Построение действительных чисел - Construction of the real numbers

В математика, есть несколько способов определить настоящий номер система как упорядоченное поле. В синтетический подход дает список аксиомы для действительных чисел как полный заказ поле. Согласно обычным аксиомам теория множеств, можно показать, что эти аксиомы категоричны в том смысле, что существует модель для аксиом, и любые две такие модели изоморфный. Любая из этих моделей должна быть построена явно, и большинство из этих моделей построено с использованием основных свойств Рациональное число система как упорядоченное поле.

Синтетический подход

Синтетический подход аксиоматически определяет систему действительных чисел как полное упорядоченное поле. Именно это означает следующее. А модель для действительной системы счисления состоит из набора р, два различных элемента 0 и 1 из р, два бинарные операции + и × на р (называется добавление и умножениесоответственно), а бинарное отношение ≤ на р, удовлетворяющий следующим свойствам.

Аксиомы

1. (р, +, ×) образует поле. Другими словами,
   • Для всех Икс, у, и z в р, Икс + (у + z) = (Икс + у) + z и Икс × (у × z) = (Икс × у) × z. (ассоциативность сложения и умножения)
   • Для всех Икс и у в р, Икс + у = у + Икс и Икс × у = у × Икс. (коммутативность сложения и умножения)
   • Для всех Икс, у, и z в р, Икс × (у + z) = (Икс × у) + (Икс × z). (распределенность умножения над сложением)
   • Для всех Икс в р, Икс + 0 = Икс. (наличие добавки личность )
   • 0 не равно 1, и для всех Икс в р, Икс × 1 = Икс. (наличие мультипликативной идентичности)
   • Для каждого Икс в р, существует элемент -Икс в р, так что Икс + (−Икс) = 0. (наличие аддитивной обратное )
   • Для каждого Икс ≠ 0 дюйм р, существует элемент Икс⁻¹ в р, так что Икс × Икс⁻¹ = 1. (существование мультипликативных обратных)
2. (р, ≤) образует полностью заказанный набор. Другими словами,
   • Для всех Икс в р, Икс ≤ Икс. (рефлексивность )
   • Для всех Икс и у в р, если Икс ≤ у и у ≤ Икс, тогда Икс = у. (антисимметрия )
   • Для всех Икс, у, и z в р, если Икс ≤ у и у ≤ z, тогда Икс ≤ z. (транзитивность )
   • Для всех Икс и у в р, Икс ≤ у или же у ≤ Икс. (совокупность )
3. Полевые операции + и × на р совместимы с порядком ≤. Другими словами,
   • Для всех Икс, у и z в р, если Икс ≤ у, тогда Икс + z ≤ у + z. (сохранение порядка при добавлении)
   • Для всех Икс и у в р, если 0 ≤ Икс и 0 ≤ у, то 0 ≤ Икс × у (сохранение порядка при умножении)
4. Порядок ≤ равен полный в следующем смысле: каждое непустое подмножество р ограниченный сверху имеет наименьшая верхняя граница. Другими словами,
   • Если А непустое подмножество р, и если А имеет верхняя граница, тогда А имеет точную верхнюю границу ты, такое, что для любой верхней границы v из А, ты ≤ v.

О свойстве наименьшей верхней границы

Аксиома 4, которая требует, чтобы порядок был Дедекинд-полный, подразумевает Архимедова собственность.

Аксиома имеет решающее значение при характеристике действительного. Например, полностью упорядоченное поле рациональных чисел Q удовлетворяют первым трем аксиомам, но не четвертой. Другими словами, модели рациональных чисел также являются моделями первых трех аксиом.

Обратите внимание, что аксиома не первый, поскольку он выражает утверждение о наборах вещественных чисел, а не только об отдельных таких числах. Таким образом, реалы не даются теория логики первого порядка.

На моделях

Приводятся несколько моделей аксиом 1-4. ниже. Любые две модели для аксиом 1–4 изоморфны, и поэтому с точностью до изоморфизма существует только одно полное упорядоченное архимедово поле.

Когда мы говорим, что любые две модели вышеуказанных аксиом изоморфны, мы имеем в виду, что для любых двух моделей (р, 0_р, 1_р, +_р, ×_р, ≤_р) и (S, 0_S, 1_S, +_S, ×_S, ≤_S), Существует биекция ж : р → S сохранение как полевых работ, так и порядка. Явно,

• ж оба инъективный и сюръективный.
• ж(0_р) = 0_S и ж(1_р) = 1_S.
• Для всех Икс и у в р, ж(Икс +_р у) = ж(Икс) +_S ж(у) и ж(Икс ×_р у) = ж(Икс) ×_S ж(у).
• Для всех Икс и у в р, Икс ≤_р у если и только если ж(Икс) ≤_S ж(у).

Аксиоматизация действительных чисел Тарским

Основная статья: Аксиоматизация действительных чисел Тарским

Альтернативный синтетический аксиоматизация действительных чисел и их арифметики было дано Альфред Тарский, состоящий всего из 8 аксиомы показано ниже и всего четыре примитивные представления: а набор называется реальные числа, обозначенный р, а бинарное отношение над р называется порядок, обозначаемый инфикс <, а бинарная операция над р называется добавление, обозначаемый infix +, и константа 1.

Аксиомы порядка (примитивы: р, <):

Аксиома 1. Если Икс < уто не у < Икс. То есть "<" асимметричное отношение.

Аксиома 2. Если Икс < z, существует у такой, что Икс < у и у < z. Другими словами, "<" плотный в р.

Аксиома 3. "<" - это Дедекинд-полный. Более формально для всех Икс, Y ⊆ р, если для всех Икс ∈ Икс и у ∈ Y, Икс < у, то существует z такой, что для всех Икс ∈ Икс и у ∈ Y, если z ≠ Икс и z ≠ у, тогда Икс < z и z < у.

Чтобы несколько прояснить приведенное выше утверждение, пусть Икс ⊆ р и Y ⊆ р. Теперь мы определим два общих английских глагола особым образом, который соответствует нашей цели:

X предшествует Y если и только если для каждого Икс ∈ Икс и каждый у ∈ Y, Икс < у.

Реальное число z разделяет Икс и Y если и только если для каждого Икс ∈ Икс с Икс ≠ z и каждый у ∈ Y с у ≠ z, Икс < z и z < у.

Аксиому 3 можно сформулировать так:

«Если набор действительных чисел предшествует другому набору действительных чисел, то существует по крайней мере одно действительное число, разделяющее два набора».

Аксиомы сложения (примитивы: р, <, +):

Аксиома 4. Икс + (у + z) = (Икс + z) + у.

Аксиома 5. Для всех Икс, у, существует z такой, что Икс + z = у.

Аксиома 6. Если Икс + у < z + ш, тогда Икс < z или же у < ш.

Аксиомы для одного (примитивы: р, <, +, 1):

Аксиома 7. 1 ∈ р.

Аксиома 8. 1 < 1 + 1.

Эти аксиомы подразумевают, что р это линейно упорядоченный абелева группа под сложением с выделенным элементом 1. р это также Дедекинд-полный и делимый.

Явные построения моделей

Мы не будем доказывать, что какие-либо модели аксиом изоморфны. Такое доказательство можно найти в любом количестве современных учебников по анализу или теории множеств. Однако мы сделаем набросок основных определений и свойств ряда конструкций, поскольку каждое из них важно как по математическим, так и по историческим причинам. Первые три, благодаря Георг Кантор /Шарль Мере, Ричард Дедекинд /Джозеф Бертран и Карл Вейерштрасс все произошло с интервалом в несколько лет друг от друга. У каждого есть свои преимущества и недостатки. Основной мотивацией во всех трех случаях было обучение студентов-математиков.

Построение из последовательностей Коши

Стандартная процедура для принуждения всех Последовательности Коши в метрическое пространство чтобы сходиться - это добавление новых точек в метрическое пространство в процессе, называемом завершение.

р определяется как завершение Q относительно метрики |Икс-у|, как будет подробно описано ниже (для завершения Q относительно других показателей см. п-адические числа.)

Позволять р быть набор последовательностей Коши рациональных чисел. То есть последовательности

Икс₁, Икс₂, Икс₃,...

рациональных чисел таких, что для каждого рационального ε > 0, существует целое число N так что для всех натуральных чисел м,п > N, |Икс_м − Икс_п| < ε. Здесь вертикальные полосы обозначают абсолютное значение.

Последовательности Коши (Икс_п) и (у_п) можно складывать и умножать следующим образом:

(Икс_п) + (у_п) = (Икс_п + у_п)

(Икс_п) × (у_п) = (Икс_п × у_п).

Две последовательности Коши называются эквивалент тогда и только тогда, когда разница между ними стремится к нулю. отношение эквивалентности который совместим с операциями, определенными выше, и набор р из всех классы эквивалентности можно показать, чтобы удовлетворить все аксиомы действительных чисел. Мы можем вставлять Q в р путем определения рационального числа р с классом эквивалентности последовательности (р,р,р, …).

Сравнение действительных чисел достигается путем определения следующего сравнения последовательностей Коши: (Икс_п) ≥ (у_п) если и только если Икс эквивалентно у или существует целое число N такой, что Икс_п ≥ у_п для всех п > N.

По построению каждое действительное число Икс представлен последовательностью рациональных чисел Коши. Это представление далеко не уникально; каждая рациональная последовательность, сходящаяся к Икс представляет собой представление Икс. Это отражает наблюдение, что часто можно использовать разные последовательности для приближения одного и того же действительного числа.

Единственная аксиома действительных чисел, которая нелегко вытекает из определений, - это полнота ≤, т.е. свойство наименьшей верхней границы. Это можно доказать следующим образом. Пусть S быть непустым подмножеством р и U быть верхней границей для S. Подставляя при необходимости большее значение, мы можем предположить U рационально. С S непусто, мы можем выбрать рациональное число L такой, что L < s для некоторых s в S. Теперь определим последовательности рациональных чисел (ты_п) и (л_п) следующее:

Набор ты₀ = U и л₀ = L.

Для каждого п считайте число:

м_п = (ты_п + л_п)/2

Если м_п это верхняя граница для S набор:

ты_п+1 = м_п и л_п+1 = л_п

В противном случае установите:

л_п+1 = м_п и ты_п+1 = ты_п

Это определяет две последовательности рациональных чисел Коши, и поэтому у нас есть действительные числа л = (л_п) и ты = (ты_п). Легко доказать индукцией по п который:

ты_п это верхняя граница для S для всех п

и:

л_п никогда не является верхней границей для S для любого п

Таким образом ты это верхняя граница для S. Чтобы убедиться, что это наименьшая верхняя граница, обратите внимание, что предел (ты_п − л_п) равно 0, поэтому л = ты. Теперь предположим б < ты = л является меньшей верхней оценкой для S. С (л_п) монотонно возрастает, легко видеть, что б < л_п для некоторых п. Но л_п не является верхней границей для S, и поэтому б. Следовательно ты является точной верхней оценкой для S и ≤ полно.

Обычный десятичная запись могут быть преобразованы в последовательности Коши естественным образом. Например, обозначение π = 3.1415 ... означает, что π - класс эквивалентности последовательности Коши (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...). Уравнение 0.999... = 1 означает, что последовательности (0, 0.9, 0.99, 0.999, ...) и (1, 1, 1, 1, ...) эквивалентны, т.е. их разность сходится к 0.

Преимущество строительства р как завершение Q заключается в том, что эта конструкция не относится к одному примеру; он также используется для других метрических пространств.

Строительство Дедекинда сокращает

Дедекинд использовал свой разрез, чтобы построить иррациональный, действительные числа.

А Дедекинда вырезать в упорядоченном поле является его разделом, (А, B), такое что А непусто и закрыто вниз, B непусто и закрыто вверх, и А не содержит величайший элемент. Действительные числа могут быть построены как дедекиндовские сокращения рациональных чисел.

Для удобства можно взять нижний набор ${\displaystyle A\,}$ как представитель любой данной дедекиндовской огранки ${\displaystyle (A,B)\,}$, поскольку ${\displaystyle A}$ полностью определяет ${\displaystyle B}$. Поступая так, мы можем интуитивно думать о действительном числе как о представлении набора всех меньших рациональных чисел. Более подробно реальное число ${\displaystyle r}$ любое подмножество множества ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$ рациональных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:^[1]

1. ${\displaystyle r}$ не пусто
2. ${\displaystyle r\neq {\textbf {Q}}}$
3. ${\displaystyle r}$ закрывается вниз. Другими словами, для всех ${\displaystyle x,y\in {\textbf {Q}}}$ такой, что ${\displaystyle x<y}$, если ${\displaystyle y\in r}$ тогда ${\displaystyle x\in r}$
4. ${\displaystyle r}$ не содержит наибольшего элемента. Другими словами, нет ${\displaystyle x\in r}$ такой, что для всех ${\displaystyle y\in r}$, ${\displaystyle y\leq x}$

• Формируем набор ${\displaystyle {\textbf {R}}}$ действительных чисел как множество всех дедекиндовских разрезов ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$, и определим общий заказ на действительные числа следующим образом: ${\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y}$
• Мы вставлять рациональные числа в действительные числа путем определения рационального числа ${\displaystyle q}$ с множеством всех меньших рациональных чисел ${\displaystyle \{x\in {\textbf {Q}}:x<q\}}$.^[1] Поскольку рациональные числа равны плотный, такое множество не может иметь наибольшего элемента и, таким образом, удовлетворяет условиям действительного числа, изложенным выше.
• Добавление. ${\displaystyle A+B:=\{a+b:a\in A\land b\in B\}}$^[1]
• Вычитание. ${\displaystyle A-B:=\{a-b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$ куда ${\displaystyle {\textbf {Q}}\setminus B}$ обозначает относительное дополнение из ${\displaystyle B}$ в ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$, ${\displaystyle \{x:x\in {\textbf {Q}}\land x\notin B\}}$
• Отрицание это частный случай вычитания: ${\displaystyle -B:=\{a-b:a<0\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$
• Определение умножение менее прямолинейно.^[1]
  • если ${\displaystyle A,B\geq 0}$ тогда ${\displaystyle A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}}$
  • если либо ${\displaystyle A\,}$ или же ${\displaystyle B\,}$ отрицательно, мы используем тождества ${\displaystyle A\times B=-(A\times -B)=-(-A\times B)=(-A\times -B)\,}$ преобразовать ${\displaystyle A\,}$ и / или ${\displaystyle B\,}$ к положительным числам, а затем примените определение выше.
• Мы определяем разделение аналогичным образом:
  • если ${\displaystyle A\geq 0{\mbox{ and }}B>0}$ тогда ${\displaystyle A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$
  • если либо ${\displaystyle A\,}$ или же ${\displaystyle B\,}$ отрицательно, мы используем тождества ${\displaystyle A/B=-(A/{-B})=-(-A/B)=-A/{-B}\,}$ преобразовать ${\displaystyle A\,}$ на неотрицательное число и / или ${\displaystyle B\,}$ к положительному числу, а затем примените определение выше.
• Супремум. Если непустой набор ${\displaystyle S}$ вещественных чисел имеет любую верхнюю границу в ${\displaystyle {\textbf {R}}}$, то он имеет точную верхнюю оценку в ${\displaystyle {\textbf {R}}}$ что равно ${\displaystyle \bigcup S}$.^[1]

В качестве примера вырезки Дедекинда, изображающей иррациональный номер, мы можем взять положительный квадратный корень из 2. Это можно определить набором ${\displaystyle A=\{x\in {\textbf {Q}}:x<0\lor x\times x<2\}}$.^[2] Из приведенных выше определений видно, что ${\displaystyle A}$ это действительное число, и что ${\displaystyle A\times A=2\,}$. Однако ни одно из требований не является немедленным. Показывая это ${\displaystyle A\,}$ реально требует показать, что ${\displaystyle A}$ не имеет наибольшего элемента, т.е. для любого положительного рационального ${\displaystyle x\,}$ с ${\displaystyle x\times x<2\,}$, есть рациональное ${\displaystyle y\,}$ с ${\displaystyle x<y\,}$ и ${\displaystyle y\times y<2\,.}$ Выбор ${\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}\,}$ работает. потом ${\displaystyle A\times A\leq 2}$ но чтобы показать равенство, нужно показать, что если ${\displaystyle r\,}$ любое рациональное число с ${\displaystyle r\times r<2\,}$, то есть положительный ${\displaystyle x\,}$ в ${\displaystyle A}$ с ${\displaystyle r<x\times x\,}$.

Преимущество этой конструкции в том, что каждому действительному числу соответствует уникальный разрез.

Построение с использованием гиперреальных чисел

Как в гиперреальные числа, строятся гиперрациональные числа ^*Q из рациональных чисел с помощью ультрафильтр. Здесь гиперрациональность - это по определению отношение двух гиперинтегры. Рассмотрим звенеть B всех ограниченных (т.е. конечных) элементов в ^*Q. потом B имеет уникальный максимальный идеал я, то бесконечно малый числа. Факторное кольцо B / I дает поле р реальных чисел^{[нужна цитата ]}. Обратите внимание, что B не является внутренний набор в ^*QЗаметим, что эта конструкция использует неглавный ультрафильтр по множеству натуральных чисел, существование которого гарантируется аксиома выбора.

Оказывается, максимальный идеал соблюдает порядок на ^*Q. Следовательно, результирующее поле является упорядоченным. Полнота доказывается аналогично построению из последовательностей Коши.

Строительство из сюрреалистических чисел

Каждое упорядоченное поле можно встроить в сюрреалистические числа. Действительные числа образуют максимальное подполе, которое Архимедов (это означает, что никакое действительное число не может быть бесконечно большим). Это вложение не уникально, хотя может быть выбрано каноническим способом.

Конструкция из целых чисел (евдокс вещественные числа)

Относительно менее известная конструкция позволяет определять действительные числа, используя только аддитивную группу целых чисел. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ с разными версиями.^[3][4][5] Строительство было официально подтверждено проектом IsarMathLib.^[6] Шеницер^[7] и Артан называют эту конструкцию Евдокс реалс, названный в честь древнегреческого астронома и математика Евдокс Книдский.

Пусть почти гомоморфизм быть картой ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ так что набор ${\displaystyle \{f(n+m)-f(m)-f(n):n,m\in \mathbb {Z} \}}$ конечно. (Обратите внимание, что ${\displaystyle f(n)=\lfloor \alpha n\rfloor }$ является почти гомоморфизмом для любого ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$.) Почти гомоморфизмы образуют абелеву группу при поточечном сложении. Мы говорим, что два почти гомоморфизма ${\displaystyle f,g}$ находятся почти равный если набор ${\displaystyle \{f(n)-g(n):n\in \mathbb {Z} \}}$ конечно. Это определяет отношение эквивалентности на множестве почти гомоморфизмов. Действительные числа определяются как классы эквивалентности этого отношения. С другой стороны, почти гомоморфизмы, принимающие только конечное число значений, образуют подгруппу, а основная аддитивная группа действительного числа является фактор-группой. Чтобы добавить действительные числа, определенные таким образом, мы добавляем почти гомоморфизмы, которые их представляют. Умножение действительных чисел соответствует функциональной композиции почти гомоморфизмов. Если ${\displaystyle [f]}$ обозначает действительное число, представленное почти гомоморфизмом ${\displaystyle f}$ мы говорим, что ${\displaystyle 0\leq [f]}$ если ${\displaystyle f}$ ограничен или ${\displaystyle f}$ принимает бесконечное количество положительных значений на ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$. Это определяет линейный порядок отношение на множестве действительных чисел, построенных таким образом.

Прочие конструкции

Faltin et al. записывать:

Немногие математические структуры подверглись такому количеству пересмотров или были представлены в таком количестве обличий, как действительные числа. Каждое поколение пересматривает реальность в свете своих ценностей и математических целей.^[8]

Ряд других конструкций был дан:

• N. G. de Bruijn.^[9]
• Г. Дж. Ригер.^[10][11]
• Арнольд Кнопфмахер и Джон Кнопфмахер.^[12][13]

Как заметил рецензент одного из них: «Все детали включены, но, как обычно, они утомительны и не слишком поучительны».^[14]

Смотрите также

• Конструктивизм (математика) # Пример из реального анализа

Рекомендации

1. Пью, Чарльз Чепмен (2002). Реальный математический анализ. Нью-Йорк: Спрингер. стр.11 –15. ISBN  978-0-387-95297-0.
2. Херш, Рубен (1997). Что такое математика на самом деле?. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета США. п. 274. ISBN  978-0-19-513087-4.
3. Р.Д. Артан (2004). «Реальные числа Евдокса». arXiv:математика / 0405454.
4. Норберт А'Кампо (2003). «Естественная конструкция для действительных чисел». arXiv:математика / 0301015.
5. Росс-стрит (сентябрь 2003 г.). "Обновленная информация об эффективных реалах" (PDF). Получено 2010-10-23.
6. "IsarMathLib".
7. Шеницер, А. (1987). «Тематический курс по математике». Математический интеллект. 9 (3): 44–52. Дои:10.1007 / bf03023955.
8. Ф. Фалтин, Н. Метрополис, Б. Росс и Г.-К. Рота. Реальные числа как сплетение Успехи математики, 16 (1975), 278–304.
9. N. G. de Bruijn. Построение системы действительных чисел. (Голландский) Nederl. Акад. Wetensch. Verslag Afd. Natuurk. 86 (1977), нет. 9, 121–125.
10. Г. Дж. Ригер. Новый подход к действительным числам (мотивирован непрерывными дробями). Abh. Брауншвейг. Wiss. Ges. 33 (1982), 205–217
11. N. G. de Bruijn. Определение вещественных чисел без использования рациональных чисел. Nederl. Акад. Wetensch. Proc. Сер. А 79 = Indag. Математика. 38 (1976), нет. 2, 100–108

    также в http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/597556.pdf

12. Арнольд Кнопфмахер, Джон Кнопфмахер. Новое построение действительных чисел (через бесконечные произведения). Nieuw Arch. Виск. (4) 5 (1987), нет. 1, 19–31.
13. Арнольд Кнопфмахер, Джон Кнопфмахер. Две конкретные новые конструкции реальных чисел. Скалистые горы J. Math. 18 (1988), нет. 4, 813–824.
14. МИСТЕР693180 (84j: 26002) обзор книги Ригера, Дж. Дж. Новый подход к действительным числам (мотивированный непрерывными дробями).