В математика, много логарифмический идентичности существовать. Ниже приводится компиляция наиболее заметных из них, многие из которых используются в вычислительных целях.
Тривиальные тождества
![{displaystyle log _ {b} (1) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901f6efd3f7b26aa95b855e884a8c2c620ef1fe0) | потому что | , при условии б не равно 0 |
![{displaystyle log _ {b} (b) = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a58a8d06818394825efc588fa84970424b75f8) | потому что | ![{displaystyle b ^ {1} = b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d240dbaf6181ae1801474f3d28dcd5504aacae6) |
Отмена экспонент
Логарифмы и экспоненты с одной и той же базой отменяют друг друга. Это верно, потому что логарифмы и экспоненты являются обратными операциями, подобно тому, как умножение и деление являются обратными операциями, а сложение и вычитание - обратными операциями.
![{displaystyle b ^ {log _ {b} (x)} = x {ext {потому что}} {mbox {antilog}} _ {b} (log _ {b} (x)) = x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1cfe924e512bd3ca53cf347d63f7d3f7272fb41)
[1][2]
Оба вышеперечисленных выводятся из следующих двух уравнений, определяющих логарифм:
![{displaystyle b ^ {c} = xiff log _ {b} (x) = c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ca5002cad64534a2f66626a2b20c7555fde03d1)
Подстановка c в левом уравнении дает ббревноб(Икс) = Икс, и подставив Икс справа дает бревноб(бc) = c. Наконец, замените c с Икс.
Использование более простых операций
Для упрощения расчетов можно использовать логарифмы. Например, два числа можно умножить, просто используя таблицу логарифмов и сложив. Это часто называют логарифмическими свойствами, которые задокументированы в таблице ниже.[1][3] Первые три операции ниже предполагают, что Икс = бc и / или у = бd, так что бревноб(Икс) = c и бревноб(у) = d. В деривациях также используются определения журналов Икс = ббревноб(Икс) и Икс = журналб(бИкс).
![{displaystyle log _ {b} (xy) = log _ {b} (x) + log _ {b} (y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a72b4b7ba4c487ba5c15587d2eff610355605901) | потому что | ![{displaystyle b ^ {c} cdot b ^ {d} = b ^ {c + d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bcd72af6d7e5d1731d3fa4b8f0dce4b963a1508) |
![{displaystyle log _ {b} ({frac {x} {y}}) = log _ {b} (x) -log _ {b} (y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3376dd2b0c1a700e1e60f7897b953ba52c696fb) | потому что | ![{displaystyle {frac {b ^ {c}} {b ^ {d}}} = b ^ {c-d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff7c0729bf6f8d9132429425e07f69c865db644) |
![{displaystyle log _ {b} (x ^ {d}) = dlog _ {b} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23edf2cabd7544f17387e50fbad8ce772cdedad) | потому что | ![{displaystyle (b ^ {c}) ^ {d} = b ^ {cd}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1581125064d6a35854b7b7685630228fa0385497) |
![{displaystyle log _ {b} left ({sqrt [{y}] {x}} ight) = {frac {log _ {b} (x)} {y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de242874c347b5ca76ff4594f7595f5c94ff935e) | потому что | ![{displaystyle {sqrt [{y}] {x}} = x ^ {1 / y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ac55954aa0ab68281337cdf011c7e92b309446) |
![{displaystyle x ^ {log _ {b} (y)} = y ^ {log _ {b} (x)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f223e2054ba145e70ed80ffbc4ccc7ff59bc7479) | потому что | ![{displaystyle x ^ {log _ {b} (y)} = b ^ {log _ {b} (x) log _ {b} (y)} = (b ^ {log _ {b} (y)}) ^ {журнал _ {b} (x)} = y ^ {журнал _ {b} (x)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69df473361b4900ad6e2b0c1eb82a5913432558c) |
![{displaystyle clog _ {b} (x) + dlog _ {b} (y) = log _ {b} (x ^ {c} y ^ {d})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a65199c28cefee092329b6d7617a6e3c1531ac) | потому что | ![{displaystyle log _ {b} (x ^ {c} y ^ {d}) = log _ {b} (x ^ {c}) + log _ {b} (y ^ {d})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e22cc00f74f25639c690785c3eb912c75ff152) |
Где
,
, и
положительные действительные числа и
, и
и
настоящие числа.
Законы являются результатом отмены экспонент и соответствующего закона индексов. Начиная с первого закона:
![xy = b ^ {log_b (x)} b ^ {log_b (y)} = b ^ {log_b (x) + log_b (y)} Стрелка вправо log_b (xy) = log_b (b ^ {log_b (x) + log_b ( y)}) = log_b (x) + log_b (y)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd9191539d435c6eb56105337bcbef3ae0edc6a)
Закон о полномочиях использует еще один закон индексов:
![x ^ y = (b ^ {log_b (x)}) ^ y = b ^ {y log_b (x)} Стрелка вправо log_b (x ^ y) = y log_b (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9071d5658996d138963a3462d5c536b53cf347f)
Далее следует закон, касающийся частных:
![log_b igg (frac {x} {y} igg) = log_b (x y ^ {- 1}) = log_b (x) + log_b (y ^ {- 1}) = log_b (x) - log_b (y)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66def1e61152706cd9441e03c42aec2dc5a386c)
![{displaystyle log _ {b} {igg (} {frac {1} {y}} {igg)} = log _ {b} (y ^ {- 1}) = - log _ {b} (y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b4002f27fcdb9c71e363e41deffb9cbba7fb828)
Точно так же корневой закон получается путем переписывания корня как обратной степени:
![log_b (sqrt [y] x) = log_b (x ^ {frac {1} {y}}) = frac {1} {y} log_b (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3eba91cc156e4939f7136dc81d43c2f391e449)
Смена базы
![{displaystyle log _ {b} a = {frac {log _ {10} (a)} {log _ {10} (b)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2ff173bf9e26cc3f8eafa25f0d4d99f14491334)
Это тождество полезно для вычисления логарифмов на калькуляторах. Например, у большинства калькуляторов есть кнопки для пер и для бревно10, но не во всех калькуляторах есть кнопки для логарифма произвольного основания.
- Рассмотрим уравнение
![{displaystyle b ^ {c} = a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/286a2132e99e5b4c245a1e85e555adc9969cad20)
- Возьмите основу логарифма
с обеих сторон: ![{displaystyle log _ {d} b ^ {c} = log _ {d} a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c77cf28037a2fdee2447839e509816bb9b343c5)
- Упростите и решите
: ![clog_d b = log_d a](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51bd3be02581c3aaf0e2ea6fab8c26fac9714474)
![{displaystyle c = {frac {log a} {log b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d6c51bae6fb7ca697457019b5c5475fab52cfc)
- С
, тогда ![log_b a = frac {log_d a} {log_d b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d683c8b3096efa3f6ba1679c0e09d720df82780)
Эта формула имеет несколько последствий:
![log_b a = гидроразрыв {1} {log_a b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afbd90f044a3e1c3866e76db5084d6440806b87e)
![log_ {b ^ n} a = {{log_b a} над n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f64cb06094d55e811c19e3ba476181f3e97b4c)
![b ^ {log_a d} = d ^ {log_a b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57de9ecf16668f377d064291bc83d7bc5e40e59)
![- log_b a = log_b left ({1 над a} ight) = log_ {1 над b} a](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d257a51247f4bb42483f9271fdd012afc35735)
![{displaystyle log _ {b_ {1}} a_ {1}, cdots, log _ {b_ {n}} a_ {n} = log _ {b_ {pi (1)}} a_ {1}, cdots, log _ {b_ {pi (n)}} a_ {n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16295b3605c216712d4e045930ee32fa87d27968)
куда
есть ли перестановка индексов 1, ...,п. Например
![{displaystyle log _ {b} wcdot log _ {a} xcdot log _ {d} ccdot log _ {d} z = log _ {d} wcdot log _ {b} xcdot log _ {a} ccdot log _ {d} z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce3836091ae9fca0663410b4ef713b88604d99e)
Суммирование / вычитание
Следующее правило суммирования / вычитания особенно полезно в теория вероятности когда мы имеем дело с суммой логарифмических вероятностей:
![{displaystyle log _ {b} (a + c) = log _ {b} a + log _ {b} left (1+ {frac {c} {a}} ight)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c046ee991fe5324bdf44f8181da2d57d94a735d)
![{displaystyle log _ {b} (a-c) = log _ {b} a + log _ {b} left (1- {frac {c} {a}} ight)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8232b6294af244ad8b4300c4495a7eefb8b690)
Обратите внимание, что идентичность вычитания не определена, если
, так как логарифм нуля не определен. Также обратите внимание, что при программировании
и
может потребоваться заменить правую часть уравнений, если
чтобы не потерять «1 +» из-за ошибок округления. Многие языки программирования имеют специфические log1p (x)
функция, которая вычисляет
без переполнения (когда
маленький).
В более общем смысле:
![log _b sumlimits_ {i = 0} ^ N a_i = log_b a_0 + log_b left (1 + sumlimits_ {i = 1} ^ N frac {a_i} {a_0} ight) = log _b a_0 + log_b left (1 + sumlimits_ {i = 1} ^ N b ^ {left (log_b a_i - log _b a_0 ight)} ight)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f4c59c584e7512b846c7e98e17932096e19a325)
Экспоненты
Полезная идентификация, включающая экспоненты:
![{displaystyle x ^ {frac {log (log (x))} {log (x)}} = log (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610552aa2cc72e08c0d636d0d04ec31dcd51c5b7)
или более универсально:
![{displaystyle x ^ {frac {log (a)} {log (x)}} = a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f8386ad2b6da8aaa2776d62b7569d91d479f80)
Прочие / Результирующие личности
![{displaystyle {frac {1} {{frac {1} {log _ {x} (a)}} + {frac {1} {log _ {y} (a)}}}} = log _ {xy} ( а)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599137f1e849fad875c48718d24b960645d516c7)
![{displaystyle {frac {1} {{frac {1} {log _ {x} (a)}} - {frac {1} {log _ {y} (a)}}}} = log _ {frac {x) } {y}} (а)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4da7c2e008c31ccc8d879a14a0a48b4d832651)
Неравенства
На основе [4] , [5] и [6]
![{displaystyle {frac {x} {1 + x}} leq ln (1 + x) leq {frac {x (6 + x)} {6 + 4x}} leq x {mbox {для всех}} - 1 <x }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5aaff0eb710181b3da1cb32a346ef16e749fe0)
![{displaystyle {egin {align} {frac {2x} {2 + x}} & leq 3- {sqrt {frac {27} {3 + 2x}}} leq {frac {x} {sqrt {1 + x + x ^ {2} / 12}}} & leq ln (1 + x) leq {frac {x} {sqrt {1 + x}}} leq {frac {x} {2}} {frac {2 + x} {1 + x}} & {mbox {for}} 0leq x {mbox {, обратное for}} - 1 <xleq 0end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c8d80a82a6383cdf074dec2b00ef0a579c5dae)
Все точны вокруг
, но не для большого количества.
Тождества исчисления
![{displaystyle lim _ {x o 0 ^ {+}} log _ {a} (x) = - infty quad {mbox {if}} a> 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050eb88efd0aa05ed0940a1ea2173b61ae5d2bb0)
![{displaystyle lim _ {x o 0 ^ {+}} log _ {a} (x) = infty quad {mbox {if}} 0 <a <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19146c97b6d735e6903161940937f831d8d9cfe)
![{displaystyle lim _ {x o infty} log _ {a} (x) = infty quad {mbox {if}} a> 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79ee13d90275ff2ae78c27806be74fe07d74367)
![{displaystyle lim _ {x o infty} log _ {a} (x) = - infty quad {mbox {if}} 0 <a <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2887cfd0e0a0d3b0eb4a11a1ddd5648d3e1024c1)
![{displaystyle lim _ {x o 0 ^ {+}} x ^ {b} log _ {a} (x) = 0quad {mbox {if}} b> 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3160b82b1f938dd09d8ad3ad345e65259e6911cd)
![{displaystyle lim _ {x o infty} {frac {log _ {a} (x)} {x ^ {b}}} = 0quad {mbox {if}} b> 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b8207752a5377c71c1f53b40e203c0dd658ad6)
Последний предел часто резюмируется как «логарифмы растут медленнее, чем любая степень или корень из Икс".
Производные логарифмических функций
![{d над dx} ln x = {1 над x},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b24dae54313d77ec27a6189583b6a5561b701ab)
![{d over dx} log_b x = {1 over x ln b},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd2796ab49a7712e3f625f4f1473d352adc12c4e)
Где
,
, и
.
Интегральное определение
![ln x = int_1 ^ x гидроразрыв {1} {t} dt](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e72c70a86d7ec8c9b4353058bda339ff8598c7)
Интегралы логарифмических функций
![int log_a x, dx = x (log_a x - log_a e) + C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e9d4b89241e2696ab222e6e33cb73c928a62af)
Чтобы запомнить высшие интегралы, удобно определить
![x ^ {left [n ight]} = x ^ {n} (журнал (x) - H_n)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be26aeae0c7b88d50e760d2ce40df2af4c44b0bb)
куда
это пth номер гармоники:
![x ^ {left [0 ight]} = журнал x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078fe3653cf35a30aea1b7f03ea554ae7670b967)
![x ^ {left [1 ight]} = x журнал (x) - x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c12b6bda581e741822ed456b8e7c42955525db0)
![{displaystyle x ^ {left [2ight]} = x ^ {2} log (x) - {egin {matrix} {frac {3} {2}} end {matrix}} x ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/966e2b00f916c63e7ccb68fd3da3908597238c66)
![{displaystyle x ^ {left [3ight]} = x ^ {3} log (x) - {egin {matrix} {frac {11} {6}} end {matrix}} x ^ {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f07636bb06f28bbc8fd84ea091e1fb4b6487f1)
потом
![{displaystyle {frac {d} {dx}}, x ^ {left [night]} = nx ^ {left [n-1ight]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee1e2e7dc8cef7f0c3a355fcf254c7650852a12)
![{displaystyle int x ^ {left [night]}, dx = {frac {x ^ {left [n + 1ight]}} {n + 1}} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92036b7056a0179b00f4d6739640046d2e8553ba)
Приближение больших чисел
Тождества логарифмов можно использовать для аппроксимации больших чисел. Обратите внимание, что бревноб(а) + журналб(c) = журналб(ac), куда а, б, и c - произвольные постоянные. Предположим, что кто-то хочет приблизиться к 44-й Мерсенн прайм, 232,582,657 −1. Чтобы получить десятичный логарифм, умножим 32 582 657 на бревно10(2), получающий 9,808,357.09543 = 9,808,357 + 0.09543. Тогда мы можем получить 109,808,357 × 100.09543 ≈ 1.25 × 109,808,357.
По аналогии, факториалы можно приблизительно оценить, суммируя логарифмы членов.
Тождества с комплексным логарифмом
В комплексный логарифм это комплексное число аналог функции логарифма. Никакая однозначная функция на комплексной плоскости не может удовлетворять нормальным правилам логарифмов. Однако многозначная функция можно определить, что удовлетворяет большинству тождеств. Обычно это рассматривается как функция, определенная на Риманова поверхность. Однозначная версия, называемая основная стоимость логарифма, может быть определено, которое является разрывным на отрицательной оси x и равно многозначной версии на одном срезанная ветка.
Определения
В дальнейшем первая заглавная буква используется для основного значения функций, а версия в нижнем регистре используется для многозначной функции. Однозначная версия определений и идентичностей всегда дается первой, за ней следует отдельный раздел для многозначных версий.
- ln (р) это стандарт натуральный логарифм реального числа р.
- Арг (z) главная ценность аргумент функция; его ценность ограничена (-π, π]. Его можно вычислить, используя Арг (Икс+иу)= atan2 (у, Икс).
- Бревно(z) является главным значением функции комплексного логарифма и имеет мнимую часть в диапазоне (-π, π].
![имя оператора {Log} (z) = ln (| z |) + i имя оператора {Arg} (z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce3b6b5d895dc34cd7fe1a9deb5a5cdc032c5dcb)
![e ^ {имя оператора {Журнал} (z)} = z](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e10733f82bae08d2b858745c7394198cc56ebd60)
Многозначная версия бревно(z) представляет собой набор, но его проще записать без фигурных скобок, а использование его в формулах следует очевидным правилам.
- бревно(z) это набор комплексных чисел v которые удовлетворяют еv = z
- аргумент (z) - множество возможных значений аргумент функция применяется к z.
Когда k любое целое число:
![журнал (z) = ln (| z |) + я arg (z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560b7ab47d94f4181b83d97274c381c2c5ff9bdd)
![log (z) = имя оператора {Log} (z) + 2 pi i k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0d82758a97572baaca63dd3269c0d8815121c0c)
![е ^ {журнал (z)} = z](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d014aa3b80452f9b2d705df46141ecd3d6a77054)
Константы
Основные формы ценности:
![OperatorName {Log} (1) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d334814ac9f15b6c502dcf24996227be2387eca5)
![OperatorName {Log} (e) = 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7af5c8d5b041f873b0a3830a0764148ec6e993)
Формы нескольких значений для любых k целое число:
![журнал (1) = 0 + 2 пи я к](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c3df846f92d1458404a21d2af0224bb7f5f1b0e)
![журнал (е) = 1 + 2 пи я к](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e104b9073cfdf336a2158dc04629c206841df536)
Суммирование
Основные формы ценности:
![имя оператора {журнал} (z_1) + имя оператора {журнал} (z_2) = имя оператора {журнал} (z_1 z_2) pmod {2 pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9add87793ba23c8eeea2a29eba062bd8690df7ea)
![имя оператора {Журнал} (z_1) - имя оператора {Журнал} (z_2) = имя оператора {Журнал} (z_1 / z_2) pmod {2 pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30befeea1d445922e2b4d6024f581b3d93b707ed)
Формы нескольких значений:
![журнал (z_1) + журнал (z_2) = журнал (z_1 z_2)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bc3196ab347dc2e6af9e9d9e5c51205058ac3b)
![журнал (z_1) - журнал (z_2) = журнал (z_1 / z_2)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a1fbec8466425b834aa1a26899fe21fb0d0180)
Полномочия
Комплексная степень комплексного числа может иметь много возможных значений.
Форма основного значения:
![{z_1} ^ {z_2} = e ^ {z_2 имя оператора {Журнал} (z_1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4647cc88b2a865c49818e02c9a70137186036e5a)
![имя оператора {Журнал} {left ({z_1} ^ {z_2} ight)} = z_2 имя оператора {Журнал} (z_1) pmod {2 pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ab92121a1a0880e884ca990b296e5e62513f5c)
Формы нескольких значений:
![{z_1} ^ {z_2} = e ^ {z_2 журнал (z_1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd73505df93592f86d12d4ffd4e31974850c407)
Где k1, k2 любые целые числа:
![log {left ({z_1} ^ {z_2} ight)} = z_2 log (z_1) + 2 pi i k_2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9144d397eabeacc01351179bf46b6d8162e331)
![log {left ({z_1} ^ {z_2} ight)} = z_2 имя оператора {Log} (z_1) + z_2 2 pi i k_1 + 2 pi i k_2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca87e9aae0c0c69013e8e60a841a70220cd483d9)
Смотрите также
Рекомендации
внешняя ссылка