Реальный анализ - Real analysis

Первые четыре частичные суммы Ряд Фурье для прямоугольная волна. Ряды Фурье - важный инструмент реального анализа.

В математика, реальный анализ это филиал математический анализ который изучает поведение действительные числа, последовательности и серии действительных чисел и реальные функции.^[1] Некоторые особые свойства последовательностей и функций с действительными значениями, которые реальный анализ включает конвергенция, пределы, непрерывность, гладкость, дифференцируемость и интегрируемость.

Настоящий анализ отличается от комплексный анализ, который занимается изучением сложные числа и их функции.

Объем

Построение действительных чисел

Основная статья: Построение действительных чисел

Теоремы реального анализа тесно связаны со структурой вещественной числовой прямой. Система действительных чисел состоит из бесчисленное множество (${displaystyle mathbb {R} }$) вместе с двумя бинарные операции обозначенный + и ⋅, и порядок обозначенный <. Операции превращают действительные числа в поле, и вместе с заказом упорядоченное поле. Система действительных чисел - это единственная полный упорядоченное поле, в том смысле, что любое другое полное упорядоченное поле изоморфный к нему. Интуитивно полнота означает, что в реальных числах нет «пробелов». В частности, это свойство отличает действительные числа от других упорядоченных полей (например, рациональных чисел ${displaystyle mathbb {Q} }$) и имеет решающее значение для доказательства нескольких ключевых свойств функций действительных чисел. Полноту действительных чисел часто удобно выражать как свойство наименьшей верхней границы (Смотри ниже).

Есть несколько способов формализовать определение действительные числа. Современные подходы состоят в предоставлении списка аксиомы, и доказательство существования модель для них, который имеет указанные выше свойства. Более того, можно показать, что любые две модели изоморфный, что означает, что все модели имеют одни и те же свойства, и что можно забыть, как модель построена для использования действительных чисел.

Свойства порядка действительных чисел

Реальные числа имеют разные теоретико-решеточный свойства, отсутствующие в комплексных числах. Кроме того, действительные числа образуют упорядоченное поле, в котором суммы и произведения положительных чисел также положительны. Более того, действительные числа упорядочены так: общий, а действительные числа имеют свойство наименьшей верхней границы:

Каждое непустое подмножество ${displaystyle mathbb {R} }$ имеющий верхнюю границу, имеет наименьшая верхняя граница это тоже реальное число.

Эти теоретико-порядковый свойства приводят к ряду фундаментальных результатов в реальном анализе, таких как теорема о монотонной сходимости, то теорема о промежуточном значении и теорема о среднем значении.

Однако, хотя результаты реального анализа указаны для действительных чисел, многие из этих результатов могут быть обобщены на другие математические объекты. В частности, многие идеи в функциональный анализ и теория операторов обобщать свойства действительных чисел - такие обобщения включают теории Пространства Рисса и положительные операторы. Также математики считают настоящий и мнимые части сложных последовательностей, или точечная оценка из оператор последовательности.

Топологические свойства действительных чисел

Многие из теорем реального анализа являются следствиями топологических свойств вещественной числовой прямой. Описанные выше свойства порядка действительных чисел тесно связаны с этими топологическими свойствами. Как топологическое пространство, действительные числа имеют стандартная топология, какой топология заказа вызванный приказом ${displaystyle <}$. В качестве альтернативы, определив метрика или же функция расстояния ${displaystyle d:mathbb {R} imes mathbb {R} o mathbb {R} _{geq 0}}$ с использованием абсолютная величина функционировать как ${displaystyle d(x,y)=|x-y|}$, действительные числа становятся прототипом метрическое пространство. Топология, индуцированная метрикой ${displaystyle d}$ оказывается идентичной стандартной топологии, индуцированной порядком ${displaystyle <}$. Теоремы вроде теорема о промежуточном значении которые по существу являются топологическими по своей природе, часто могут быть доказаны в более общем контексте метрических или топологических пространств, а не в ${displaystyle mathbb {R} }$ Только. Часто такие доказательства имеют тенденцию быть короче или проще по сравнению с классическими доказательствами, использующими прямые методы.

Последовательности

Основная статья: Последовательность

А последовательность это функция чей домен это счетный, полностью заказанный набор. Домен обычно считается натуральные числа,^[2] хотя иногда удобно также рассматривать двунаправленные последовательности, индексированные набором всех целых чисел, включая отрицательные индексы.

Интересный для реального анализа, последовательность с действительным знаком, здесь проиндексировано натуральными числами, это карта ${displaystyle a:mathbb {N} o mathbb {R} , nmapsto a_{n}}$. Каждый ${displaystyle a(n)=a_{n}}$ называется срок (или, реже, элемент) последовательности. Последовательность редко обозначается явно как функция; вместо этого, по соглашению, он почти всегда обозначается, как если бы это был упорядоченный ∞-кортеж, с отдельными терминами или общим термином, заключенным в круглые скобки:

${displaystyle (a_{n})=(a_{n})_{nin mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},cdots )}$.^[3]

Последовательность, которая стремится к предел (т.е. ${ extstyle lim _{n o infty }a_{n}}$ существует) называется сходящийся; в противном случае это расходящийся. (См. Подробности в разделе о пределах и сходимости.) Действительная последовательность ${displaystyle (a_{n})}$ является ограниченный если существует ${displaystyle Min mathbb {R} }$ такой, что ${displaystyle |a_{n}|<M}$ для всех ${displaystyle nin mathbb {N} }$. Последовательность с действительным знаком ${displaystyle (a_{n})}$ является монотонно возрастающий или же уменьшение если

${displaystyle a_{1}leq a_{2}leq a_{3}leq ldots }$ или же ${displaystyle a_{1}geq a_{2}geq a_{3}geq ldots }$

выполняется соответственно. Если выполняется одно из двух, последовательность называется монотонный. Монотонность строгий если цепные неравенства все еще сохраняются с ${displaystyle leq }$ или же ${displaystyle geq }$ заменяется на <или>.

Учитывая последовательность ${displaystyle (a_{n})}$, другая последовательность ${displaystyle (b_{k})}$ это подпоследовательность из ${displaystyle (a_{n})}$ если ${displaystyle b_{k}=a_{n_{k}}}$ для всех положительных целых чисел ${displaystyle k}$ и ${displaystyle (n_{k})}$ представляет собой строго возрастающую последовательность натуральных чисел.

Пределы и конвергенция

Основная статья: Предел (математика)

Грубо говоря, предел это значение, которое функция или последовательность "приближается", когда вход или индекс приближается к некоторому значению.^[4] (Это значение может включать символы ${displaystyle pm infty }$ при рассмотрении поведения функции или последовательности при неограниченном увеличении или уменьшении переменной.) Идея ограничения является фундаментальной для исчисление (и математический анализ в общем), а его формальное определение, в свою очередь, используется для определения таких понятий, как непрерывность, производные, и интегралы. (Фактически, изучение предельного поведения использовалось как характеристика, которая отличает исчисление и математический анализ от других разделов математики.)

Понятие предела было неформально введено для функций Ньютон и Лейбниц, в конце 17 века, для строительства исчисление бесконечно малых. Для последовательностей понятие было введено Коши, и тщательно продуманный, в конце XIX века Больцано и Weierstrass, давшего современное определение ε-δ, что следует.

Определение. Позволять ${displaystyle f}$ - вещественная функция, определенная на ${displaystyle Esubset mathbb {R} }$. Мы говорим что ${displaystyle f(x)}$ как правило ${displaystyle L}$ в качестве ${displaystyle x}$ подходы ${displaystyle x_{0}}$, или это предел ${displaystyle f(x)}$ в качестве ${displaystyle x}$ подходы ${displaystyle x_{0}}$ является ${displaystyle L}$ если для любого ${displaystyle epsilon >0}$, Существует ${displaystyle delta >0}$ такой, что для всех ${displaystyle xin E}$, ${displaystyle 0<|x-x_{0}|<delta }$ подразумевает, что ${displaystyle |f(x)-L|<epsilon }$. Мы запишем это символически как

${displaystyle f(x) o L { ext{as}} x o x_{0}}$, или же ${displaystyle lim _{x o x_{0}}f(x)=L}$.

Интуитивно это определение можно представить следующим образом: мы говорим, что ${displaystyle f(x) o L}$ в качестве ${displaystyle x o x_{0}}$, когда для любого положительного числа ${displaystyle epsilon }$, независимо от размера, мы всегда можем найти ${displaystyle delta }$, так что мы можем гарантировать, что ${displaystyle f(x)}$ и ${displaystyle L}$ меньше чем ${displaystyle epsilon }$ отдельно, пока ${displaystyle x}$ (в области ${displaystyle f}$) - действительное число, меньшее, чем ${displaystyle delta }$ далеко от ${displaystyle x_{0}}$ но отличается от ${displaystyle x_{0}}$. Цель последней оговорки, которая соответствует условию ${displaystyle 0<|x-x_{0}|}$ в определении, чтобы гарантировать, что ${displaystyle lim _{x o x_{0}}f(x)=L}$ ничего не говорит о ценности ${displaystyle f(x_{0})}$ сам. Фактически, ${displaystyle x_{0}}$ даже не обязательно быть в домене ${displaystyle f}$ Для того чтобы ${displaystyle lim _{x o x_{0}}f(x)}$ существовать.

В немного другом, но связанном контексте концепция предела применяется к поведению последовательности. ${displaystyle (a_{n})}$ когда ${displaystyle n}$ становится большим.

Определение. Позволять ${displaystyle (a_{n})}$ - последовательность с действительными значениями. Мы говорим что ${displaystyle (a_{n})}$ сходится к ${displaystyle a}$ если для любого ${displaystyle epsilon >0}$, существует натуральное число ${displaystyle N}$ такой, что ${displaystyle ngeq N}$ подразумевает, что ${displaystyle |a-a_{n}|<epsilon }$. Запишем это символически как

${displaystyle a_{n} o a { ext{as}} n o infty }$, или же ${displaystyle lim _{n o infty }a_{n}=a}$;

если ${displaystyle (a_{n})}$ не сходится, мы говорим, что ${displaystyle (a_{n})}$ расходится.

Обобщая до действительной функции действительной переменной, небольшая модификация этого определения (замена последовательности ${displaystyle (a_{n})}$ и срок ${displaystyle a_{n}}$ по функции ${displaystyle f}$ и ценность ${displaystyle f(x)}$ и натуральные числа ${displaystyle N}$ и ${displaystyle n}$ реальными числами ${displaystyle M}$ и ${displaystyle x}$соответственно) дает определение предел ${displaystyle f(x)}$ в качестве ${displaystyle x}$ неограниченно увеличивается, отмеченный ${displaystyle lim _{x o infty }f(x)}$. Преодоление неравенства ${displaystyle xgeq M}$ к ${displaystyle xleq M}$ дает соответствующее определение предела ${displaystyle f(x)}$ в качестве ${displaystyle x}$ уменьшается без ограничений, ${displaystyle lim _{x o -infty }f(x)}$.

Иногда полезно сделать вывод, что последовательность сходится, даже если значение, к которому она сходится, неизвестно или не имеет значения. В этих случаях полезна концепция последовательности Коши.

Определение. Позволять ${displaystyle (a_{n})}$ - последовательность с действительными значениями. Мы говорим что ${displaystyle (a_{n})}$ это Последовательность Коши если для любого ${displaystyle epsilon >0}$, существует натуральное число ${displaystyle N}$ такой, что ${displaystyle m,ngeq N}$ подразумевает, что ${displaystyle |a_{m}-a_{n}|<epsilon }$.

Можно показать, что последовательность с действительными значениями является Коши тогда и только тогда, когда она сходится. Это свойство действительных чисел выражается в том, что действительные числа наделены стандартной метрикой, ${displaystyle (mathbb {R} ,|cdot |)}$, это полное метрическое пространство. Однако в общем метрическом пространстве последовательность Коши может не сходиться.

Кроме того, для монотонных последовательностей с действительными значениями можно показать, что последовательность ограничена тогда и только тогда, когда она сходится.

Равномерная и поточечная сходимость последовательностей функций

Основная статья: Равномерная сходимость

Помимо последовательностей чисел можно говорить о последовательность функций на ${displaystyle Esubset mathbb {R} }$, то есть бесконечные упорядоченные семейства функций ${displaystyle f_{n}:E o mathbb {R} }$, обозначенный ${displaystyle (f_{n})_{n=1}^{infty }}$, и их свойства сходимости. Однако в случае последовательностей функций существует два вида сходимости, известные как поточечная сходимость и равномерное схождение, которые нужно различать.

Грубо говоря, поточечная сходимость функций ${displaystyle f_{n}}$ к предельной функции ${displaystyle f:E o mathbb {R} }$, обозначенный ${displaystyle f_{n}ightarrow f}$, просто означает, что при любом ${displaystyle xin E}$, ${displaystyle f_{n}(x) o f(x)}$ в качестве ${displaystyle n o infty }$. Напротив, равномерная сходимость является более сильным типом сходимости в том смысле, что равномерно сходящаяся последовательность функций также сходится поточечно, но не наоборот. Равномерная сходимость требует членов семейства функций, ${displaystyle f_{n}}$, чтобы попасть в какую-то ошибку ${displaystyle epsilon >0}$ из ${displaystyle f}$ за каждое значение ${displaystyle xin E}$, в любое время ${displaystyle ngeq N}$, для некоторого целого числа ${displaystyle N}$. Чтобы семейство функций сходилось равномерно, иногда обозначается ${displaystyle f_{n}ightrightarrows f}$, такое значение ${displaystyle N}$ должен существовать для любого ${displaystyle epsilon >0}$ дано, каким бы маленьким оно ни было. Интуитивно мы можем визуализировать эту ситуацию, представив, что для достаточно большого ${displaystyle N}$, функции ${displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},ldots }$ все заключены в «трубу» шириной ${displaystyle 2epsilon }$ о ${displaystyle f}$ (то есть между ${displaystyle f-epsilon }$ и ${displaystyle f+epsilon }$) для каждого значения в своей области ${displaystyle E}$.

Различие между поточечной и равномерной сходимостью важно, когда желательно изменить порядок двух ограничивающих операций (например, взятие предела, производной или интеграла): для того, чтобы обмен был правильным, многие теоремы реального анализа требуют для равномерного схождения. Например, последовательность непрерывных функций (см. ниже ) гарантированно сходится к непрерывной предельной функции, если сходимость равномерная, а предельная функция может не быть непрерывной, если сходимость только поточечная. Карл Вейерштрасс обычно приписывают четкое определение концепции единой конвергенции и полное исследование ее последствий.

Компактность

Основная статья: Компактность

Компактность - это концепция от общая топология это играет важную роль во многих теоремах реального анализа. Свойство компактности является обобщением понятия множества закрыто и ограниченный. (В контексте реального анализа эти понятия эквивалентны: множество в евклидовом пространстве компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.) Вкратце, a закрытый набор содержит все его граничные точки, а набор ограниченный если существует такое действительное число, что расстояние между любыми двумя точками набора меньше этого числа. В ${displaystyle mathbb {R} }$, множества, которые являются замкнутыми и ограниченными и, следовательно, компактными, включают пустое множество, любое конечное число точек, закрытые интервалы, и их конечные объединения. Однако этот список не является исчерпывающим; например, набор ${displaystyle {1/n:nin mathbb {N} }cup {0}}$ компакт; то Троичный набор Кантора ${displaystyle {mathcal {C}}subset [0,1]}$ еще один пример компакта. С другой стороны, набор ${displaystyle {1/n:nin mathbb {N} }}$ не компактен, потому что он ограничен, но не замкнут, поскольку граничная точка 0 не является членом множества. Набор ${displaystyle [0,infty )}$ также некомпактен, потому что он замкнут, но не ограничен.

Для подмножеств действительных чисел существует несколько эквивалентных определений компактности.

Определение. Множество ${displaystyle Esubset mathbb {R} }$ компактно, если оно замкнуто и ограничено.

Это определение также верно для евклидова пространства любой конечной размерности, ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, но это не верно для метрических пространств в целом. Эквивалентность определения с определением компактности на основе подпокрытий, приведенным далее в этом разделе, известна как Теорема Гейне-Бореля.

Более общее определение, которое применяется ко всем метрическим пространствам, использует понятие подпоследовательности (см. Выше).

Определение. Множество ${displaystyle E}$ в метрическом пространстве компактно, если каждая последовательность в ${displaystyle E}$ имеет сходящуюся подпоследовательность.

Это конкретное свойство известно как подпоследовательная компактность. В ${displaystyle mathbb {R} }$, множество субпоследовательно компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено, что делает это определение эквивалентным приведенному выше. Субсеквенциальная компактность эквивалентна определению компактности на основе подпокрытий для метрических пространств, но не для топологических пространств в целом.

Наиболее общее определение компактности опирается на понятие открытые крышки и подкрывает, что применимо к топологическим пространствам (и, следовательно, к метрическим пространствам и ${displaystyle mathbb {R} }$ как особые случаи). Вкратце, сборник открытых наборов ${displaystyle U_{alpha }}$ считается открытая крышка набора ${displaystyle X}$ если объединение этих множеств является надмножеством ${displaystyle X}$. Говорят, что эта открытая крышка имеет конечное дополнительное покрытие если конечный набор ${displaystyle U_{alpha }}$ можно найти, что также охватывает ${displaystyle X}$.

Определение. Множество ${displaystyle X}$ в топологическом пространстве компактно, если каждое открытое покрытие ${displaystyle X}$ имеет конечное подпокрытие.

Компактные наборы хорошо себя ведут в отношении таких свойств, как сходимость и непрерывность. Например, любая последовательность Коши в компактном метрическом пространстве сходится. Другой пример: образ компактного метрического пространства при непрерывном отображении также компактен.

Непрерывность

Основная статья: Непрерывная функция

А функция из набора действительные числа к действительным числам могут быть представлены график в Декартова плоскость; такая функция является непрерывной, если, грубо говоря, график представляет собой единичный неразрывный изгиб без «дыр» и «прыжков».

Есть несколько способов сделать эту интуицию математически точной. Можно дать несколько определений разной степени общности. В случаях, когда применимы два или более определений, легко показать, что они эквивалент друг с другом, поэтому можно использовать наиболее удобное определение, чтобы определить, является ли данная функция непрерывной или нет. В первом определении, данном ниже, ${displaystyle f:I o mathbb {R} }$ - функция, определенная на невырожденном интервале ${displaystyle I}$ набора действительных чисел в качестве его домена. Некоторые возможности включают ${displaystyle I=mathbb {R} }$, весь набор действительных чисел, открытый интервал ${displaystyle I=(a,b)={xin mathbb {R} ,|,a<x<b},}$ или закрытый интервал ${displaystyle I=[a,b]={xin mathbb {R} ,|,aleq xleq b}.}$ Здесь, ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ - различные действительные числа, и мы исключаем случай ${displaystyle I}$ в частности, быть пустым или состоящим только из одной точки.

Определение. Если ${displaystyle Isubset mathbb {R} }$ - невырожденный интервал, мы говорим, что ${displaystyle f:I o mathbb {R} }$ является непрерывно в ${displaystyle pin I}$ если ${displaystyle lim _{x o p}f(x)=f(p)}$. Мы говорим что ${displaystyle f}$ это непрерывная карта если ${displaystyle f}$ непрерывна на каждом ${displaystyle pin I}$.

В отличие от требований к ${displaystyle f}$ иметь предел в точке ${displaystyle p}$, которые не ограничивают поведение ${displaystyle f}$ в ${displaystyle p}$ Само собой, следующие два условия, помимо существования ${ extstyle lim _{x o p}f(x)}$, должен также держаться, чтобы ${displaystyle f}$ быть непрерывным в ${displaystyle p}$: (я) ${displaystyle f}$ должно быть определено в ${displaystyle p}$, т.е. ${displaystyle p}$ находится в сфере ${displaystyle f}$; и (ii) ${displaystyle f(x) o f(p)}$ в качестве ${displaystyle x o p}$. Приведенное выше определение действительно применимо к любому домену. ${displaystyle E}$ который не содержит изолированная точка, или эквивалентно, ${displaystyle E}$ где каждый ${displaystyle pin E}$ это предельная точка из ${displaystyle E}$. Более общее определение, применимое к ${displaystyle f:X o mathbb {R} }$ с общим доменом ${displaystyle Xsubset mathbb {R} }$ следующее:

Определение. Если ${displaystyle X}$ произвольное подмножество ${displaystyle mathbb {R} }$мы говорим, что ${displaystyle f:X o mathbb {R} }$ является непрерывно в ${displaystyle pin X}$ если для любого ${displaystyle epsilon >0}$, Существует ${displaystyle delta >0}$ такой, что для всех ${displaystyle xin X}$, ${displaystyle |x-p|<delta }$ подразумевает, что ${displaystyle |f(x)-f(p)|<epsilon }$. Мы говорим что ${displaystyle f}$ это непрерывная карта если ${displaystyle f}$ непрерывна на каждом ${displaystyle pin X}$.

Следствием этого определения является то, что ${displaystyle f}$ является тривиально непрерывна в любой изолированной точке ${displaystyle pin X}$. Этот несколько неинтуитивный подход к изолированным точкам необходим для обеспечения того, чтобы наше определение непрерывности функций на действительной прямой согласовывалось с наиболее общим определением непрерывности для отображений между топологические пространства (который включает метрические пространства и ${displaystyle mathbb {R} }$ в частности как особые случаи). Это определение, выходящее за рамки нашего обсуждения реального анализа, приводится ниже для полноты картины.

Определение. Если ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$ топологические пространства, мы говорим, что ${displaystyle f:X o Y}$ является непрерывно в ${displaystyle pin X}$ если ${displaystyle f^{-1}(V)}$ это район из ${displaystyle p}$ в ${displaystyle X}$ для каждого района ${displaystyle V}$ из ${displaystyle f(p)}$ в ${displaystyle Y}$. Мы говорим что ${displaystyle f}$ это непрерывная карта если ${displaystyle f^{-1}(U)}$ открыт в ${displaystyle X}$ для каждого ${displaystyle U}$ открыть в ${displaystyle Y}$.

(Здесь, ${displaystyle f^{-1}(S)}$ относится к прообраз из ${displaystyle Ssubset Y}$ под ${displaystyle f}$.)

Единая непрерывность

Основная статья: Единая непрерывность

Определение. Если ${displaystyle X}$ является подмножеством действительные числа, мы говорим функцию ${displaystyle f:X o mathbb {R} }$ является равномерно непрерывный на ${displaystyle X}$ если для любого ${displaystyle epsilon >0}$, существует ${displaystyle delta >0}$ такой, что для всех ${displaystyle x,yin X}$, ${displaystyle |x-y|<delta }$ подразумевает, что ${displaystyle |f(x)-f(y)|<epsilon }$.

Явно, когда функция равномерно непрерывна на ${displaystyle X}$, выбор ${displaystyle delta }$ необходимо выполнить определение должно работать для все ${displaystyle X}$ для данного ${displaystyle epsilon }$. Напротив, когда функция непрерывна в каждой точке ${displaystyle pin X}$ (или говорят, что непрерывно на ${displaystyle X}$), выбор ${displaystyle delta }$ может зависеть от обоих ${displaystyle epsilon }$ и ${displaystyle p}$. В отличие от простой непрерывности, равномерная непрерывность - это свойство функции, имеющее смысл только в определенной области; говорить о единой непрерывности в одной точке ${displaystyle p}$ бессмысленно.

На компакте легко показать, что все непрерывные функции равномерно непрерывны. Если ${displaystyle E}$ является ограниченным некомпактным подмножеством ${displaystyle mathbb {R} }$, то существует ${displaystyle f:E o mathbb {R} }$ это непрерывное, но не равномерно непрерывное. В качестве простого примера рассмотрим ${displaystyle f:(0,1) o mathbb {R} }$ определяется ${displaystyle f(x)=1/x}$. Выбирая точки, близкие к 0, мы всегда можем сделать ${displaystyle |f(x)-f(y)|>epsilon }$ для любого единственного выбора ${displaystyle delta >0}$, для данного ${displaystyle epsilon >0}$.

Абсолютная преемственность

Основная статья: Абсолютная преемственность

Определение. Позволять ${displaystyle Isubset mathbb {R} }$ быть интервал на реальная линия. Функция ${displaystyle f:I o mathbb {R} }$ как говорят абсолютно непрерывный на ${displaystyle I}$ если для каждого положительного числа ${displaystyle epsilon }$, есть положительное число ${displaystyle delta }$ такой, что всякий раз, когда конечная последовательность попарно непересекающиеся подинтервалы ${displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),ldots ,(x_{n},y_{n})}$ из ${displaystyle I}$ удовлетворяет^[5]

${displaystyle sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})<delta }$

тогда

${displaystyle displaystyle sum _{k=1}^{n}|f(y_{k})-f(x_{k})|<epsilon .}$

Абсолютно непрерывные функции непрерывны: рассмотрим случай п = 1 в этом определении. Совокупность всех абсолютно непрерывных функций на я обозначается AC (я). Абсолютная непрерывность - это фундаментальное понятие в теории интегрирования Лебега, позволяющее сформулировать обобщенную версию фундаментальной теоремы исчисления, которая применяется к интегралу Лебега.

Дифференциация

Основные статьи: Производная и Дифференциальное исчисление

Понятие о производная функции или дифференцируемость происходит от концепции приближения функции вблизи заданной точки с использованием «наилучшего» линейного приближения. Это приближение, если оно существует, уникально и задается линией, касательной к функции в данной точке ${displaystyle a}$, а наклон прямой - производная функции при ${displaystyle a}$.

Функция ${displaystyle f:mathbb {R} o mathbb {R} }$ является дифференцируемый на ${displaystyle a}$ если предел

${displaystyle f'(a)=lim _{h o 0}{frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

существуют. Этот предел известен как производная от ${displaystyle f}$ в ${displaystyle a}$, а функция ${displaystyle f'}$, возможно, определенное только на подмножестве ${displaystyle mathbb {R} }$, это производная (или же производная функция) из ${displaystyle f}$. Если производная существует всюду, функция называется дифференцируемый.

Как простое следствие определения, ${displaystyle f}$ непрерывно на ${displaystyle a}$ если он там дифференцируемый. Таким образом, дифференцируемость является более сильным условием регулярности (условием, описывающим «гладкость» функции), чем непрерывность, и функция может быть непрерывной на всей действительной прямой, но не дифференцируемой нигде (см. Непрерывная нигде дифференцируемая функция Вейерштрасса ). Можно также обсудить существование производных более высокого порядка, найдя производную функции производной и т. Д.

Классифицировать функции можно по их класс дифференцируемости. Класс ${displaystyle C^{0}}$ (иногда ${displaystyle C^{0}([a,b])}$ для обозначения интервала применимости) состоит из всех непрерывных функций. Класс ${displaystyle C^{1}}$ состоит из всех дифференцируемые функции производная которого непрерывна; такие функции называются непрерывно дифференцируемый. Таким образом, ${displaystyle C^{1}}$ функция - это в точности функция, производная которой существует и имеет класс ${displaystyle C^{0}}$. В общем, классы ${displaystyle C^{k}}$ можно определить рекурсивно объявив ${displaystyle C^{0}}$ быть набором всех непрерывных функций и объявлять ${displaystyle C^{k}}$ для любого положительного целого числа ${displaystyle k}$ быть множеством всех дифференцируемых функций, производная которых находится в ${displaystyle C^{k-1}}$. Особенно, ${displaystyle C^{k}}$ содержится в ${displaystyle C^{k-1}}$ для каждого ${displaystyle k}$, и есть примеры, показывающие, что это сдерживание является строгим. Учебный класс ${displaystyle C^{infty }}$ является пересечением множеств ${displaystyle C^{k}}$ в качестве ${displaystyle k}$ изменяется по неотрицательным целым числам, и члены этого класса известны как гладкие функции. Учебный класс ${displaystyle C^{omega }}$ состоит из всех аналитические функции, и строго содержится в ${displaystyle C^{infty }}$ (видеть функция удара для гладкой неаналитической функции).

Серии

Основная статья: серия (математика)

Ряд формализует неточное представление о суммировании бесконечной последовательности чисел. Идея о том, что суммирование «бесконечного» числа членов может привести к конечному результату, была нелогичной для древних греков и привела к формулировке ряда парадоксов Зеноном и другими философами. Современное понятие присвоения значения ряду избегает иметь дело с неточно определенным понятием добавления «бесконечного» числа терминов. Вместо этого конечная сумма первых ${displaystyle n}$ рассматриваются члены последовательности, известные как частичная сумма, и понятие предела применяется к последовательности частичных сумм как ${displaystyle n}$ растет неограниченно. Серии присваивается значение этого лимита, если он существует.

Учитывая (бесконечное) последовательность ${displaystyle (a_{n})}$, мы можем определить связанный серии как формальный математический объект ${ extstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+cdots =sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$, иногда просто пишется как ${ extstyle sum a_{n}}$. В частичные суммы из серии ${ extstyle sum a_{n}}$ числа ${ extstyle s_{n}=sum _{j=1}^{n}a_{j}}$. Серия ${ extstyle sum a_{n}}$ как говорят сходящийся если последовательность, состоящая из ее частичных сумм, ${displaystyle (s_{n})}$, сходится; в противном случае это расходящийся. В сумма сходящегося ряда определяется как число ${ extstyle s=lim _{n o infty }s_{n}}$.

Слово «сумма» используется здесь в метафорическом смысле как сокращение для определения предела последовательности частичных сумм и не должно интерпретироваться как простое «добавление» бесконечного числа терминов. Например, в отличие от поведения конечных сумм, перестановка членов бесконечного ряда может привести к сходимости к другому числу (см. Статью о Теорема Римана о перестановке для дальнейшего обсуждения).

Примером сходящегося ряда является геометрическая серия который составляет основу одного из знаменитых произведений Зенона. парадоксы:

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{2^{n}}}={frac {1}{2}}+{frac {1}{4}}+{frac {1}{8}}+cdots =1}$.

Напротив, гармонический ряд был известен со времен средневековья как расходящийся ряд:

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n}}=1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+cdots =infty }$.

(Здесь, "${displaystyle =infty }$"- это просто условное обозначение, указывающее, что частичные суммы ряда неограниченно растут.)

Серия ${ extstyle sum a_{n}}$ говорят сходятся абсолютно если ${ extstyle sum |a_{n}|}$ сходится. Сходящийся ряд ${ extstyle sum a_{n}}$ для которого ${ extstyle sum |a_{n}|}$ расходится, как говорят сходятся условно (или же не совсем). Легко показать, что абсолютная сходимость ряда влечет его сходимость. С другой стороны, примером условно сходящегося ряда является

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}-{frac {1}{4}}+cdots =log 2}$.

Серия Тейлор

Основная статья: Серия Тейлор

Серия Тейлора настоящий или же комплексная функция ƒ(Икс) то есть бесконечно дифференцируемый в настоящий или же комплексное число а это степенной ряд

${displaystyle f(a)+{frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+cdots .}$

что можно записать более компактным сигма-обозначение в качестве

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}},(x-a)^{n}}$

куда п! обозначает факториал из п и ƒ ^(п)(а) обозначает пth производная из ƒ оценивается в момент а. Производная нулевого порядка ƒ определяется как ƒ сам и (Икс − а)⁰ и 0! оба определены как 1. В случае, если а = 0, серию еще называют серией Маклорена.

Серия Тейлора ж о точке а могут расходиться, сходиться только в точке а, сходятся для всех Икс такой, что ${displaystyle |x-a|<R}$ (самый крупный такой р для которого гарантирована сходимость, называется радиус схождения), либо сходятся на всей реальной прямой. Даже сходящийся ряд Тейлора может сходиться к значению, отличному от значения функции в этой точке. Если ряд Тейлора в точке имеет ненулевой радиус схождения, и суммирует функцию в диск схождения, то функция аналитический. Аналитические функции обладают многими фундаментальными свойствами. В частности, аналитическая функция действительной переменной естественным образом продолжается до функции комплексной переменной. Именно так экспоненциальная функция, то логарифм, то тригонометрические функции и их обратное распространяются на функции комплексной переменной.

Ряд Фурье

Основная статья: Ряд Фурье

Ряд Фурье разлагается периодические функции или периодических сигналов в сумму (возможно, бесконечного) набора простых колебательных функций, а именно синусы и косинусы (или же комплексные экспоненты ). Изучение рядов Фурье обычно происходит и проводится в рамках ветви математика > математический анализ > Анализ Фурье.

Интеграция

Интегрирование - это формализация проблемы определения площади, ограниченной кривой, и связанных с ней проблем определения длины кривой или объема, заключенного в поверхность. Основная стратегия решения проблем этого типа была известна древним грекам и китайцам и называлась метод истощения. Вообще говоря, желаемая площадь ограничена сверху и снизу, соответственно, посредством более точного описания и вписывания многоугольных приближений, точные площади которых могут быть вычислены. Рассматривая приближения, состоящие из все большего и большего («бесконечного») числа меньших и меньших («бесконечно малых») частей, можно вывести площадь, ограниченную кривой, поскольку верхняя и нижняя границы, определяемые приближениями, сходятся вокруг общего ценить.

Дух этой базовой стратегии можно легко увидеть в определении интеграла Римана, в котором интеграл считается существующим, если верхняя и нижняя суммы Римана (или Дарбу) сходятся к общему значению в виде более тонких и более тонких прямоугольных срезов («уточнения ") считаются. Хотя механизм, используемый для его определения, намного более сложен по сравнению с интегралом Римана, интеграл Лебега был определен с учетом аналогичных основных идей. По сравнению с интегралом Римана более сложный интеграл Лебега позволяет определять и вычислять площадь (или длину, объем и т. Д .; в общем, называемую «мерой») для гораздо более сложных и нерегулярных подмножеств евклидова пространства, хотя все еще существуют «неизмеримые» подмножества, для которых нельзя назначить площадь.

Интеграция Римана

Основная статья: Интеграл Римана

Интеграл Римана определяется в терминах Суммы Римана функций относительно тегированных разделов интервала. Позволять ${displaystyle [a,b]}$ быть закрытый интервал реальной линии; затем раздел с тегами ${displaystyle {cal {P}}}$ из ${displaystyle [a,b]}$ конечная последовательность

${displaystyle a=x_{0}leq t_{1}leq x_{1}leq t_{2}leq x_{2}leq cdots leq x_{n-1}leq t_{n}leq x_{n}=b.,!}$

Это разбивает интервал ${displaystyle [a,b]}$ в ${displaystyle n}$ подинтервалы ${displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ проиндексировано ${displaystyle i=1,ldots ,n}$, каждый из которых помечен отличительной точкой ${displaystyle t_{i}in [x_{i-1},x_{i}]}$. Для функции ${displaystyle f}$ ограничен ${displaystyle [a,b]}$, мы определяем Сумма Римана из ${displaystyle f}$ относительно помеченного раздела ${displaystyle {cal {P}}}$ в качестве

${displaystyle sum _{i=1}^{n}f(t_{i})Delta _{i},}$

куда ${displaystyle Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ ширина подинтервала ${displaystyle i}$. Таким образом, каждый член суммы представляет собой площадь прямоугольника, высота которого равна значению функции в выделенной точке данного подинтервала, а ширина равна ширине подинтервала. В сетка такого помеченного раздела - это ширина самого большого подинтервала, образованного разделом, ${displaystyle ||Delta _{i}||=max _{i=1,ldots ,n}Delta _{i}}$. Мы говорим, что Интеграл Римана из ${displaystyle f}$ на ${displaystyle [a,b]}$ является ${displaystyle S}$ если для любого ${displaystyle epsilon >0}$ Существует ${displaystyle delta >0}$ так что для любого помеченного раздела ${displaystyle {cal {P}}}$ с сеткой ${displaystyle ||Delta _{i}||<delta }$, у нас есть

${displaystyle left|S-sum _{i=1}^{n}f(t_{i})Delta _{i}ight|<epsilon .}$

Иногда это обозначается ${displaystyle {mathcal {R}}int _{a}^{b}f=S}$. Когда выбранные теги дают максимальное (соответственно минимальное) значение каждого интервала, сумма Римана известна как верхняя (соответственно нижняя) Сумма Дарбу. Функция Интегрируемый по Дарбу если верхний и нижний Суммы Дарбу могут быть расположены произвольно близко друг к другу для достаточно маленькой сетки. Хотя это определение придает интегралу Дарбу видимость частного случая интеграла Римана, на самом деле они эквивалентны в том смысле, что функция интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда она интегрируема по Риману, а значения интегралы равны. Фактически, учебники по исчислению и анализу часто объединяют эти два понятия, вводя определение интеграла Дарбу как интеграла Римана из-за того, что определение первого немного проще в применении.

В основная теорема исчисления утверждает, что интегрирование и дифференцирование являются обратными операциями в определенном смысле.

Интеграция Лебега и мера

Основная статья: Интеграл Лебега

Интеграция Лебега математическая конструкция, расширяющая интеграл до более широкого класса функций; это также расширяет домены на котором эти функции могут быть определены. Концепция мера, абстракция длины, площади или объема занимает центральное место в интеграле Лебега. теория вероятности.

Распределения

Основная статья: Распределение (математика)

Распределения (или же обобщенные функции) являются объектами, которые обобщают функции. Распределения позволяют различать функции, производные которых не существуют в классическом смысле. В частности, любые локально интегрируемый функция имеет производную по распределению.

Отношение к комплексному анализу

Настоящий анализ - это область анализ который изучает такие понятия, как последовательности и их пределы, непрерывность, дифференциация, интеграция и последовательности функций. По определению, настоящий анализ фокусируется на действительные числа, часто включая положительные и отрицательные бесконечность сформировать расширенная реальная линия. Настоящий анализ тесно связан с комплексный анализ, который изучает в целом те же свойства сложные числа. В комплексном анализе естественно определить дифференциация через голоморфные функции, которые обладают рядом полезных свойств, таких как повторяемость, выражаемость как степенной ряд, и удовлетворение Интегральная формула Коши.

В реальном анализе обычно более естественно рассматривать дифференцируемый, гладкий, или же гармонические функции, которые более широко применимы, но могут не иметь некоторых более мощных свойств голоморфных функций. Однако такие результаты, как основная теорема алгебры проще, когда они выражаются в виде комплексных чисел.

Техники из теория аналитических функций комплексной переменной часто используются в реальном анализе - например, при вычислении реальных интегралов остаток.

Важные результаты

Важные результаты включают Больцано – Вейерштрасс и Теоремы Гейне – Бореля, то теорема о промежуточном значении и теорема о среднем значении, Теорема Тейлора, то основная теорема исчисления, то Теорема Арзела-Асколи, то Теорема Стоуна-Вейерштрасса, Лемма Фату, а монотонная сходимость и теоремы о доминируемой сходимости.

Обобщения и смежные области математики

Различные идеи из реального анализа могут быть обобщены от реальной линии к более широким или более абстрактным контекстам. Эти обобщения связывают реальный анализ с другими дисциплинами и субдисциплинами. Например, обобщение таких идей, как непрерывные функции и компактность, от реального анализа к метрические пространства и топологические пространства связывает реальный анализ с областью общая топология, а обобщение конечномерных евклидовых пространств на бесконечномерные аналоги привело к понятиям Банаховы пространства и Гильбертовы пространства и, в более общем плане, функциональный анализ. Георг Кантор исследование множеств и последовательности действительных чисел, отображений между ними и фундаментальных проблем реального анализа породило наивная теория множеств. Изучение вопросов конвергенция для последовательностей функций в конечном итоге привели к Анализ Фурье как раздел математического анализа. Исследование последствий обобщающей дифференцируемости функций действительной переменной на функции комплексной переменной привело к появлению концепции голоморфные функции и начало комплексный анализ как еще одна отдельная дисциплина анализа. С другой стороны, обобщение интеграции от римановского к пониманию Лебега привело к формулировке концепции абстрактного измерять пространства, фундаментальная концепция в теория меры. Наконец, обобщение интегрирования от реальной прямой до кривых и поверхностей в пространстве более высоких измерений привело к изучению векторное исчисление, дальнейшее обобщение и формализация которых сыграли важную роль в эволюции представлений о дифференциальные формы и гладкие (дифференцируемые) многообразия в дифференциальная геометрия и другие тесно связанные области геометрия и топология.

Смотрите также

• Список реальных тем анализа
• Расчет шкалы времени - объединение реального анализа с исчислением конечных разностей
• Реальная функция многих переменных
• Реальное координатное пространство
• Комплексный анализ

Рекомендации

1. Тао, Теренс (2003). «Конспект для MATH 131AH» (PDF). Веб-сайт курса MATH 131AH, факультет математики, UCLA.
2. Гоган, Эдвард (2009). «1.1 Последовательности и сходимость». Введение в анализ. AMS (2009). ISBN  978-0-8218-4787-9.
3. Некоторые авторы (например, Рудин 1976) вместо скобок пишут ${displaystyle {a_{n}}}$. Однако это обозначение противоречит обычному обозначению набор, который, в отличие от последовательности, не учитывает порядок и кратность ее элементов.
4. Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансцендентальные теории (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN  978-0-495-01166-8.
5. Ройден 1988, Разд. 5.4, ​​стр. 108 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFRoyden1988 (помощь); Нильсен 1997, Определение 15.6 на странице 251 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFNielsen1997 (помощь); Атрейя и Лахири 2006, Определения 4.4.1, 4.4.2 на страницах 128,129 Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFAthreyaLahiri2006 (помощь). Интервал я в первых двух книгах предполагается ограниченным и замкнутым, но не во второй.

Библиография

• Эбботт, Стивен (2001). Понимание анализа. Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-95060-5.
• Алипрантис, Хараламбос Д.; Буркиншоу, Оуэн (1998). Принципы реального анализа (3-е изд.). Академический. ISBN  0-12-050257-7.
• Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (2011). Введение в реальный анализ (4-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-43331-6.
• Брессуд, Дэвид (2007). Радикальный подход к реальному анализу. MAA. ISBN  978-0-88385-747-2.
• Браудер, Эндрю (1996). Математический анализ: введение. Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-94614-4.
• Карозерс, Нил Л. (2000). Реальный анализ. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521497565.
• Данджелло, Франк; Сейфрид, Майкл (1999). Вводный реальный анализ. Брукс Коул. ISBN  978-0-395-95933-6.
• Колмогоров, А.; Фомин, С.В. (1975). Вводный реальный анализ. Перевод Ричарда А. Сильвермана. Dover Publications. ISBN  0486612260. Получено 2 апреля 2013.
• Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Вальтер Рудин Студенческая серия по высшей математике (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу – Хилл. ISBN  978-0-07-054235-8.
• Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-054234-1.
• Спивак Михаил (1994). Исчисление (3-е изд.). Хьюстон, Техас: Publish or Perish, Inc. ISBN  091409890X.

внешняя ссылка

• Как мы попали отсюда сюда: история настоящего анализа Роберт Роджерс и Юджин Боман
• Первый курс анализа Дональд Яу
• Анализ WebNotes Джон Линдси Орр
• Интерактивный реальный анализ Берт Г. Ваксмут
• Первый курс анализа Джон О'Коннор
• Математический анализ I Элиас Закон
• Математический анализ II Элиас Закон
• Тренч, Уильям Ф. (2003). Введение в реальный анализ (PDF). Prentice Hall. ISBN  978-0-13-045786-8.
• Самые ранние известные способы использования некоторых слов математики: исчисление и анализ
• Базовый анализ: введение в реальный анализ Иржи Лебль
• Темы реального и функционального анализа к Джеральд Тешл, Венский университет.