Оператор Пуанкаре – Стеклова - Poincaré–Steklov operator

В математика, а Оператор Пуанкаре – Стеклова (после Анри Пуанкаре и Владимир Стеклов ) отображает значения одного граничное условие решения эллиптическое уравнение в частных производных в домен к значениям другого граничного условия. Обычно решение определяется одним из граничных условий. Таким образом, оператор Пуанкаре – Стеклова инкапсулирует граничный отклик системы, моделируемой уравнением в частных производных. Когда уравнение в частных производных дискретизируется, например, с помощью конечные элементы или же конечные разности, дискретизация оператора Пуанкаре – Стеклова есть Дополнение Шура получается путем исключения всех степеней свободы внутри области.

Обратите внимание, что может быть много подходящих различных граничных условий для данного уравнения в частных производных, и направление, в котором оператор Пуанкаре – Стеклова отображает значения одного в другое, задается только условно.^[1]

Оператор Дирихле-Неймана в ограниченной области

Рассмотрим устойчивое состояние распределение температура в теле при заданных значениях температуры на поверхности тела. Тогда полученный поток горячего воздуха через границу (то есть тепловой поток, который потребуется для поддержания заданной температуры поверхности) определяется однозначно. Отображение температуры поверхности в поток тепла поверхности является оператором Пуанкаре – Стеклова. Этот конкретный оператор Пуанкаре – Стеклова называется оператором Дирихле – Неймана (DtN). Значения температуры на поверхности - это Граничное условие Дирихле из Уравнение лапласа, описывающий распределение температуры внутри тела. Тепловой поток через поверхность - это Граничное условие Неймана (пропорционально нормальная производная температуры).

Математически для функции ${\displaystyle u}$ гармонический в домене ${\displaystyle \Omega \subset R^{n}}$, оператор Дирихле-Неймана отображает значения ${\displaystyle u}$ на границе ${\displaystyle \Omega }$ к нормальной производной ${\displaystyle \partial u/\partial n}$ на границе ${\displaystyle \Omega }$. Этот оператор Пуанкаре – Стеклова лежит в основе итеративное субструктурирование.^[2]

Кальдерон Обратной краевой задачей является задача нахождения коэффициента дивергентного эллиптического уравнения с частными производными от его оператора Дирихле-Неймана. Это математическая формулировка электроимпедансная томография.

Оператор Дирихле - Неймана для граничного условия на бесконечности

Решение дифференциального уравнения в частных производных в внешний домен порождает оператор Пуанкаре – Стеклова, переносящий граничное условие с бесконечности на границу. Одним из примеров является оператор Дирихле-Неймана, который отображает заданную температуру на границе полости в бесконечной среде с нулевой температурой на бесконечности в тепловой поток на границе полости. Аналогичным образом можно определить оператор Дирихле - Неймана на границе сферы для решения Уравнение Гельмгольца во внешности сферы. Аппроксимации этого оператора лежат в основе класса методов моделирования акустического рассеяния в бесконечной среде, в которой рассеиватель заключен в сферу, а оператор Пуанкаре – Стеклова служит неотражающим (или поглощающим) граничным условием.^[3]

Оператор Пуанкаре – Стеклова в электромагнетизме.

Оператор Пуанкаре – Стеклова определяется как оператор, отображающий гармонику времени (т. Е. Зависящую от времени как ${\displaystyle e^{i\omega t}}$) касательное электрическое поле на границе области к эквивалентному электрическому току на ее границе.^[4]

Смотрите также

• Взаимодействие жидкости и структуры (граница / интерфейс) анализ
• Метод декомпозиции области дополнения Шура

Рекомендации

• Лебедев, V. I .; Агошков, В. И. Оператор Пуанкаре-Стеклова и их приложения в анализе. [Операторы Пуанкаре-Стеклова и их приложения в анализе] Академик. Наук СССР, Выч. Мет. Центр, Москва, 1983. 184 с. МИСТЕР827980
• Василевский, П.С. Операторы Пуанкаре – Стеклова для эллиптических разностных задач. C. R. Acad. Bulgare Sci. 38 (1985), нет. 5, 543–546. МИСТЕР799809

1. А. Боссавит, «Скалярный» оператор Пуанкаре – Стеклова и «векторный» оператор: алгебраические структуры, лежащие в основе их двойственности. В Четвертый международный симпозиум по методам декомпозиции областей для уравнений с частными производными (Москва, 1990), стр. 19–26. СИАМ, Филадельфия, штат Пенсильвания, 1991.
2. Альфио Квартерони и Альберто Валли, Методы декомпозиции областей для уравнений с частными производными, Oxford Science Publications, 1999 г.
3. Асад А. Обераи, Маниш Малхотра и Питер М. Пинский, О реализации условия излучения Дирихле-Неймана для итеративного решения уравнения Гельмгольца. Appl. Нумер. Матем., 27 (4): 443–464, 1998.
4. Л. Ф. Ноккарт, О комплексной симметрии оператора Дирихле-Неймана, Progress in Electromagnetics Research B, Vol. 7, 145–157, 2008. Дои:10.2528 / PIERB08022102