Логарифмическая производная - Logarithmic derivative

В математика особенно в исчисление и комплексный анализ, то логарифмическая производная из функция ж определяется формулой

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}}$

где ${\displaystyle f'}$ это производная из ж. Интуитивно это бесконечно малое относительное изменение в ж; то есть бесконечно малое абсолютное изменение е, а именно ${\displaystyle f',}$ масштабируется текущим значением f.

Когда ж это функция ж(Икс) действительной переменной Икс, и берет настоящий, строго положительный значений, это равно производной ln (ж), или натуральный логарифм из ж. Это непосредственно следует из Правило цепи.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {1}{f(x)}}{\frac {df(x)}{dx}}}$

Основные свойства

Многие свойства действительного логарифма также применимы к логарифмической производной, даже если функция нет принимать значения в положительных числах. Например, поскольку логарифм продукта является суммой логарифмов факторов, мы имеем

${\displaystyle (\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.\!}$

Таким образом, для функций с положительными действительными значениями логарифмическая производная продукта представляет собой сумму логарифмических производных факторов. Но мы также можем использовать Закон Лейбница для производной продукта, чтобы получить

${\displaystyle {\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.\!}$

Таким образом, это верно для любой функция, что логарифмическая производная продукта является суммой логарифмических производных факторов (если они определены).

А следствие к тому, что логарифмическая производная обратной величины функции является отрицанием логарифмической производной функции:

${\displaystyle {\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},\!}$

так же, как логарифм обратной величины положительного действительного числа есть отрицание логарифма числа.

В более общем смысле, логарифмическая производная частного - это разность логарифмических производных делимого и делителя:

${\displaystyle {\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},\!}$

так же, как логарифм частного - это разность логарифмов делимого и делителя.

Обобщая в другом направлении, логарифмическая производная степени (с постоянным действительным показателем степени) является произведением показателя степени и логарифмической производной основания:

${\displaystyle {\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},\!}$

так же, как логарифм степени является произведением экспоненты и логарифма основания.

Таким образом, и производные, и логарифмы имеют правило продукта, а взаимное правило, а правило частного, а правило власти (сравните список логарифмических тождеств ); каждая пара правил связана через логарифмическую производную.

Вычисление обыкновенных производных с использованием логарифмических производных

Основная статья: Логарифмическое дифференцирование

Логарифмические производные могут упростить вычисление производных, требующих правило продукта с тем же результатом. Процедура следующая: Предположим, что ƒ (Икс) = ты(Икс)v(Икс) и что мы хотим вычислить ƒ '(Икс). Вместо того, чтобы вычислять его напрямую как ƒ '=u 'v + v' u, вычисляем его логарифмическую производную. То есть вычисляем:

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.}$

Умножение на ƒ вычисляет ƒ ':

${\displaystyle f'=f\left({\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}\right).}$

Этот метод наиболее полезен, когда ƒ является продуктом большого количества факторов. Этот метод позволяет вычислить ƒ ' путем вычисления логарифмической производной каждого фактора, суммирования и умножения на.

Интегрирующие факторы

Идея логарифмической производной тесно связана с интегрирующий фактор метод для дифференциальные уравнения первого порядка. В оператор сроки, напишите

${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$

и разреши M обозначим оператор умножения на некоторую заданную функцию г(Икс). потом

${\displaystyle M^{-1}DM}$

можно записать ( правило продукта ) так как

${\displaystyle D+M^{*}}$

где ${\displaystyle M^{*}}$ теперь обозначает оператор умножения на логарифмическую производную

${\displaystyle {\frac {G'}{G}}}$

На практике нам дается такой оператор, как

${\displaystyle D+F=L}$

и хотите решить уравнения

${\displaystyle L(h)=f}$

для функции час, данный ж. Затем это сводится к решению

${\displaystyle {\frac {G'}{G}}=F}$

который имеет как решение

${\displaystyle \exp \textstyle (\int F)}$

с любым неопределенный интеграл из F.

Комплексный анализ

Данная формула может применяться более широко; например, если ж(z) это мероморфная функция, имеет смысл при всех комплексных значениях z на котором ж не имеет ни ноль и полюс. Кроме того, в нуле или полюсе логарифмическая производная ведет себя таким образом, который легко анализируется с точки зрения частного случая.

z^п

с п целое число, п ≠ 0. Тогда логарифмическая производная равна

п/z;

и можно сделать общий вывод, что при ж мероморфные, особенности логарифмической производной ж все просто полюса, с остаток п с нуля порядка п, остаток -п с столба порядка п. Видеть принцип аргумента. Эта информация часто используется в контурная интеграция.

В области Теория Неванлинны, важная лемма утверждает, что функция близости логарифмической производной мала относительно характеристики Неванлинны исходной функции, например ${\displaystyle m(r,h'/h)=S(r,h)=o(T(r,h))}$.

Мультипликативная группа

За использованием логарифмической производной лежат два основных факта о GL₁, то есть мультипликативная группа действительные числа или другой поле. В дифференциальный оператор

${\displaystyle X{\frac {d}{dX}}}$

является инвариантный в разделе "перевод" (замена Икс к aX за а постоянный). И дифференциальная форма

dX / X

также инвариантен. Для функций F в GL₁, формула

dF / F

поэтому является откат инвариантного вида.

Примеры

• Экспоненциальный рост и экспоненциальный спад - процессы с постоянной логарифмической производной.
• В математические финансы, то Греческий  λ является логарифмической производной цены производного финансового инструмента по отношению к базовой цене.
• В числовой анализ, то номер условия - бесконечно малое относительное изменение выхода для относительного изменения входа, и, таким образом, является отношением логарифмических производных.

Смотрите также

• Математический портал

• Логарифмическое дифференцирование

Рекомендации