Геометрическое исчисление - Geometric calculus

Не путать с матричное исчисление или же векторное исчисление.

В математика, геометрическое исчисление расширяет геометрическая алгебра включать дифференциация и интеграция. Этот формализм мощен и, как можно показать, охватывает другие математические теории, включая дифференциальная геометрия и дифференциальные формы.^[1]

Дифференциация

Для данной геометрической алгебры пусть ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ быть векторов и разреши ${\displaystyle F}$ быть многовекторный -значная функция вектора. В производная по направлению из ${\displaystyle F}$ вдоль ${\displaystyle b}$ в ${\displaystyle a}$ определяется как

${\displaystyle (\nabla _{b}F)(a)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {F(a+\epsilon b)-F(a)}{\epsilon }},}$

при условии, что лимит существует для всех ${\displaystyle b}$, где берется предел для скалярных ${\displaystyle \epsilon }$. Это похоже на обычное определение производной по направлению, но расширяет его на функции, которые не обязательно являются скалярными.

Затем выберите набор базисные векторы ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ и рассмотрим операторы, обозначенные ${\displaystyle \partial _{i}}$, которые совершают производные по направлениям ${\displaystyle e_{i}}$:

${\displaystyle \partial _{i}:F\mapsto (x\mapsto (\nabla _{e_{i}}F)(x)).}$

Затем, используя Обозначение суммирования Эйнштейна, рассмотрим оператора:

${\displaystyle e^{i}\partial _{i},}$

что значит

${\displaystyle F\mapsto e^{i}\partial _{i}F,}$

где геометрическое произведение нанесено после производной по направлению. Более подробно:

${\displaystyle F\mapsto (x\mapsto e^{i}(\nabla _{e_{i}}F)(x)).}$

Этот оператор не зависит от выбора кадра и, таким образом, может использоваться для определения геометрическая производная:

${\displaystyle \nabla =e^{i}\partial _{i}.}$

Это похоже на обычное определение градиент, но он также распространяется на функции, которые не обязательно являются скалярными.

Производная по направлению линейна относительно своего направления, то есть:

${\displaystyle \nabla _{\alpha a+\beta b}=\alpha \nabla _{a}+\beta \nabla _{b}.}$

Из этого следует, что производная по направлению является внутренним произведением ее направления на геометрическую производную. Все, что нужно соблюдать, - это то, что направление ${\displaystyle a}$ можно написать ${\displaystyle a=(a\cdot e^{i})e_{i}}$, так что:

${\displaystyle \nabla _{a}=\nabla _{(a\cdot e^{i})e_{i}}=(a\cdot e^{i})\nabla _{e_{i}}=a\cdot (e^{i}\nabla _{e_{i}})=a\cdot \nabla .}$

По этой причине, ${\displaystyle \nabla _{a}F(x)}$ часто отмечается ${\displaystyle a\cdot \nabla F(x)}$.

Стандарт порядок действий поскольку геометрическая производная заключается в том, что она действует только на ближайшую справа от нее функцию. Учитывая две функции ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$, то, например, имеем

${\displaystyle \nabla FG=(\nabla F)G.}$

Правило продукта

Хотя частная производная показывает правило продукта, геометрическая производная наследует это свойство лишь частично. Рассмотрим две функции ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (FG)&=e^{i}\partial _{i}(FG)\\&=e^{i}((\partial _{i}F)G+F(\partial _{i}G))\\&=e^{i}(\partial _{i}F)G+e^{i}F(\partial _{i}G).\end{aligned}}}$

Поскольку геометрическое произведение не коммутативный с ${\displaystyle e^{i}F\neq Fe^{i}}$ в общем, чтобы продолжить, нам нужны новые обозначения. Решение состоит в том, чтобы принять переборщить обозначение, в котором объем геометрической производной с наложенной точкой - это функция с несколькими значениями, имеющая одну и ту же точку. В этом случае, если мы определим

${\displaystyle {\dot {\nabla }}F{\dot {G}}=e^{i}F(\partial _{i}G),}$

то правило произведения для геометрической производной

${\displaystyle \nabla (FG)=\nabla FG+{\dot {\nabla }}F{\dot {G}}.}$

Внутренняя и внешняя производная

Позволять ${\displaystyle F}$ быть ${\displaystyle r}$-сезонный мультивектор. Затем мы можем определить дополнительную пару операторов, внутренние и внешние производные,

${\displaystyle \nabla \cdot F=\langle \nabla F\rangle _{r-1}=e^{i}\cdot \partial _{i}F,}$

${\displaystyle \nabla \wedge F=\langle \nabla F\rangle _{r+1}=e^{i}\wedge \partial _{i}F.}$

В частности, если ${\displaystyle F}$ является классом 1 (векторнозначная функция), то мы можем написать

${\displaystyle \nabla F=\nabla \cdot F+\nabla \wedge F}$

и определить расхождение и завиток в качестве

${\displaystyle \nabla \cdot F=\operatorname {div} F,}$

${\displaystyle \nabla \wedge F=I\,\operatorname {curl} F.}$

В отличие от геометрической производной, ни оператор внутренней производной, ни оператор внешней производной не обратимы.

Интеграция

Позволять ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ быть набором базисных векторов, которые охватывают ${\displaystyle n}$-мерное векторное пространство. Из геометрической алгебры мы интерпретируем псевдоскалярный ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$ быть подписанный том из ${\displaystyle n}$-параллелоэдр подчинены этим базисным векторам. Если базисные векторы ортонормированный, то это единичный псевдоскаляр.

В более общем плане мы можем ограничиться подмножеством ${\displaystyle k}$ базисных векторов, где ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$, чтобы обработать длину, площадь или другие общие ${\displaystyle k}$-объем подпространства в целом ${\displaystyle n}$-мерное векторное пространство. Обозначим эти выбранные базисные векторы через ${\displaystyle \{e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}\}}$. Генерал ${\displaystyle k}$-объем ${\displaystyle k}$-параллелотоп, которому подчиняются эти базисные векторы, является степенью ${\displaystyle k}$ многовекторный ${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}}$.

В более общем плане мы можем рассмотреть новый набор векторов ${\displaystyle \{x^{i_{1}}e_{i_{1}},\ldots ,x^{i_{k}}e_{i_{k}}\}}$ пропорционально ${\displaystyle k}$ базисные векторы, где каждый из ${\displaystyle \{x^{i_{j}}\}}$ компонент, масштабирующий один из базисных векторов. Мы вольны выбирать настолько бесконечно малые компоненты, насколько захотим, пока они не равны нулю. Поскольку внешний продукт этих терминов можно интерпретировать как ${\displaystyle k}$-volume, естественный способ определения мера является

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}}$

Следовательно, мера всегда пропорциональна псевдоскалярной единице ${\displaystyle k}$-мерное подпространство векторного пространства. Сравните Риманова форма объема в теории дифференциальных форм. Интеграл берется по этой мере:

${\displaystyle \int _{V}F(x)\,d^{k}X=\int _{V}F(x)\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.}$

Более формально, рассмотрим некоторый направленный объем ${\displaystyle V}$ подпространства. Мы можем разделить этот объем на сумму симплексы. Позволять ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ - координаты вершин. Каждой вершине присваиваем меру ${\displaystyle \Delta U_{i}(x)}$ как средняя мера симплексов, разделяющих вершину. Тогда интеграл от ${\displaystyle F(x)}$ относительно ${\displaystyle U(x)}$ над этим объемом получается в пределе более тонкого разбиения объема на более мелкие симплексы:

${\displaystyle \int _{V}F\,dU=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}F(x_{i})\,\Delta U_{i}(x).}$

Основная теорема геометрического исчисления

Причина определения геометрической производной и интеграла, как указано выше, заключается в том, что они допускают сильное обобщение Теорема Стокса. Позволять ${\displaystyle {\mathsf {L}}(A;x)}$ - многовекторнозначная функция от ${\displaystyle r}$-градиентный ввод ${\displaystyle A}$ и общее положение ${\displaystyle x}$, линейная по первому аргументу. Тогда основная теорема геометрического исчисления связывает интеграл от производной по объему ${\displaystyle V}$ интегралу по его границе:

${\displaystyle \int _{V}{\dot {\mathsf {L}}}\left({\dot {\nabla }}dX;x\right)=\oint _{\partial V}{\mathsf {L}}(dS;x).}$

В качестве примера пусть ${\displaystyle {\mathsf {L}}(A;x)=\langle F(x)AI^{-1}\rangle }$ для векторной функции ${\displaystyle F(x)}$ и (${\displaystyle n-1}$) -сорт мультивекторный ${\displaystyle A}$. Мы находим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}{\dot {\mathsf {L}}}\left({\dot {\nabla }}dX;x\right)&=\int _{V}\langle {\dot {F}}(x){\dot {\nabla }}\,dX\,I^{-1}\rangle \\&=\int _{V}\langle {\dot {F}}(x){\dot {\nabla }}\,|dX|\rangle \\&=\int _{V}\nabla \cdot F(x)\,|dX|.\end{aligned}}}$

Так же,

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial V}{\mathsf {L}}(dS;x)&=\oint _{\partial V}\langle F(x)\,dS\,I^{-1}\rangle \\&=\oint _{\partial V}\langle F(x){\hat {n}}\,|dS|\rangle \\&=\oint _{\partial V}F(x)\cdot {\hat {n}}\,|dS|.\end{aligned}}}$

Таким образом мы восстанавливаем теорема расходимости,

${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot F(x)\,|dX|=\oint _{\partial V}F(x)\cdot {\hat {n}}\,|dS|.}$

Ковариантная производная

Достаточно гладкая ${\displaystyle k}$-поверхность в ${\displaystyle n}$-мерное пространство считается многообразие. К каждой точке многообразия мы можем прикрепить ${\displaystyle k}$-лезвие ${\displaystyle B}$ это касается многообразия. Локально, ${\displaystyle B}$ действует как псевдоскаляр ${\displaystyle k}$-мерное пространство. Это лезвие определяет проекция векторов на многообразие:

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\cdot B^{-1})B.}$

Так же, как геометрическая производная ${\displaystyle \nabla }$ определяется на всем ${\displaystyle n}$-мерное пространство, мы можем захотеть определить внутренняя производная ${\displaystyle \partial }$, локально определенные на многообразии:

${\displaystyle \partial F={\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F.}$

(Примечание: правая часть вышеупомянутого может не лежать в касательном пространстве к коллектору. Следовательно, это не то же самое, что ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(\nabla F)}$, которое обязательно лежит в касательном пространстве.)

Если ${\displaystyle a}$ является вектором, касательным к многообразию, то и геометрическая производная, и внутренняя производная дают одну и ту же производную по направлению:

${\displaystyle a\cdot \partial F=a\cdot \nabla F.}$

Хотя эта операция вполне допустима, она не всегда полезна, потому что ${\displaystyle \partial F}$ сам по себе не обязательно находится на коллекторе. Поэтому мы определяем ковариантная производная быть вынужденной проекцией внутренней производной обратно на многообразие:

${\displaystyle a\cdot DF={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot {\mathcal {P}}_{B}(\nabla )F).}$

Поскольку любой общий многовектор может быть выражен как сумма проекции и отклонения, в этом случае

${\displaystyle a\cdot \partial F={\mathcal {P}}_{B}(a\cdot \partial F)+{\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),}$

мы вводим новую функцию, тензор формы ${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)}$, что удовлетворяет

${\displaystyle F\times {\mathsf {S}}(a)={\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial F),}$

куда ${\displaystyle \times }$ это коммутаторный продукт. В локальной системе координат ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ покрывающий касательную поверхность, тензор формы задается формулой

${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)=e^{i}\wedge {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(a\cdot \partial e_{i}).}$

Важно отметить, что на общем многообразии ковариантная производная не коммутирует. В частности, коммутатор связана с тензором формы соотношением

${\displaystyle [a\cdot D,\,b\cdot D]F=-({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b))\times F.}$

Ясно термин ${\displaystyle {\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)}$ представляет интерес. Однако она, как и собственная производная, не обязательно находится на многообразии. Следовательно, мы можем определить Тензор Римана чтобы быть проекцией обратно на коллектор:

${\displaystyle {\mathsf {R}}(a\wedge b)=-{\mathcal {P}}_{B}({\mathsf {S}}(a)\times {\mathsf {S}}(b)).}$

Наконец, если ${\displaystyle F}$ класса ${\displaystyle r}$, то мы можем определить внутренние и внешние ковариантные производные как

${\displaystyle D\cdot F=\langle DF\rangle _{r-1},}$

${\displaystyle D\wedge F=\langle DF\rangle _{r+1},}$

и аналогично для внутренней производной.

Отношение к дифференциальной геометрии

На многообразии локально мы можем сопоставить касательную поверхность, натянутую на набор базисных векторов ${\displaystyle \{e_{i}\}}$. Мы можем связать компоненты метрический тензор, то Символы Кристоффеля, а Тензор кривизны Римана следующее:

${\displaystyle g_{ij}=e_{i}\cdot e_{j},}$

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=(e_{i}\cdot De_{j})\cdot e^{k},}$

${\displaystyle R_{ijkl}=({\mathsf {R}}(e_{i}\wedge e_{j})\cdot e_{k})\cdot e_{l}.}$

Эти соотношения включают теорию дифференциальной геометрии в геометрическое исчисление.

Отношение к дифференциальным формам

В местная система координат (${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$) координатные дифференциалы ${\displaystyle dx^{1}}$, ..., ${\displaystyle dx^{n}}$ сформировать базовый набор однокомпонентных форм внутри карта координат. Учитывая мультииндекс ${\displaystyle I=(i_{1},\ldots ,i_{k})}$ с ${\displaystyle 1\leq i_{p}\leq n}$ за ${\displaystyle 1\leq p\leq k}$, мы можем определить ${\displaystyle k}$-форма

${\displaystyle \omega =f_{I}\,dx^{I}=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.}$

В качестве альтернативы мы можем ввести ${\displaystyle k}$-сорт мультивектор ${\displaystyle A}$ в качестве

${\displaystyle A=f_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\wedge e^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{k}}}$

и мера

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{k}X&=\left(dx^{i_{1}}e_{i_{1}}\right)\wedge \left(dx^{i_{2}}e_{i_{2}}\right)\wedge \cdots \wedge \left(dx^{i_{k}}e_{i_{k}}\right)\\&=\left(e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\right)dx^{i_{1}}dx^{i_{2}}\cdots dx^{i_{k}}.\end{aligned}}}$

Помимо тонкой разницы в значении внешнего продукта в отношении дифференциальных форм и внешнего продукта в отношении векторов (в первом случае приращения ковекторы, тогда как в последних они представляют собой скаляры), мы видим соответствия дифференциальной формы

${\displaystyle \omega \cong A^{\dagger }\cdot d^{k}X=A\cdot \left(d^{k}X\right)^{\dagger },}$

его производная

${\displaystyle d\omega \cong (D\wedge A)^{\dagger }\cdot d^{k+1}X=(D\wedge A)\cdot \left(d^{k+1}X\right)^{\dagger },}$

и это Ходж Дуал

${\displaystyle \star \omega \cong (I^{-1}A)^{\dagger }\cdot d^{k}X,}$

встроить теорию дифференциальных форм в геометрическое исчисление.

История

Ниже представлена ​​диаграмма, обобщающая историю геометрического исчисления.

История геометрического исчисления.

Ссылки и дополнительная литература

1. Дэвид Хестенес, Гаррет Собчик: Алгебра Клиффорда в геометрическое исчисление, единый язык для математики и физики (Дордрехт / Бостон: G.Reidel Publ.Co., 1984, ISBN  90-277-2561-6

• Макдональд, Алан (2012). Векторное и геометрическое исчисление. Чарльстон: CreateSpace. ISBN  9781480132450. OCLC  829395829.