Домен (математический анализ) - Domain (mathematical analysis)

В математический анализ, а домен есть ли связаны открытое подмножество из конечномерный векторное пространство. Это другая концепция, чем область функции, хотя он часто используется для этой цели, например в уравнения в частных производных и Соболевские пространства.

Различные степени гладкости границы области требуются для выполнения различных свойств функций, определенных в области, таких как интегральные теоремы (Теорема Грина, Теорема Стокса ), свойства Соболевские пространства, и определить меры на границе и пространствах следы (обобщенные функции, определенные на границе). Обычно рассматриваемые типы доменов - это домены с непрерывный граница Граница Липшица, C1 граница и т. д.

А ограниченная область это домен, который является ограниченное множество, а внешний вид или же внешний домен это интерьер из дополнять ограниченной области.

В комплексный анализ, а сложный домен (или просто домен) - любое связное открытое подмножество комплексная плоскость ℂ. Например, вся комплексная плоскость является областью, как и открытая единичный диск, Открыто верхняя полуплоскость, и так далее. Часто сложный домен служит область определения для голоморфная функция. При изучении несколько сложных переменных, определение области расширяется, чтобы включить любое связное открытое подмножество ℂп.

Исторические заметки

Определение. Eine offene Punktmenge heißt zusammenhängend, wenn man sie nicht als Summe von zwei offenen Punktmengen darstellen kann. Eine offene zusammenhängende Punktmenge heißt ein Gebiet.[1]

— Константин Каратеодори, (Каратеодори 1918, п. 222)

В соответствии с Ганс Хан,[2] понятие области как открытого связного множества было введено Константин Каратеодори в своей знаменитой книге (Каратеодори 1918 ). Хан также отмечает, что слово "Гебиет" ("Домен") иногда ранее использовался как синоним из открытый набор.[3]

Однако термин «домен» иногда использовался для обозначения тесно связанных, но немного разных понятий. Например, в его влиятельном монографии на эллиптические уравнения в частных производных, Карло Миранда использует термин "регион" для обозначения открытого подключенного набора,[4][5] и резервирует термин "домен" для обозначения внутренне подключенных,[6] идеальный набор, каждая точка которого является точкой накопления внутренних точек,[4] вслед за своим бывшим хозяином Мауро Пиконе:[7] согласно этому соглашению, если набор А это регион, то его закрытие А это домен.[4]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Английский: «Открытое связное множество связано, если оно не может быть выражено как сумма двух открытых множеств. Открытое связное множество называется областью»: в этом определении Каратеодори явно считает не пустой непересекающийся наборы.
  2. ^ Видеть (Хан 1921, п. 85 сноска 1).
  3. ^ Хан (1921 г., п. 61 сноска 3), комментируя только что данное определение открытого множества ("offene Menge"), точно заявляет: - "Vorher war, für diese Punktmengen die Bezeichnung "Gebiet" в Gebrauch, die wir (§ 5, S. 85) anders verwenden werden."(Вольный английский перевод: -"Раньше термин «Gebiet» иногда использовался для таких наборов точек, и он будет использоваться нами в (§ 5, с. 85) в другом значении."
  4. ^ а б c См. (Миранда1955, п. 1, 1970, п. 2).
  5. ^ Именно в первом издании его монографии Миранда (1955), п. 1) использует итальянский термин "Кампо", что буквально означает" поле ", аналогично его значение в сельском хозяйстве: во втором издании книги Зейн К. Моттелер правильно переводит этот термин как «регион».
  6. ^ Внутренне связанный набор - это набор, внутренняя часть которого связана.
  7. ^ Видеть (Пиконе 1922, п. 66).

Рекомендации