Виталий набор - Vitali set

В математика, а Виталий набор является элементарным примером набора действительные числа это не Измеримый по Лебегу, найдено Джузеппе Витали в 1905 г.^[1] В Теорема Витали это теорема существования что есть такие наборы. Есть бесчисленное множество Виталий наборы, и их наличие зависит от аксиома выбора. В 1970 г. Роберт Соловей построил модель Теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора, когда все наборы действительных чисел измеримы по Лебегу, предполагая существование недоступный кардинал (видеть Модель Соловея ).^[2]

Измеримые наборы

Некоторые наборы имеют определенную «длину» или «массу». Например, интервал [0, 1] считается имеющим длину 1; в более общем смысле интервал [а, б], а ≤ б, считается имеющим длину б − а. Если мы думаем о таких интервалах как о металлических стержнях с однородной плотностью, они также имеют четко определенные массы. Набор [0, 1] ∪ [2, 3] состоит из двух интервалов длины один, поэтому мы принимаем его общую длину равной 2. С точки зрения массы, у нас есть два стержня массы 1, поэтому общая масса равна 2.

Возникает естественный вопрос: если E произвольное подмножество реальной линии, имеет ли она «массу» или «общую длину»? В качестве примера мы можем спросить, какова масса набора рациональное число, учитывая, что масса интервала [0, 1] равна 1. Рациональные числа плотный в реалах, поэтому любое неотрицательное значение может показаться разумным.

Однако наиболее близким к массе обобщением является сигма аддитивность, что порождает Мера Лебега. Он присваивает меру б − а к интервалу [а, б], но присвоит меру 0 множеству рациональных чисел, потому что это счетный. Любое множество, имеющее четко определенную меру Лебега, называется «измеримым», но конструкция меры Лебега (например, с использованием Теорема Каратеодори о продолжении ) не делает очевидным существование неизмеримых множеств. Ответ на этот вопрос включает аксиома выбора.

Строительство и доказательство

Набор Витали - это подмножество ${ displaystyle V}$ из интервал [0, 1] из действительные числа так что для каждого действительного числа ${ displaystyle r}$ , есть ровно одно число ${ displaystyle v in V}$ такой, что ${ displaystyle v-r}$ это Рациональное число. Наборы Витали существуют потому, что рациональные числа Q сформировать нормальная подгруппа реальных чисел р под добавление, что позволяет построить добавку факторгруппа р/Q этих двух групп, которая является группой, образованной смежные классы рациональных чисел как подгруппы действительных чисел при сложении. Эта группа р/Q состоит из непересекающийся "сдвинутые копии" Q в том смысле, что каждый элемент этой фактор-группы является множеством вида Q + р для некоторых р в р. В бесчисленное множество элементы р/Q раздел р, и каждый элемент плотный в р. Каждый элемент р/Q пересекает [0, 1], а аксиома выбора гарантирует существование подмножества [0, 1], содержащего ровно одного представителя из каждого элемента р/Q. Сформированный таким образом набор называется набором Витали.

Каждый набор Витали ${ displaystyle V}$ несчетное количество, и ${ displaystyle v-u}$ иррационально для любого ${ displaystyle u, v in V, u neq v}$ .

Неизмеримость

Возможное перечисление рациональных чисел

Множество Витали неизмеримо. Чтобы показать это, предположим, что V измеримо, и мы приходим к противоречию. Позволять q₁, q₂, ... - перечисление рациональных чисел в [−1, 1] (напомним, что рациональные числа счетный ). От строительства Vобратите внимание, что переведенные множества ${ Displaystyle V_ {k} = V + q_ {k} = {v + q_ {k}: v in V }}$ , k = 1, 2, ... попарно не пересекаются, и далее отметим, что

{ Displaystyle [0,1] substeq bigcup _ {k} V_ {k} substeq [-1,2]}

.

Чтобы увидеть первое включение, рассмотрите любое действительное число р в [0, 1] и пусть v быть представителем в V для класса эквивалентности [р]; тогда р-v=q_я для некоторого рационального числа q_я в [-1, 1], откуда следует, что р в V_я.

Примените к этим включениям меру Лебега, используя сигма аддитивность:

{ displaystyle 1 leq sum _ {k = 1} ^ { infty} lambda (V_ {k}) leq 3.}

Поскольку мера Лебега инвариантна относительно сдвига, ${ Displaystyle lambda (V_ {k}) = lambda (V)}$ и поэтому

{ displaystyle 1 leq sum _ {k = 1} ^ { infty} lambda (V) leq 3.}

Но это невозможно. Суммируя бесконечно много копий константы λ (V) дает либо ноль, либо бесконечность, в зависимости от того, равна ли константа нулю или положительна. Ни в том, ни в другом случае сумма в [1, 3] не является суммой. Так V в конце концов не могла быть измеримой, т.е. мера Лебега λ не должна определять какое-либо значение для λ (V).

Смотрите также

Библиография

Херрлих, Хорст (2006). Аксиома выбора. Springer. п.120.
Витали, Джузеппе (1905). "Sul проблема della misura dei gruppi di punti di una retta". Болонья, Тип. Гамберини и Пармеджиани.

[1] Витали, Джузеппе (1905). "Sul проблема della misura dei gruppi di punti di una retta". Болонья, Тип. Гамберини и Пармеджиани.

[2] Соловей, Роберт М. (1970), «Модель теории множеств, в которой каждое множество действительных чисел измеримо по Лебегу», Анналы математики, Вторая серия, 92: 1–56, Дои:10.2307/1970696, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970696, МИСТЕР 0265151

[1]

[2]