Метод характеристик - Method of characteristics

В математика, то метод характеристик это метод решения уравнения в частных производных. Обычно это касается уравнения первого порядка, хотя в более общем плане метод характеристик применим для любых гиперболическое уравнение в частных производных. Метод состоит в том, чтобы свести уравнение в частных производных к семейству обыкновенные дифференциальные уравнения по которому решение может быть интегрировано из некоторых исходных данных, заданных на подходящем гиперповерхность.

Характеристики дифференциального уравнения в частных производных первого порядка

Для PDE первого порядка (уравнение в частных производных ) метод характеристик обнаруживает кривые (называемые характеристические кривые или просто характеристики), по которым PDE становится обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ). Как только ОДУ найдено, его можно решить по характеристическим кривым и преобразовать в решение для исходного УЧП.

Для простоты ограничимся случаем функции двух независимых переменных Икс и у на момент. Рассмотрим квазилинейный PDE формы

{ displaystyle a (x, y, z) { frac { partial z} { partial x}} + b (x, y, z) { frac { partial z} { partial y}} = с (x, y, z).}

(1)

Предположим, что решение z известен, и рассмотрим поверхностный граф z = z(Икс,у) в р³. А нормальный вектор к этой поверхности дается

{ displaystyle left ({ frac { partial z} { partial x}} (x, y), { frac { partial z} { partial y}} (x, y), - 1 right ). ,}

Как результат,^[1] уравнение (1) эквивалентно геометрическому утверждению, что векторное поле

{ Displaystyle (а (х, у, г), б (х, у, г), с (х, у, г)) ,}

касается поверхности z = z(Икс,у) в каждой точке, так как скалярное произведение этого векторного поля с указанным выше вектором нормали равно нулю. Другими словами, график решения должен быть объединением интегральные кривые этого векторного поля. Эти интегральные кривые называются характеристическими кривыми исходного уравнения в частных производных и задаются уравнением Лагранж –Уравнения Шарпита^[2]

{ displaystyle { begin {array} {rcl} { frac {dx} {dt}} & = & a (x, y, z), { frac {dy} {dt}} & = & b (x , y, z), { frac {dz} {dt}} & = & c (x, y, z). end {array}}}

Параметризационно-инвариантная форма Уравнения Лагранжа – Чарпита.^[2] является:

{ displaystyle { frac {dx} {a (x, y, z)}} = { frac {dy} {b (x, y, z)}} = { frac {dz} {c (x, y, z)}}.}

Линейный и квазилинейный случаи

Рассмотрим теперь УЧП вида

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} (x_ {1}, dots, x_ {n}, u) { frac { partial u} { partial x_ {i} }} = c (x_ {1}, dots, x_ {n}, u).}

Чтобы этот PDE был линейный, коэффициенты а_я могут быть функциями только пространственных переменных и не зависят от ты. Чтобы это было квазилинейный, а_я также может зависеть от значения функции, но не от каких-либо производных. Различие между этими двумя случаями несущественно для обсуждения здесь.

Для линейных или квазилинейных УЧП характеристические кривые задаются параметрически как

{ Displaystyle (x_ {1}, точки, x_ {n}, u) = (x_ {1} (s), dots, x_ {n} (s), u (s))}

{ Displaystyle и ( mathbf {X} (s)) = U (s)}

такая, что выполняется следующая система ОДУ

{ displaystyle { frac {dx_ {i}} {ds}} = a_ {i} (x_ {1}, dots, x_ {n}, u)}

(2)

{ displaystyle { frac {du} {ds}} = c (x_ {1}, dots, x_ {n}, u).}

(3)

Уравнения (2) и (3) дают характеристики PDE.

Доказательство для квазилинейного случая.

В квазилинейном случае использование метода характеристик оправдано Неравенство Гренвалла. Вышеприведенное уравнение можно записать как

${ Displaystyle mathbf {a} ( mathbf {x}, u) cdot nabla и ( mathbf {x}) = с ( mathbf {x}, u)}$

Мы должны различать решения ODE и решения PDE, которые, как мы не знаем, равны априори. Принимая заглавные буквы в качестве решений ОДУ, мы находим

${ Displaystyle mathbf {X} '(s) = mathbf {a} ( mathbf {X} (s), U (s))}$

${ Displaystyle U '(s) = с ( mathbf {X} (s), U (s))}$

Изучение ${ Displaystyle Delta (s) = | U ( mathbf {X} (s)) - U (s) | ^ {2}}$ , мы находим, дифференцируя, что

${ displaystyle Delta '(s) = 2 { big (} u ( mathbf {X} (s)) - U (s) { big)} { Big (} mathbf {X}' (s ) cdot nabla u ( mathbf {X} (s)) - U '(s) { Big)}}$

который совпадает с

${ Displaystyle Delta '(s) = 2 { big (} u ( mathbf {X} (s)) - U (s) { big)} { Big (} mathbf {a} ( mathbf {X} (s), U (s)) cdot nabla u ( mathbf {X} (s)) - c ( mathbf {X} (s), U (s)) { Big)}}$

Мы не можем заключить, что приведенное выше значение равно 0, как мы хотели бы, поскольку PDE только гарантирует нам, что это соотношение выполняется для ${ Displaystyle и ( mathbf {х})}$ , ${ Displaystyle mathbf {a} ( mathbf {x}, u) cdot nabla и ( mathbf {x}) = с ( mathbf {x}, u)}$ , и мы еще не знаем, что ${ Displaystyle U (s) = U ( mathbf {X} (s))}$ .

Однако мы видим, что

${ Displaystyle Delta '(s) = 2 { big (} u ( mathbf {X} (s)) - U (s) { big)} { Big (} mathbf {a} ( mathbf {X} (s), U (s)) cdot nabla u ( mathbf {X} (s)) - c ( mathbf {X} (s), U (s)) - { big (} mathbf {a} ( mathbf {X} (s), u ( mathbf {X} (s))) cdot nabla u ( mathbf {X} (s)) - c ( mathbf {X} (s), и ( mathbf {X} (s))) { big)} { Big)}}$

поскольку в PDE последний член равен 0. Это равно

${ Displaystyle Delta '(s) = 2 { big (} и ( mathbf {X} (s)) - U (s) { big)} { Big (} { big (} mathbf { a} ( mathbf {X} (s), U (s)) - mathbf {a} ( mathbf {X} (s), u ( mathbf {X} (s))) { big)} cdot nabla u ( mathbf {X} (s)) - { big (} c ( mathbf {X} (s), U (s)) - c ( mathbf {X} (s), u ( mathbf {X} (s))) { big)} { Big)}}$

По неравенству треугольника имеем

${ displaystyle | Delta '(s) | = 2 { big |} u ( mathbf {X} (s)) - U (s) { big |} { Big (} { big |} mathbf {a} ( mathbf {X} (s), U (s)) - mathbf {a} ( mathbf {X} (s), u ( mathbf {X} (s))) { большой |} | nabla u ( mathbf {X} (s)) | + { big |} c ( mathbf {X} (s), U (s)) - c ( mathbf { X} (s), u ( mathbf {X} (s))) { big |} { Big)}}$

Предполагая ${ displaystyle mathbf {a}, c}$ по крайней мере ${ displaystyle C ^ {1}}$ , мы можем ограничить это для малых времен. Выберите район ${ displaystyle Omega}$ вокруг ${ Displaystyle mathbf {X} (0), U (0)}$ достаточно маленький, чтобы ${ displaystyle mathbf {a}, c}$ находятся Местно Липшиц. По преемственности, ${ Displaystyle ( mathbf {X} (s), U (s))}$ останется в ${ displaystyle Omega}$ для достаточно маленького ${ displaystyle s}$ . С ${ Displaystyle U (0) = и ( mathbf {X} (0))}$ , у нас также есть ${ Displaystyle ( mathbf {X} (s), и ( mathbf {X} (s)))}$ будет в ${ displaystyle Omega}$ для достаточно маленького ${ displaystyle s}$ по преемственности. Так, ${ Displaystyle ( mathbf {X} (s), U (s)) in Omega}$ и ${ Displaystyle ( mathbf {X} (s), и ( mathbf {X} (s))) in Omega}$ за ${ displaystyle s in [0, s_ {0}]}$ . Кроме того, ${ Displaystyle | набла и ( mathbf {X} (s)) | Leq M}$ для некоторых ${ Displaystyle M in mathbb {R}}$ за ${ displaystyle s in [0, s_ {0}]}$ по компактности. Отсюда мы находим, что указанное выше ограничено как

${ displaystyle | Delta '(s) | leq C | u ( mathbf {X} (s)) - U (s) | ^ {2} = C | Delta (s) |}$

для некоторых ${ Displaystyle C in mathbb {R}}$ . Это прямое применение неравенства Гренвалла, чтобы показать, что, поскольку ${ Displaystyle Delta (0) = 0}$ у нас есть ${ Displaystyle Delta (s) = 0}$ пока выполняется это неравенство. У нас есть интервал ${ displaystyle [0, epsilon)}$ такой, что ${ Displaystyle и (Икс (s)) = U (s)}$ в этом интервале. Выбери самый большой ${ displaystyle epsilon}$ так что это правда. Тогда по непрерывности ${ Displaystyle U ( epsilon) = и ( mathbf {X} ( epsilon))}$ . При условии, что ODE все еще имеет решение через некоторый интервал после ${ displaystyle epsilon}$ , мы можем повторить приведенный выше аргумент и обнаружить, что ${ Displaystyle и (Икс (s)) = U (s)}$ в большем интервале. Таким образом, пока ОДУ имеет решение, мы имеем ${ Displaystyle и (Икс (s)) = U (s)}$ .

Полностью нелинейный случай

Рассмотрим уравнение в частных производных

{ Displaystyle F (x_ {1}, dots, x_ {n}, u, p_ {1}, dots, p_ {n}) = 0}

(4)

где переменные п_я являются сокращением для частных производных

{ displaystyle p_ {i} = { frac { partial u} { partial x_ {i}}}.}

Позволять (Икс_я(s),ты(s),п_я(s)) - кривая в р^{2n + 1}. Предположим, что ты любое решение, и что

{ displaystyle u (s) = u (x_ {1} (s), dots, x_ {n} (s)).}

По решению, дифференцируя (4) относительно s дает

{ displaystyle sum _ {i} (F_ {x_ {i}} + F_ {u} p_ {i}) { dot {x}} _ {i} + sum _ {i} F_ {p_ {i} }} { dot {p}} _ {i} = 0}

{ displaystyle { dot {u}} - sum _ {i} p_ {i} { dot {x}} _ {i} = 0}

{ displaystyle sum _ {i} ({ dot {x}} _ {i} dp_ {i} - { dot {p}} _ {i} dx_ {i}) = 0.}

Второе уравнение следует из применения Правило цепи к решению ты, а третий следует, взяв внешняя производная отношения ${ displaystyle du- sum _ {i} p_ {i} , dx_ {i} = 0}$ . Манипулирование этими уравнениями дает

{ displaystyle { dot {x}} _ {i} = lambda F_ {p_ {i}}, quad { dot {p}} _ {i} = - lambda (F_ {x_ {i}}) + F_ {u} p_ {i}), quad { dot {u}} = lambda sum _ {i} p_ {i} F_ {p_ {i}}}

где λ - постоянная. Записывая эти уравнения более симметрично, получаем уравнения Лагранжа – Шарпита для характеристики

{ displaystyle { frac {{ dot {x}} _ {i}} {F_ {p_ {i}}}} = - { frac {{ dot {p}} _ {i}} {F_ { x_ {i}} + F_ {u} p_ {i}}} = { frac { dot {u}} { sum p_ {i} F_ {p_ {i}}}}.}.}

Геометрически метод характеристик в полностью нелинейном случае можно интерпретировать как требующий Конус Монжа дифференциального уравнения должна всюду касаться графика решения.

Педагогический способ вывода уравнений Лагранжа – Чарпита см. В главе 4 на [1].

Пример

В качестве примера рассмотрим уравнение переноса (этот пример предполагает знакомство с нотацией PDE и решениями для основных ODE).

{ displaystyle a { frac { partial u} { partial x}} + { frac { partial u} { partial t}} = 0 ,}

куда ${ Displaystyle а ,}$ постоянно и ${ Displaystyle и ,}$ является функцией ${ Displaystyle х ,}$ и ${ Displaystyle т ,}$ . Мы хотим преобразовать это линейное УЧП первого порядка в ОДУ вдоль соответствующей кривой; то есть что-то в форме

{ Displaystyle { гидроразрыва {d} {ds}} и (х (s), t (s)) = F (u, x (s), t (s))}

,

куда ${ Displaystyle (х (s), т (s)) ,}$ характерная линия. Сначала мы находим

{ displaystyle { frac {d} {ds}} u (x (s), t (s)) = { frac { partial u} { partial x}} { frac {dx} {ds}} + { frac { partial u} { partial t}} { frac {dt} {ds}}}

по цепному правилу. Теперь, если мы установим ${ displaystyle { frac {dx} {ds}} = а}$ и ${ displaystyle { frac {dt} {ds}} = 1}$ мы получили

{ displaystyle a { frac { partial u} { partial x}} + { frac { partial u} { partial t}} ,}

что является левой частью PDE, с которой мы начали. Таким образом

{ displaystyle { frac {d} {ds}} u = a { frac { partial u} { partial x}} + { frac { partial u} { partial t}} = 0.}

Итак, по характеристической линии ${ Displaystyle (х (s), т (s)) ,}$ , исходное PDE становится ODE ${ Displaystyle и_ {s} = F (и, х (s), t (s)) = 0 ,}$ . То есть по характеристикам решение постоянно. Таким образом, ${ displaystyle u (x_ {s}, t_ {s}) = u (x_ {0}, 0) ,}$ куда ${ displaystyle (x_ {s}, t_ {s}) ,}$ и ${ Displaystyle (х_ {0}, 0) ,}$ лежат на одной характеристике. Поэтому для определения общего решения достаточно найти характеристики, решив характеристическую систему ОДУ:

${ displaystyle { frac {dt} {ds}} = 1}$ , позволяя ${ Displaystyle т (0) = 0 ,}$ мы знаем ${ Displaystyle т = s ,}$ ,
${ displaystyle { frac {dx} {ds}} = а}$ , позволяя ${ Displaystyle х (0) = х_ {0} ,}$ мы знаем ${ displaystyle x = as + x_ {0} = at + x_ {0} ,}$ ,
${ displaystyle { frac {du} {ds}} = 0}$ , позволяя ${ Displaystyle и (0) = е (x_ {0}) ,}$ мы знаем ${ Displaystyle и (х (т), т) = е (х_ {0}) = е (х-ат) ,}$ .

В этом случае характеристические линии представляют собой прямые с наклоном ${ Displaystyle а ,}$ , а значение ${ Displaystyle и ,}$ остается постоянным по любой характеристической линии.

Характеристики линейных дифференциальных операторов

Позволять Икс быть дифференцируемое многообразие и п линейный дифференциальный оператор

{ Displaystyle P: C ^ { infty} (X) к C ^ { infty} (X)}

порядка k. В локальной системе координат Икс^я,

{ displaystyle P = sum _ {| alpha | leq k} P ^ { alpha} (x) { frac { partial} { partial x ^ { alpha}}}}

в котором α обозначает мультииндекс. Главный символ из п, обозначенное σ_п, - функция на котангенсный пучок Т^∗Икс в этих локальных координатах

{ displaystyle sigma _ {P} (x, xi) = sum _ {| alpha | = k} P ^ { alpha} (x) xi _ { alpha}}

где ξ_я - координаты слоев на кокасательном расслоении, индуцированные координатными дифференциалами dИкс^я. Хотя это определяется с использованием конкретной системы координат, закон преобразования, связывающий ξ_я и Икс^я гарантирует, что σ_п - корректно определенная функция на кокасательном расслоении.

Функция σ_п является однородный степени k в переменной ξ. Нули σ_п, вдали от нулевого сечения T^∗Икс, характеристики п. Гиперповерхность Икс определяется уравнением F(Икс) = c называется характеристической гиперповерхностью в точке Икс если

{ displaystyle sigma _ {P} (x, dF (x)) = 0.}

Инвариантно характеристическая гиперповерхность - это гиперповерхность, у которой конормальный пучок входит в характеристический набор п.

Качественный анализ характеристик

Характеристики также являются мощным инструментом для получения качественного представления о PDE.

Можно использовать пересечения характеристик, чтобы найти ударные волны для потенциального течения в сжимаемой жидкости. Интуитивно мы можем представить себе каждую характеристическую линию, подразумевающую решение ${ Displaystyle и ,}$ вдоль себя. Таким образом, когда две характеристики пересекаются, функция становится многозначной, что приводит к нефизическому решению. Физически это противоречие устраняется образованием ударной волны, тангенциального разрыва или слабого разрыва и может привести к непотенциальному течению, нарушающему исходные предположения.

Характеристики могут не охватывать часть домена PDE. Это называется разрежение, и указывает, что решение обычно существует только в слабом, т.е. интегральное уравнение, смысл.

Направление характеристических линий указывает поток значений через решение, как показано в приведенном выше примере. Такие знания полезны при численном решении PDE, поскольку они могут указать, какие конечная разница схема лучше всего подходит для проблемы.

Смотрите также

Метод квантовых характеристик

внешняя ссылка

[1] Джон 1991

[:0-2] а ^б Дельгадо 1997

[1]

[2]