.
• Ф. В. Дж. Олвер, Л. К. Максимон, Функции Бесселя (глава 10 Электронной библиотеки математических функций).
• К. Б. Молер, [1]. Численные вычисления с MATLAB. Общество промышленной и прикладной математики MathWorks, Inc.