Подтвержденные числа - Validated numerics

Подтвержденные числа, или же строгий расчет, проверенное вычисление, надежное вычисление, цифровая проверка (Немецкий: Zuverlässiges Rechnen) представляет собой числовое значение, включая математически строгую оценку ошибки (ошибка округления, ошибка усечения, ошибка дискретизации), и это одно поле числовой анализ. Для вычисления интервальная арифметика используется, и все результаты представлены интервалами. Подтвержденные цифры использовались Уорик Такер для решения 14-го числа Проблемы Смейла,^[1] и сегодня он признан мощным инструментом для изучения динамические системы.^[2]

Смотрите также: Числовой анализ и Интервальная арифметика

Важность

Расчет без проверки может привести к неудачным результатам. Ниже приведены некоторые примеры.

Пример Румпа

В 1980-х Рэмп привел пример.^[3][4] Он выполнил сложную функцию и попытался получить ее значение. Результаты с одинарной точностью, двойной точностью и расширенной точностью казались правильными, но его знак плюс-минус отличался от истинного значения.

Фантомное решение

Брейер – Плам – Маккенна использовал спектральный метод для решения краевой задачи уравнения Эмдена и сообщил, что было получено асимметричное решение.^[5] Этот результат исследования противоречил теоретическому исследованию Гидаса – Ни – Ниренберга, в котором утверждалось, что асимметричного решения не существует.^[6] Решение, полученное Брейером – Пламом – МакКенной, было фантомным решением, вызванным ошибкой дискретизации. Это редкий случай, но он говорит нам о том, что, когда мы хотим строго обсуждать дифференциальные уравнения, численные решения должны быть проверены.

Несчастные случаи, вызванные числовыми ошибками

Следующие примеры известны как несчастные случаи, вызванные числовыми ошибками:

• Отказ перехвата ракет в Война в Персидском заливе (1991)^[7]
• Отказ Ариана 5 ракета (1996)^[8]
• Ошибки при подведении итогов выборов^[9]

Основные темы

Изучение проверенных числовых значений разделено на следующие области:

• Проверка в числовая линейная алгебра
  • Проверка численных решений данной системы линейных уравнений^[10][11]
  • Проверка численно полученных собственных значений^[12][13][14]
  • Строгие вычисления детерминанты^[15]
  • Проверка численных решений матричных уравнений^{[16][17][18][19][20][21][22]}
• Проверка специальные функции:
  • Гамма-функция^[23][24]
  • Эллиптические функции^[25]
  • Гипергеометрические функции^[26]
  • Дзета-функция Гурвица^[27]
  • Функция Бесселя
  • Матричная функция^[28][29][30]
• Проверка числовая квадратура^[31][32][33]
• Проверка нелинейных уравнений (The Теорема канторовича,^[34] Изучаются метод Кравчика, интервальный метод Ньютона и метод Дюрана – Кернера – Аберта.)
• Верификация решений ODE, PDE^[35] (Для PDE знание функциональный анализ используются.^[34])
• Проверка линейное программирование^[36]
• Проверка вычислительная геометрия
• Верификация в высокопроизводительной вычислительной среде

Смотрите также: численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, числовая линейная алгебра, числовая квадратура, и вычислительная геометрия

Инструменты

• ИНТЛАБ Библиотека сделана MATLAB /GNU Octave
• кв Библиотека сделана C ++. Эта библиотека может получить несколько выходных значений точности, используя GNU MPFR.
  • кв на GitHub
• Арб Библиотека сделана C. Он способен строго вычислять различные специальные функции.
  • вилка на GitHub
• CAPD Набор гибких модулей C ++, которые в основном предназначены для вычисления гомологии множеств, отображений и проверенных чисел для динамические системы.
• ЮлияИнтервалы на GitHub (Библиотека сделана Юля )

Смотрите также

• Компьютерное доказательство
• Интервальная арифметика
• Аффинная арифметика
• ИНТЛАБ (Интервальная лаборатория)
• Автоматическая дифференциация
• викиучебники: Численные расчеты и строгая математика
• Теорема канторовича
• Теорема Гершгорина о круге
• Ульрих В. Кулиш

Рекомендации

1. Такер, Уорик. (1999). «Аттрактор Лоренца существует». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics, 328(12), 1197–1202.
2. Зин Араи, Хироши Кокубу, Павел Пиларчик. Последние разработки в области строгих вычислительных методов в динамических системах.
3. Румп, Зигфрид М. (1988). «Алгоритмы проверенных включений: теория и практика». В Надежность в вычислениях (стр. 109–126). Академическая пресса.
4. Ло, Юджин; Уолстер, Дж. Уильям (2002). Вернемся к примеру Рэмпа. Надежные вычисления, 8 (3), 245-248.
5. Breuer, B .; Слива, Майкл; Маккенна, Патрик Дж. (2001). «Включения и доказательства существования решений нелинейной краевой задачи спектрально-численными методами». В Темы численного анализа (стр. 61–77). Спрингер, Вена.
6. Gidas, B .; Ни, Вэй-Мин; Ниренберг, Луи (1979). «Симметрия и связанные с ней свойства через принцип максимума». Коммуникации по математической физике, 68(3), 209–243.
7. http://www-users.math.umn.edu/~arnold//disasters/patriot.html
8. АРИАН 5, рейс 501, отказ, http://sunnyday.mit.edu/nasa-class/Ariane5-report.html
9. Ошибка округления меняет состав парламента
10. Ямамото, Т. (1984). Оценки погрешности приближенных решений систем уравнений. Японский журнал прикладной математики, 1 (1), 157.
11. Оиши, С., & Рамп, С. М. (2002). Быстрая проверка решений матричных уравнений. Numerische Mathematik, 90 (4), 755-773.
12. Ямамото, Т. (1980). Границы ошибок для вычисленных собственных значений и собственных векторов. Numerische Mathematik, 34 (2), 189–199.
13. Ямамото, Т. (1982). Границы ошибок для вычисленных собственных значений и собственных векторов. II. Numerische Mathematik, 40 (2), 201-206.
14. Майер, Г. (1994). Проверка результатов для собственных векторов и собственных значений. Topics in Validated Computations, Elsevier, Amsterdam, 209-276.
15. Огита, Т. (2008). Подтвержденное численное вычисление определителя матрицы. SCAN’2008 Эль-Пасо, Техас, 29 сентября - 3 октября 2008 г., 86 г.
16. Шинья Миядзима, Проверенные вычисления для эрмитова положительно определенного решения сопряженного алгебраического уравнения Риккати с дискретным временем, Журнал вычислительной и прикладной математики, том 350, страницы 80-86, апрель 2019.
17. Шинья Миядзима, Быстрое проверенное вычисление минимального неотрицательного решения несимметричного алгебраического уравнения Риккати, Вычислительная и прикладная математика, том 37, выпуск 4, страницы 4599-4610, сентябрь 2018.
18. Шинья Миядзима, Быстро проверенные вычисления для решения Т-конгруэнтного уравнения Сильвестра, Японский журнал промышленной и прикладной математики, том 35, выпуск 2, страницы 541-551, июль 2018.
19. Шинья Миядзима, Быстрое проверенное вычисление для растворителя квадратного матричного уравнения, Электронный журнал линейной алгебры, том 34, страницы 137-151, март 2018 г.
20. Шинья Миядзима, Быстро проверенные вычисления для решений алгебраических уравнений Риккати, возникающих в теории переноса, Численная линейная алгебра с приложениями, Том 24, выпуск 5, страницы 1-12, октябрь 2017.
21. Синья Миядзима, Быстрые проверенные вычисления для стабилизации решений алгебраических уравнений Риккати с дискретным временем, Журнал вычислительной и прикладной математики, том 319, страницы 352-364, август 2017.
22. Шинья Миядзима, Быстрые проверенные вычисления для решений алгебраических уравнений Риккати с непрерывным временем, Японский журнал промышленной и прикладной математики, том 32, выпуск 2, страницы 529-544, июль 2015.
23. Румп, Зигфрид М. (2014). Проверенные точные границы для реальной гамма-функции во всем диапазоне чисел с плавающей запятой. Нелинейная теория и ее приложения, IEICE, 5 (3), 339-348.
24. Яманака, Наоя; Окаяма, Томоаки; Оиси, Синъити (2015, ноябрь). Проверенные границы ошибок для реальной гамма-функции с использованием формулы двойной экспоненты за полубесконечный интервал. В Международной конференции по математическим аспектам компьютерных и информационных наук (стр. 224-228). Springer.
25. Йоханссон, Фредрик (2019). Численное вычисление эллиптических функций, эллиптических интегралов и модулярных форм. В эллиптических интегралах, эллиптических функциях и модулярных формах в квантовой теории поля (стр. 269-293). Спрингер, Чам.
26. Йоханссон, Фредрик (2019). Вычисление гипергеометрических функций строго. Транзакции ACM на математическом программном обеспечении (TOMS), 45 (3), 30.
27. Йоханссон, Фредрик (2015). Строгое высокоточное вычисление дзета-функции Гурвица и ее производных. Численные алгоритмы, 69 (2), 253-270.
28. Миядзима, С. (2018). Быстрое проверенное вычисление для главного корня p-й степени матрицы. ru: Журнал вычислительной и прикладной математики, 330, 276-288.
29. Миядзима, С. (2019). Проверенные вычисления для главного логарифма матрицы. Линейная алгебра и ее приложения, 569, 38-61.
30. Миядзима, С. (2019). Проверено вычисление матричной экспоненты. Успехи в вычислительной математике, 45 (1), 137-152.
31. Йоханссон, Фредрик (2017). Arb: эффективная арифметика интервалов средней точки-радиуса произвольной точности. IEEE Transactions on Computers, 66 (8), 1281-1292.
32. Йоханссон, Фредрик (2018, июль). Численное интегрирование в шаровой арифметике произвольной точности. В Международном конгрессе по математическому программному обеспечению (стр. 255-263). Спрингер, Чам.
33. Йоханссон, Фредрик; Меззаробба, Марк (2018). Быстрое и строгое вычисление произвольной точности квадратурных узлов и весов Гаусса - Лежандра. Журнал SIAM по научным вычислениям, 40 (6), C726-C747.
34. Эберхард Цейдлер [де ], Нелинейный функциональный анализ и его приложения I-V. Springer Science & Business Media.
35. Мицухиро Т. Накао, Майкл Плам, Ёситака Ватанабе (2019) Методы численной проверки и компьютерные доказательства для дифференциальных уравнений с частными производными (серии Спрингера в вычислительной математике).
36. Оиси, Синъити; Танабэ, Кунио (2009). Численный учет оптимальной точки для линейного программирования. Письма JSIAM, 1, 5-8.

дальнейшее чтение

• Такер, Уорик (2011). Подтвержденные числа: краткое введение в строгие вычисления. Princeton University Press.
• Мур, Рамон Эдгар, Кирфотт, Р. Бейкер., Клауд, Майкл Дж. (2009). Введение в интервальный анализ. Общество промышленной и прикладной математики.
• Румп, Зигфрид М. (2010). Методы проверки: точные результаты с использованием арифметики с плавающей запятой. Acta Numerica, 19, 287-449.

внешняя ссылка

• Подтвержденные цифры для пешеходов
• Надежные вычисления, Открытый электронный журнал, посвященный численным вычислениям с гарантированной точностью, ограничению диапазонов, математическим доказательствам, основанным на арифметике с плавающей запятой, и другой теории и приложениям интервальной арифметики и направленного округления.