Список логарифмических тождеств - List of logarithmic identities

В математика, много логарифмический идентичности существовать. Ниже приводится компиляция наиболее заметных из них, многие из которых используются в вычислительных целях.

Тривиальные тождества

${displaystyle log _{b}(1)=0}$	потому что	${displaystyle b^{0}=1}$, при условии б не равно 0
${displaystyle log _{b}(b)=1}$	потому что	${displaystyle b^{1}=b}$

Отмена экспонент

Логарифмы и экспоненты с одной и той же базой отменяют друг друга. Это верно, потому что логарифмы и экспоненты являются обратными операциями, подобно тому, как умножение и деление являются обратными операциями, а сложение и вычитание - обратными операциями.

${displaystyle b^{log _{b}(x)}=x{ ext{ because }}{mbox{antilog}}_{b}(log _{b}(x))=x}$

${displaystyle log _{b}(b^{x})=x{ ext{ because }}log _{b}({mbox{antilog}}_{b}(x))=x}$^[1][2]

Оба вышеперечисленных выводятся из следующих двух уравнений, определяющих логарифм:

${displaystyle b^{c}=xiff log _{b}(x)=c}$

Подстановка c в левом уравнении дает б^{бревно_б(Икс)} = Икс, и подставив Икс справа дает бревно_б(б^c) = c. Наконец, замените c с Икс.

Использование более простых операций

Для упрощения расчетов можно использовать логарифмы. Например, два числа можно умножить, просто используя таблицу логарифмов и сложив. Это часто называют логарифмическими свойствами, которые задокументированы в таблице ниже.^[1][3] Первые три операции ниже предполагают, что Икс = б^c и / или у = б^d, так что бревно_б(Икс) = c и бревно_б(у) = d. В деривациях также используются определения журналов Икс = б^{бревно_б(Икс)} и Икс = журнал_б(б^Икс).

${displaystyle log _{b}(xy)=log _{b}(x)+log _{b}(y)}$	потому что	${displaystyle b^{c}cdot b^{d}=b^{c+d}}$
${displaystyle log _{b}({ frac {x}{y}})=log _{b}(x)-log _{b}(y)}$	потому что	${displaystyle { frac {b^{c}}{b^{d}}}=b^{c-d}}$
${displaystyle log _{b}(x^{d})=dlog _{b}(x)}$	потому что	${displaystyle (b^{c})^{d}=b^{cd}}$
${displaystyle log _{b}left({sqrt[{y}]{x}}ight)={frac {log _{b}(x)}{y}}}$	потому что	${displaystyle {sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}}$
${displaystyle x^{log _{b}(y)}=y^{log _{b}(x)}}$	потому что	${displaystyle x^{log _{b}(y)}=b^{log _{b}(x)log _{b}(y)}=(b^{log _{b}(y)})^{log _{b}(x)}=y^{log _{b}(x)}}$
${displaystyle clog _{b}(x)+dlog _{b}(y)=log _{b}(x^{c}y^{d})}$	потому что	${displaystyle log _{b}(x^{c}y^{d})=log _{b}(x^{c})+log _{b}(y^{d})}$

Где ${displaystyle b}$, ${displaystyle x}$, и ${displaystyle y}$ положительные действительные числа и ${displaystyle beq 1}$, и ${displaystyle c}$ и ${displaystyle d}$ настоящие числа.

Законы являются результатом отмены экспонент и соответствующего закона индексов. Начиная с первого закона:

${displaystyle xy=b^{log _{b}(x)}b^{log _{b}(y)}=b^{log _{b}(x)+log _{b}(y)}Rightarrow log _{b}(xy)=log _{b}(b^{log _{b}(x)+log _{b}(y)})=log _{b}(x)+log _{b}(y)}$

Закон о полномочиях использует еще один закон индексов:

${displaystyle x^{y}=(b^{log _{b}(x)})^{y}=b^{ylog _{b}(x)}Rightarrow log _{b}(x^{y})=ylog _{b}(x)}$

Далее следует закон, касающийся частных:

${displaystyle log _{b}{igg (}{frac {x}{y}}{igg )}=log _{b}(xy^{-1})=log _{b}(x)+log _{b}(y^{-1})=log _{b}(x)-log _{b}(y)}$

${displaystyle log _{b}{igg (}{frac {1}{y}}{igg )}=log _{b}(y^{-1})=-log _{b}(y)}$

Точно так же корневой закон получается путем переписывания корня как обратной степени:

${displaystyle log _{b}({sqrt[{y}]{x}})=log _{b}(x^{frac {1}{y}})={frac {1}{y}}log _{b}(x)}$

Смена базы

${displaystyle log _{b}a={frac {log _{10}(a)}{log _{10}(b)}}}$

Это тождество полезно для вычисления логарифмов на калькуляторах. Например, у большинства калькуляторов есть кнопки для пер и для бревно₁₀, но не во всех калькуляторах есть кнопки для логарифма произвольного основания.

Рассмотрим уравнение ${displaystyle b^{c}=a}$

Возьмите основу логарифма ${displaystyle d}$ с обеих сторон: ${displaystyle log _{d}b^{c}=log _{d}a}$

Упростите и решите ${displaystyle c}$: ${displaystyle clog _{d}b=log _{d}a}$

${displaystyle c={frac {log a}{log b}}}$

С ${displaystyle c=log _{b}a}$, тогда ${displaystyle log _{b}a={frac {log _{d}a}{log _{d}b}}}$

Эта формула имеет несколько последствий:

${displaystyle log _{b}a={frac {1}{log _{a}b}}}$

${displaystyle log _{b^{n}}a={{log _{b}a} over n}}$

${displaystyle b^{log _{a}d}=d^{log _{a}b}}$

${displaystyle -log _{b}a=log _{b}left({1 over a}ight)=log _{1 over b}a}$

${displaystyle log _{b_{1}}a_{1},cdots ,log _{b_{n}}a_{n}=log _{b_{pi (1)}}a_{1},cdots ,log _{b_{pi (n)}}a_{n},}$

куда ${displaystyle scriptstyle pi }$ есть ли перестановка индексов 1, ...,п. Например

${displaystyle log _{b}wcdot log _{a}xcdot log _{d}ccdot log _{d}z=log _{d}wcdot log _{b}xcdot log _{a}ccdot log _{d}z.}$

Суммирование / вычитание

Следующее правило суммирования / вычитания особенно полезно в теория вероятности когда мы имеем дело с суммой логарифмических вероятностей:

${displaystyle log _{b}(a+c)=log _{b}a+log _{b}left(1+{frac {c}{a}}ight)}$

${displaystyle log _{b}(a-c)=log _{b}a+log _{b}left(1-{frac {c}{a}}ight)}$

Обратите внимание, что идентичность вычитания не определена, если ${displaystyle a=c}$, так как логарифм нуля не определен. Также обратите внимание, что при программировании ${displaystyle a}$ и ${displaystyle c}$ может потребоваться заменить правую часть уравнений, если ${displaystyle c>>a}$ чтобы не потерять «1 +» из-за ошибок округления. Многие языки программирования имеют специфические log1p (x) функция, которая вычисляет ${displaystyle log _{e}(1+x)}$ без переполнения (когда ${displaystyle x}$ маленький).

В более общем смысле:

${displaystyle log _{b}sum limits _{i=0}^{N}a_{i}=log _{b}a_{0}+log _{b}left(1+sum limits _{i=1}^{N}{frac {a_{i}}{a_{0}}}ight)=log _{b}a_{0}+log _{b}left(1+sum limits _{i=1}^{N}b^{left(log _{b}a_{i}-log _{b}a_{0}ight)}ight)}$

Экспоненты

Полезная идентификация, включающая экспоненты:

${displaystyle x^{frac {log(log(x))}{log(x)}}=log(x)}$

или более универсально:

${displaystyle x^{frac {log(a)}{log(x)}}=a}$

Прочие / Результирующие личности

${displaystyle {frac {1}{{frac {1}{log _{x}(a)}}+{frac {1}{log _{y}(a)}}}}=log _{xy}(a)}$

${displaystyle {frac {1}{{frac {1}{log _{x}(a)}}-{frac {1}{log _{y}(a)}}}}=log _{frac {x}{y}}(a)}$

Неравенства

На основе ^[4] , ^[5] и ^[6]

${displaystyle {frac {x}{1+x}}leq ln(1+x)leq {frac {x(6+x)}{6+4x}}leq x{mbox{ for all }}-1<x}$

${displaystyle {egin{aligned}{frac {2x}{2+x}}&leq 3-{sqrt {frac {27}{3+2x}}}leq {frac {x}{sqrt {1+x+x^{2}/12}}}&leq ln(1+x)leq {frac {x}{sqrt {1+x}}}leq {frac {x}{2}}{frac {2+x}{1+x}}&{mbox{ for }}0leq x{mbox{, reverse for }}-1<xleq 0end{aligned}}}$

Все точны вокруг ${displaystyle x=0}$, но не для большого количества.

Тождества исчисления

Пределы

${displaystyle lim _{x o 0^{+}}log _{a}(x)=-infty quad {mbox{if }}a>1}$

${displaystyle lim _{x o 0^{+}}log _{a}(x)=infty quad {mbox{if }}0<a<1}$

${displaystyle lim _{x o infty }log _{a}(x)=infty quad {mbox{if }}a>1}$

${displaystyle lim _{x o infty }log _{a}(x)=-infty quad {mbox{if }}0<a<1}$

${displaystyle lim _{x o 0^{+}}x^{b}log _{a}(x)=0quad {mbox{if }}b>0}$

${displaystyle lim _{x o infty }{frac {log _{a}(x)}{x^{b}}}=0quad {mbox{if }}b>0}$

Последний предел часто резюмируется как «логарифмы растут медленнее, чем любая степень или корень из Икс".

Производные логарифмических функций

${displaystyle {d over dx}ln x={1 over x},}$

${displaystyle {d over dx}log _{b}x={1 over xln b},}$

Где ${displaystyle x>0}$, ${displaystyle b>0}$, и ${displaystyle beq 1}$.

Интегральное определение

${displaystyle ln x=int _{1}^{x}{frac {1}{t}}dt}$

Интегралы логарифмических функций

${displaystyle int log _{a}x,dx=x(log _{a}x-log _{a}e)+C}$

Чтобы запомнить высшие интегралы, удобно определить

${displaystyle x^{left[night]}=x^{n}(log(x)-H_{n})}$

куда ${displaystyle H_{n}}$ это п^th номер гармоники:

${displaystyle x^{left[0ight]}=log x}$

${displaystyle x^{left[1ight]}=xlog(x)-x}$

${displaystyle x^{left[2ight]}=x^{2}log(x)-{egin{matrix}{frac {3}{2}}end{matrix}}x^{2}}$

${displaystyle x^{left[3ight]}=x^{3}log(x)-{egin{matrix}{frac {11}{6}}end{matrix}}x^{3}}$

потом

${displaystyle {frac {d}{dx}},x^{left[night]}=nx^{left[n-1ight]}}$

${displaystyle int x^{left[night]},dx={frac {x^{left[n+1ight]}}{n+1}}+C}$

Приближение больших чисел

Тождества логарифмов можно использовать для аппроксимации больших чисел. Обратите внимание, что бревно_б(а) + журнал_б(c) = журнал_б(ac), куда а, б, и c - произвольные постоянные. Предположим, что кто-то хочет приблизиться к 44-й Мерсенн прайм, 2^32,582,657 −1. Чтобы получить десятичный логарифм, умножим 32 582 657 на бревно₁₀(2), получающий 9,808,357.09543 = 9,808,357 + 0.09543. Тогда мы можем получить 10^9,808,357 × 10^0.09543 ≈ 1.25 × 10^9,808,357.

По аналогии, факториалы можно приблизительно оценить, суммируя логарифмы членов.

Тождества с комплексным логарифмом

В комплексный логарифм это комплексное число аналог функции логарифма. Никакая однозначная функция на комплексной плоскости не может удовлетворять нормальным правилам логарифмов. Однако многозначная функция можно определить, что удовлетворяет большинству тождеств. Обычно это рассматривается как функция, определенная на Риманова поверхность. Однозначная версия, называемая основная стоимость логарифма, может быть определено, которое является разрывным на отрицательной оси x и равно многозначной версии на одном срезанная ветка.

Определения

В дальнейшем первая заглавная буква используется для основного значения функций, а версия в нижнем регистре используется для многозначной функции. Однозначная версия определений и идентичностей всегда дается первой, за ней следует отдельный раздел для многозначных версий.

ln (р) это стандарт натуральный логарифм реального числа р.

Арг (z) главная ценность аргумент функция; его ценность ограничена (-π, π]. Его можно вычислить, используя Арг (Икс+иу)= atan2 (у, Икс).

Бревно(z) является главным значением функции комплексного логарифма и имеет мнимую часть в диапазоне (-π, π].

${displaystyle operatorname {Log} (z)=ln(|z|)+ioperatorname {Arg} (z)}$

${displaystyle e^{operatorname {Log} (z)}=z}$

Многозначная версия бревно(z) представляет собой набор, но его проще записать без фигурных скобок, а использование его в формулах следует очевидным правилам.

бревно(z) это набор комплексных чисел v которые удовлетворяют е^v = z

аргумент (z) - множество возможных значений аргумент функция применяется к z.

Когда k любое целое число:

${displaystyle log(z)=ln(|z|)+iarg(z)}$

${displaystyle log(z)=operatorname {Log} (z)+2pi ik}$

${displaystyle e^{log(z)}=z}$

Константы

Основные формы ценности:

${displaystyle operatorname {Log} (1)=0}$

${displaystyle operatorname {Log} (e)=1}$

Формы нескольких значений для любых k целое число:

${displaystyle log(1)=0+2pi ik}$

${displaystyle log(e)=1+2pi ik}$

Суммирование

Основные формы ценности:

${displaystyle operatorname {Log} (z_{1})+operatorname {Log} (z_{2})=operatorname {Log} (z_{1}z_{2}){pmod {2pi i}}}$

${displaystyle operatorname {Log} (z_{1})-operatorname {Log} (z_{2})=operatorname {Log} (z_{1}/z_{2}){pmod {2pi i}}}$

Формы нескольких значений:

${displaystyle log(z_{1})+log(z_{2})=log(z_{1}z_{2})}$

${displaystyle log(z_{1})-log(z_{2})=log(z_{1}/z_{2})}$

Полномочия

Комплексная степень комплексного числа может иметь много возможных значений.

Форма основного значения:

${displaystyle {z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}operatorname {Log} (z_{1})}}$

${displaystyle operatorname {Log} {left({z_{1}}^{z_{2}}ight)}=z_{2}operatorname {Log} (z_{1}){pmod {2pi i}}}$

Формы нескольких значений:

${displaystyle {z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}log(z_{1})}}$

Где k₁, k₂ любые целые числа:

${displaystyle log {left({z_{1}}^{z_{2}}ight)}=z_{2}log(z_{1})+2pi ik_{2}}$

${displaystyle log {left({z_{1}}^{z_{2}}ight)}=z_{2}operatorname {Log} (z_{1})+z_{2}2pi ik_{1}+2pi ik_{2}}$

Смотрите также

• Список интегралов логарифмических функций
• Список тригонометрических тождеств

Рекомендации

1. "Логарифм: полное руководство (теория и приложения)". Математическое хранилище. 2016-05-08. Получено 2020-08-29.
2. Вайсштейн, Эрик В. "Логарифм". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-29.
3. «4.3 - Свойства логарифмов». people.richland.edu. Получено 2020-08-29.
4. http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v7n2/pade.pdf
5. http://www.lkozma.net/inequalities_cheat_sheet/ineq.pdf
6. http://downloads.hindawi.com/archive/2013/412958.pdf

внешняя ссылка

• Логарифм в математике