Линейно упорядоченная группа - Linearly ordered group

В математика, конкретно абстрактная алгебра, а линейно упорядоченный или же полностью упорядоченная группа это группа грамм оснащен общий заказ "≤" то есть переводно-инвариантный. Это может иметь разные значения. Мы говорим, что (грамм, ≤) - это:

• левоупорядоченная группа если а ≤ б подразумевает с + а ≤ c + b для всех а, б, c в грамм,
• правоупорядоченная группа если а ≤ б подразумевает а + с ≤ б + с для всех а, б, c в грамм,
• двунаправленная группа если он упорядочен как слева, так и справа.

Обратите внимание, что грамм не должно быть абелевский, хотя мы используем аддитивную запись (+) для групповой операции.

Определения

По аналогии с обычными числами мы называем элемент c упорядоченной группы положительный если 0 ≤c и c ≠ 0, где "0" здесь означает элемент идентичности группы (не обязательно знакомый ноль действительных чисел). Множество положительных элементов в группе часто обозначают грамм₊.^[а]

Элементы линейно упорядоченной группы удовлетворяют трихотомия: каждый элемент а линейно упорядоченной группы грамм либо положительно (а ∈ грамм₊), отрицательный (−a ∈ грамм₊) или ноль (а = 0). Если линейно упорядоченная группа грамм не является банальный (т.е. 0 - не единственный его элемент), то грамм₊ бесконечно, поскольку все кратные ненулевого элемента различны.^[b] Следовательно, любая нетривиальная линейно упорядоченная группа бесконечна.

Если а является элементом линейно упорядоченной группы грамм, то абсолютная величина из а, обозначаемый |а|, определяется как:

${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\text{if }}a\geq 0,\\-a,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Если дополнительно группа грамм является абелевский, то для любого а, б ∈ грамм то неравенство треугольника доволен: |а + б| ≤ |а| + |б|.

Примеры

Любая полностью упорядоченная группа без кручения. Наоборот, Ф. В. Леви показал, что абелева группа допускает линейный порядок тогда и только тогда, когда он не имеет кручения (Леви 1942 ).

Отто Гёльдер показал, что каждый Архимедова группа (двуупорядоченная группа, удовлетворяющая Архимедова собственность ) является изоморфный к подгруппа аддитивной группы действительные числа, (Fuchs & Salce 2001, п. 61) .Если написать Архимедова л. О. группы мультипликативно, это можно показать, рассматривая Дедекиндовое завершение, ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ закрытия l.o. группа под ${\displaystyle n}$й корни. Мы наделяем это пространство обычным топология линейного порядка, и тогда можно показать, что для каждого ${\displaystyle g\in {\widehat {G}}}$ экспоненциальные карты ${\displaystyle g^{\cdot }:(\mathbb {R} ,+)\to ({\widehat {G}},\cdot ):\lim _{i}q_{i}\in \mathbb {Q} \mapsto \lim _{i}g^{q_{i}}}$ четко определены сохранение / изменение порядка, топологическая группа изоморфизмы. Завершение l.o. группа может быть трудной в неархимедовом случае. В этих случаях можно классифицировать группу по ее рангу: который связан с порядковым типом наибольшей последовательности выпуклых подгрупп.

Большой источник примеров левоупорядочиваемых групп исходит из групп, действующих на вещественной прямой путем сохранения порядка. гомеоморфизмы. На самом деле для счетных групп это, как известно, характеристика левоупорядочиваемости, см., Например, (Гиз 2001 ).

Смотрите также

• Циклически упорядоченная группа
• Теорема вложения Хана
• Частично упорядоченная группа

Примечания

1. Обратите внимание, что + пишется как нижний индекс, чтобы отличать от грамм⁺ который включает в себя элемент идентичности. См. Например IsarMathLib, п. 344.
2. Формально для любого ненулевого элемента c (который можно считать положительным, иначе возьмем −c) и натуральное число k у нас есть ${\displaystyle kc<(k+1)c}$, поэтому по индукции по двум натуральным числам k < л, у нас есть ${\displaystyle kc<lc}$, поэтому существует инъекция натуральных чисел в грамм.

Рекомендации

• Леви, Ф.В. (1942), «Упорядоченные группы». Proc. Индийский акад. Sci., A16 (4): 256–263, Дои:10.1007 / BF03174799
• Фукс, Ласло; Сальсе, Луиджи (2001), Модули над нётеровыми доменами, Математические обзоры и монографии, 84, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1963-0, МИСТЕР  1794715
• Гиз, Э. (2001), «Группы, действующие по кругу», L'Enseignement Mathématique, 47: 329–407