Область функции - Domain of a function

Функция ж от Икс к Y. Красный овал Икс это область ж.

График действительных значений квадратный корень функция ж(Икс) = √Икс, домен которого состоит из всех неотрицательных действительных чисел

В математика, то домен или набор отправления из функция это набор в которое все входные данные функции должны попадать.^[1] Это набор Икс в обозначениях ж: Икс → Y, альтернативно обозначается как ${\displaystyle \operatorname {dom} (f)}$.^[2] Поскольку функция определена на всей своей области определения, ее область определения совпадает с ее областью определения. область определения.^[3] Однако это совпадение уже неверно для частичная функция, так как область определения частичной функции может быть правильное подмножество домена.

Домен - это часть функции ж если ж определяется как тройка (Икс, Y, г), где Икс называется домен из ж, Y его codomain, и г его график.^[4]

Домен не является частью функции ж если ж определяется как просто граф.^[5][6] Например, иногда удобно в теория множеств чтобы разрешить домен функции быть правильный класс Икс, в этом случае формально не существует тройного (Икс, Y, г). С таким определением у функций нет домена, хотя некоторые авторы все еще используют его неформально после введения функции в форме ж: Икс → Y.^[7]

Например, домен косинус это набор всех действительные числа, а область квадратный корень состоит только из чисел больше или равных 0 (без учета сложные числа в обоих случаях).

Если область определения функции представляет собой подмножество действительных чисел и функция представлена ​​в виде Декартова система координат, то домен представлен на Икс-ось.

Примеры

Четко определенная функция должна отображать каждый элемент своего домена на элемент своего кодомена. Например, функция ${\displaystyle f}$ определяется

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$

не имеет значения для ${\displaystyle f(0)}$. Таким образом, набор всех действительные числа, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, не может быть его доменом. В таких случаях функция определяется на ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$, или «пробел заполнен» путем определения ${\displaystyle f(0)}$ явно. Например. если расширить определение ${\displaystyle f}$ к кусочно функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}}}$

тогда ${\displaystyle f}$ определен для всех действительных чисел, а его область определения ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Любая функция может быть ограничена подмножеством своего домена. В ограничение из ${\displaystyle g\colon A\to B}$ к ${\displaystyle S}$, где ${\displaystyle S\subseteq A}$, записывается как ${\displaystyle \left.g\right|_{S}\colon S\to B}$.

Естественный домен

В естественное владение функции (иногда сокращенной до домена) - это максимальный набор значений, для которых функция определена,^[8] обычно в вещественных числах, но иногда и в целых или комплексных числах. Например, естественная область квадратного корня - неотрицательные действительные числа, если рассматривать их как функцию действительного числа. При рассмотрении естественной области множество возможных значений функции обычно называют ее ассортимент.^[9][8]

Теория категорий

Теория категорий имеет дело с морфизмы вместо функций. Морфизмы - это стрелки от одного объекта к другому. Область любого морфизма - это объект, с которого начинается стрелка. В этом контексте следует отказаться от многих теоретико-множественных идей о предметных областях - или, по крайней мере, сформулировать их более абстрактно. Например, понятие ограничения морфизма подмножеством его домена должно быть изменено. Подробнее см. подобъект.

Другое использование

Основная статья: Домен (математический анализ)

Слово «область» используется с другими связанными значениями в некоторых областях математики. В топология, домен - это связанный открытый набор.^[10] В настоящий и комплексный анализ, домен - это открыто связанный подмножество настоящий или сложный векторное пространство. При изучении уравнения в частных производных, домен - это открытое связное подмножество Евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ где поставлена ​​проблема (т. е. где определены неизвестные функции).

Более общие примеры

Как частичная функция от действительных чисел к действительным числам функция ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$ есть домен ${\displaystyle x\geq 0}$. Однако, если определить квадратный корень отрицательного числа Икс как комплексное число z с положительным мнимая часть такой, что z² = Икс, то функция ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$ имеет целую реальную строку в качестве домена (но теперь с большим codomain). тригонометрическая функция ${\displaystyle \tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}}$ - это набор всех (действительных или комплексных) чисел, которые не имеют формы ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$.

Смотрите также

• Домен атрибута
• Биекция, инъекция и сюръекция
• Codomain
• Декомпозиция домена
• Действующий домен
• Изображение (математика)
• Липшицевский домен
• Наивная теория множеств
• Поддержка (математика)

Заметки

1. Кодд, Эдгар Франк (июнь 1970). «Реляционная модель данных для больших общих банков данных» (PDF). Коммуникации ACM. 13 (6): 377–387. Дои:10.1145/362384.362685. Получено 2020-04-29.
2. «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-28.
3. Пейли, Хирам; Вайксель, Пол М. (1966). Первый курс абстрактной алгебры. Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. п.16.
4. Бурбаки 1970 г., п. 76
5. Бурбаки 1970 г., п. 77
6. Форстер 2003 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFForster2003 (Помогите), стр. 10–11
7. Экклс 1997 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEccles1997 (Помогите), п. 91 (цитата 1, цитата 2 ); Мак-лейн 1998 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMac_Lane1998 (Помогите), п. 8; Мак-Лейн, в Скотт и Джеч 1967 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFScottJech1967 (Помогите), п. 232; Шарма 2004 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFSharma2004 (Помогите), п. 91; Стюарт и Толл 1977 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFStewartTall1977 (Помогите), п. 89
8. Борн, Мюррей. «Область и диапазон функции». www.intmath.com. Получено 2020-08-28.
9. Розенбаум, Роберт А .; Джонсон, Дж. Филип (1984). Исчисление: основные концепции и приложения. Издательство Кембриджского университета. п.60. ISBN  0-521-25012-9.
10. Вайсштейн, Эрик В. "Домен". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-28.

использованная литература

• Бурбаки, Николас (1970). Теория ансамблей. Éléments de mathématique. Springer. ISBN  9783540340348.