Теорема о монотонной сходимости - Monotone convergence theorem

В математической области реальный анализ, то теорема о монотонной сходимости является любой из ряда связанных теорем, доказывающих конвергенция из монотонные последовательности (последовательности, которые неубывающий или невозрастающий ), которые также ограниченный. Неформально теоремы утверждают, что если последовательность возрастает и ограничена сверху супремум, то последовательность сходится к супремуму; точно так же, если последовательность убывает и ограничена снизу инфимум, он будет сходиться к инфимуму.

Сходимость монотонной последовательности действительных чисел

Лемма 1

Если последовательность действительных чисел возрастает и ограничена сверху, то ее супремум это предел.

Доказательство

Позволять ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ - такая последовательность, и пусть ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ быть набором условий ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$. По предположению, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ непусто и ограничено сверху. Посредством свойство с наименьшей верхней границей реальных чисел, ${\textstyle c=\sup _{n}\{a_{n}\}}$ существует и конечно. Теперь для каждого ${\displaystyle \varepsilon >0}$, Существует ${\displaystyle N}$ такой, что ${\displaystyle a_{N}>c-\varepsilon }$, так как иначе ${\displaystyle c-\varepsilon }$ является верхней границей ${\displaystyle \{a_{n}\}}$, что противоречит определению ${\displaystyle c}$. Тогда, поскольку ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ увеличивается, и ${\displaystyle c}$ - его верхняя граница для каждого ${\displaystyle n>N}$, у нас есть ${\displaystyle |c-a_{n}|\leq |c-a_{N}|<\varepsilon }$. Следовательно, по определению предел ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ является ${\textstyle \sup _{n}\{a_{n}\}.}$

Лемма 2

Если последовательность действительных чисел убывает и ограничена снизу, то ее инфимум это предел.

Доказательство

Доказательство аналогично доказательству для случая, когда последовательность возрастает и ограничена сверху,

Теорема

Если ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ монотонный последовательность из действительные числа (т.е. если а_п ≤ а_п+1 для каждого п ≥ 1 или а_п ≥ а_п+1 для каждого п ≥ 1), то эта последовательность имеет конечный предел тогда и только тогда, когда последовательность ограниченный.^[1]

Доказательство

• «Если» -направление: Доказательство следует непосредственно из лемм.
• Направление «Только если»: По определение лимита, каждая последовательность ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ с конечным пределом ${\displaystyle L}$ обязательно ограничено.

Сходимость монотонного ряда

Теорема

Если для всех натуральных чисел j и k, а_j,k неотрицательное действительное число и а_j,k ≤ а_j+1,k, тогда^[2]:168

${\displaystyle \lim _{j\to \infty }\sum _{k}a_{j,k}=\sum _{k}\lim _{j\to \infty }a_{j,k}.}$

Теорема утверждает, что если у вас есть бесконечная матрица неотрицательных действительных чисел такая, что

1. столбцы слабо возрастающие и ограниченные, а
2. для каждой строки серии члены которого даны этой строкой, имеет сходящуюся сумму,

то предел сумм строк равен сумме ряда, член которого k дается пределом столбца k (что также является его супремум ). Ряд имеет сходящуюся сумму тогда и только тогда, когда (слабо возрастающая) последовательность строчных сумм ограничена и, следовательно, сходится.

В качестве примера рассмотрим бесконечную серию строк

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\times {\frac {n}{n}}\times {\frac {n-1}{n}}\times \cdots \times {\frac {n-k+1}{n}},}$

где п стремится к бесконечности (предел этого ряда равен е ). Здесь запись матрицы в строке п и столбец k является

${\displaystyle {\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\times {\frac {n}{n}}\times {\frac {n-1}{n}}\times \cdots \times {\frac {n-k+1}{n}};}$

колонны (фиксированные k) действительно слабо растут с увеличением п и ограничена (на 1 /k!), а в строках есть только конечное число ненулевых членов, поэтому условие 2 выполнено; теперь теорема говорит, что вы можете вычислить предел сумм строк ${\displaystyle (1+1/n)^{n}}$ взяв сумму пределов столбца, а именно${\displaystyle {\frac {1}{k!}}}$.

Теорема Беппо Леви о монотонной сходимости интеграла Лебега

Следующий результат обусловлен Беппо Леви и Анри Лебег. В дальнейшем ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}}}$ обозначает ${\displaystyle \sigma }$-алгебра борелевских множеств на ${\displaystyle [0,+\infty ]}$. По определению, ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}}}$ содержит набор ${\displaystyle \{+\infty \}}$ и все борелевские подмножества ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}.}$

Теорема

Позволять ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ быть измерить пространство, и ${\displaystyle X\in \Sigma }$. Рассмотрим поточечно неубывающую последовательность ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ из ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримый неотрицательные функции ${\displaystyle f_{k}:X\to [0,+\infty ]}$, т.е. для каждого ${\displaystyle {k\geq 1}}$ и каждый ${\displaystyle {x\in X}}$,

${\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\leq \infty .}$

Установите поточечный предел последовательности ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ быть ${\displaystyle f}$. То есть на каждый ${\displaystyle x\in X}$,

${\displaystyle f(x):=\lim _{k\to \infty }f_{k}(x).}$

потом ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримые и

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu .}$

Замечание 1. Интегралы могут быть конечными или бесконечными.

Замечание 2. Теорема остается верной, если выполнены ее предположения. ${\displaystyle \mu }$-почти всюду. Другими словами, достаточно наличия нулевой набор ${\displaystyle N}$ такая, что последовательность ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ без снижения за каждый ${\displaystyle {x\in X\setminus N}.}$ Чтобы понять, почему это так, мы начнем с наблюдения, которое допускает последовательность ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ к поточечному неубыванию почти всюду приводит к его поточечный предел ${\displaystyle f}$ быть неопределенным на некотором нулевом наборе ${\displaystyle N}$. На этом нулевом наборе ${\displaystyle f}$ затем можно определить произвольно, например как ноль или любым другим способом, сохраняющим измеримость. Чтобы понять, почему это не повлияет на результат теоремы, обратите внимание, что, поскольку ${\displaystyle {\mu (N)=0},}$ у нас на каждый ${\displaystyle k,}$

${\displaystyle \int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X\setminus N}f_{k}\,d\mu }$ и ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X\setminus N}f\,d\mu ,}$

при условии, что ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримый.^{[3](Раздел 21.38)} (Эти равенства непосредственно следуют из определения интеграла Лебега для неотрицательной функции).

Замечание 3. В условиях теоремы

1. ${\displaystyle \textstyle f(x)=\liminf _{k}f_{k}(x)=\limsup _{k}f_{k}(x)=\sup _{k}f_{k}(x)}$
2. ${\displaystyle \textstyle \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\textstyle \limsup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$

(Отметим, что вторая цепочка равенств следует из замечания 5).

Замечание 4. В приведенном ниже доказательстве не используются никакие свойства интеграла Лебега, кроме установленных здесь. Таким образом, теорема может быть использована для доказательства других основных свойств, таких как линейность, относящихся к интегрированию Лебега.

Замечание 5 (монотонность интеграла Лебега). В нижеследующем доказательстве мы применяем монотонное свойство интеграла Лебега только к неотрицательным функциям. В частности (см. Замечание 4), пусть функции ${\displaystyle f,g:X\to [0,+\infty ]}$ быть ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримый.

• Если ${\displaystyle f\leq g}$ везде на ${\displaystyle X,}$ тогда

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .}$

• Если ${\displaystyle X_{1},X_{2}\in \Sigma }$ и ${\displaystyle X_{1}\subseteq X_{2},}$ тогда

${\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .}$

Доказательство. Обозначить ${\displaystyle \operatorname {SF} (h)}$ набор простых ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримые функции ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ такой, что${\displaystyle 0\leq s\leq h}$ везде на ${\displaystyle X.}$

1. поскольку ${\displaystyle f\leq g,}$ у нас есть

${\displaystyle \operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g).}$

По определению интеграла Лебега и свойствам супремума

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu .}$

2. Позволять ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{X_{1}}}$ быть индикаторной функцией множества ${\displaystyle X_{1}.}$ Из определения интеграла Лебега можно вывести, что

${\displaystyle \int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu =\int _{X_{1}}f\,d\mu }$

если мы это заметим, для каждого ${\displaystyle s\in {\rm {SF}}(f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}),}$ ${\displaystyle s=0}$ вне ${\displaystyle X_{1}.}$ В сочетании с предыдущим свойством неравенство ${\displaystyle f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f}$ подразумевает

${\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu =\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .}$

Доказательство

Это доказательство не полагаться на Лемма Фату. Однако мы объясняем, как можно использовать эту лемму.

Для тех, кто не заинтересован в независимом доказательстве, промежуточные результаты, приведенные ниже, можно пропустить.

Промежуточные результаты

Интеграл Лебега как мера

Лемма 1. Позволять ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ быть измеримым пространством. Рассмотрим простой ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримая неотрицательная функция ${\displaystyle s:\Omega \to {\mathbb {R} _{\geq 0}}}$. Для подмножества ${\displaystyle S\subseteq \Omega }$, определить

${\displaystyle \nu (S)=\int _{S}s\,d\mu .}$

потом ${\displaystyle \nu }$ это мера на ${\displaystyle \Omega }$.

Доказательство

Монотонность следует из замечания 5. Здесь мы докажем только счетную аддитивность, оставив остальное на усмотрение читателя. Позволять ${\displaystyle S=\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}}$, где все множества ${\displaystyle S_{i}}$ попарно не пересекаются. Благодаря простоте,

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}},}$

для некоторых конечных неотрицательных констант ${\displaystyle c_{i}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}}$ и попарно непересекающиеся множества ${\displaystyle A_{i}\in \Sigma }$ такой, что ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\Omega }$. По определению интеграла Лебега

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (S)&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu (S\cap A_{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu \left(\left(\bigcup _{j=1}^{\infty }S_{j}\right)\cap A_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }(S_{j}\cap A_{i})\right)\end{aligned}}}$

Поскольку все наборы ${\displaystyle S_{j}\cap A_{i}}$ попарно не пересекаются, счетная аддитивность ${\displaystyle \mu }$дает нам

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }(S_{j}\cap A_{i})\right)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \sum _{j=1}^{\infty }\mu (S_{j}\cap A_{i}).}$

Поскольку все слагаемые неотрицательны, сумма ряда, независимо от того, является ли эта сумма конечной или бесконечной, не может измениться при изменении порядка суммирования. По этой причине,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \sum _{j=1}^{\infty }\mu (S_{j}\cap A_{i})&=\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot \mu (S_{j}\cap A_{i})\\&=\sum _{j=1}^{\infty }\int _{S_{j}}s\,d\mu \\&=\sum _{j=1}^{\infty }\nu (S_{j}),\end{aligned}}}$

как требуется.

«Преемственность снизу»

Следующее свойство является прямым следствием определения меры.

Лемма 2. Позволять ${\displaystyle \mu }$ быть мерой, и ${\displaystyle S=\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}}$, где

${\displaystyle S_{1}\subseteq \cdots \subseteq S_{i}\subseteq S_{i+1}\subseteq \cdots \subseteq S}$

- неубывающая цепь со всеми ее множествами ${\displaystyle \mu }$-измеримый. потом

${\displaystyle \mu (S)=\lim _{i}\mu (S_{i}).}$

Доказательство теоремы

Шаг 1. Начнем с того, что покажем ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$–Измеримо.^{[3](Раздел 21.3)}

Заметка. Если бы мы использовали лемму Фату, измеримость легко следовала бы из замечания 3 (а).

Сделать это без используя лемму Фату, достаточно показать, что прообраз интервала ${\displaystyle [0,t]}$ под ${\displaystyle f}$ является элементом сигма-алгебра ${\displaystyle \Sigma }$ на ${\displaystyle X}$, потому что (замкнутые) интервалы порождают Борелевская сигма-алгебра на реалах. поскольку ${\displaystyle [0,t]}$ - отрезок, и для каждого ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq f(x)}$,

${\displaystyle 0\leq f(x)\leq t\quad \Leftrightarrow \quad {\Bigl [}\forall k\quad 0\leq f_{k}(x)\leq t{\Bigr ]}.}$

Таким образом,

${\displaystyle \{x\in X\mid 0\leq f(x)\leq t\}=\bigcap _{k}\{x\in X\mid 0\leq f_{k}(x)\leq t\}.}$

Будучи инверсией Набор Бореля под ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримая функция ${\displaystyle f_{k}}$, каждое множество в счетном пересечении является элементом ${\displaystyle \Sigma }$. поскольку ${\displaystyle \sigma }$-алгебры по определению замкнуты относительно счетных пересечений, это показывает, что ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримая, а интегральная ${\displaystyle \textstyle \int _{X}f\,d\mu }$ хорошо определено (и, возможно, бесконечно).

Шаг 2. Сначала мы покажем, что ${\displaystyle \textstyle \int _{X}f\,d\mu \geq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Определение ${\displaystyle f}$ и монотонность ${\displaystyle \{f_{k}\}}$ подразумевают, что ${\displaystyle f(x)\geq f_{k}(x)}$, для каждого ${\displaystyle k}$ и каждый ${\displaystyle x\in X}$. По монотонности (точнее, ее более узкой версии, установленной в замечании 5; см. Также замечание 4) интеграла Лебега

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \geq \int _{X}f_{k}\,d\mu ,}$

и

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \geq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Отметим, что предел справа существует (конечный или бесконечный), поскольку из-за монотонности (см. Замечание 5 и замечание 4) последовательность неубывающая.

Конец шага 2.

Докажем обратное неравенство. Мы стремимся показать, что

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$.

Доказательство с помощью леммы Фату. Согласно замечанию 3 неравенство, которое мы хотим доказать, эквивалентно

${\displaystyle \int _{X}\liminf _{k}f_{k}(x)\,d\mu \leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Но последнее немедленно следует из леммы Фату, и доказательство завершено.

Независимое доказательство. Чтобы доказать неравенство без используя лемму Фату, нам понадобится дополнительный механизм. Обозначить ${\displaystyle \operatorname {SF} (f)}$ набор простых ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримые функции ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ такой, что${\displaystyle 0\leq s\leq f}$ на ${\displaystyle X}$.

Шаг 3. Учитывая простую функцию ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$ и реальное число ${\displaystyle t\in (0,1)}$, определить

${\displaystyle B_{k}^{s,t}=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq f_{k}(x)\}\subseteq X.}$

потом ${\displaystyle B_{k}^{s,t}\in \Sigma }$, ${\displaystyle B_{k}^{s,t}\subseteq B_{k+1}^{s,t}}$, и ${\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$.

Шаг 3а. Чтобы доказать первое утверждение, пусть ${\displaystyle \textstyle s=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}}}$, для некоторого конечного набора попарно непересекающихся измеримых множеств ${\displaystyle A_{i}\in \Sigma }$ такой, что ${\displaystyle \textstyle X=\cup _{i=1}^{m}A_{i}}$, некоторые (конечные) неотрицательные константы ${\displaystyle c_{i}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}}$, и ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A_{i}}}$ обозначающие индикаторную функцию набора ${\displaystyle A_{i}}$.

Для каждого ${\displaystyle x\in A_{i},}$ ${\displaystyle t\cdot s(x)\leq f_{k}(x)}$ выполняется тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f_{k}(x)\in [t\cdot c_{i},+\infty ].}$ Учитывая, что множества ${\displaystyle A_{i}}$ попарно не пересекаются,

${\displaystyle B_{k}^{s,t}=\bigcup _{i=1}^{m}{\Bigl (}f_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )}.}$

Поскольку прообраз ${\displaystyle f_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}}$ множества Бореля${\displaystyle [t\cdot c_{i},+\infty ]}$ под измеримой функцией ${\displaystyle f_{k}}$ измеримо, и ${\displaystyle \sigma }$-алгебры, по определению, замкнуты относительно конечных пересечений и объединений, следует первое утверждение.

Шаг 3б. Чтобы доказать второе утверждение, отметим, что для каждого ${\displaystyle k}$ и каждый ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x).}$

Шаг 3c. Для доказательства третьего утверждения покажем, что ${\displaystyle \textstyle X\subseteq \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$.

Действительно, если, наоборот, ${\displaystyle \textstyle X\not \subseteq \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$, то элемент

${\displaystyle \textstyle x_{0}\in X\setminus \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}=\bigcap _{k}(X\setminus B_{k}^{s,t})}$

существует такое, что ${\displaystyle f_{k}(x_{0})<t\cdot s(x_{0})}$, для каждого ${\displaystyle k}$. Принимая предел как ${\displaystyle k\to \infty }$, мы получаем

${\displaystyle f(x_{0})\leq t\cdot s(x_{0})<s(x_{0}).}$

Но по первоначальному предположению ${\displaystyle s\leq f}$. Получили противоречие.

Шаг 4. Для каждого простого ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$-измеримая неотрицательная функция ${\displaystyle s_{2}}$,

${\displaystyle \lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s_{2}\,d\mu =\int _{X}s_{2}\,d\mu .}$

Чтобы доказать это, определим ${\displaystyle \textstyle \nu (S)=\int _{S}s_{2}\,d\mu }$. По лемме 1 ${\displaystyle \nu (S)}$ это мера на ${\displaystyle \Omega }$. По «непрерывности снизу» (лемма 2)

${\displaystyle \lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s_{2}\,d\mu =\lim _{n}\nu (B_{n}^{s,t})=\nu (X)=\int _{X}s_{2}\,d\mu ,}$

как требуется.

Шаг 5. Теперь докажем, что для каждого ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$,

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Действительно, используя определение ${\displaystyle B_{k}^{s,t}}$, неотрицательность ${\displaystyle f_{k}}$, и монотонности интеграла Лебега (см. замечание 5 и 4), имеем

${\displaystyle \int _{B_{k}^{s,t}}t\cdot s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,t}}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f_{k}\,d\mu ,}$

для каждого ${\displaystyle k\geq 1}$. В соответствии с шагом 4, поскольку ${\displaystyle k\to \infty }$, неравенство принимает вид

${\displaystyle t\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Принимая предел как ${\displaystyle t\uparrow 1}$ дает

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu ,}$

как требуется.

Шаг 6. Теперь мы можем доказать обратное неравенство, т.е.

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

В самом деле, по неотрицательности ${\displaystyle f_{+}=f}$ и ${\displaystyle f_{-}=0.}$ Для расчета ниже неотрицательность ${\displaystyle f}$ важно. Применяя определение интеграла Лебега и неравенство, установленное на шаге 5, имеем

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in \operatorname {SF} (f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Доказательство окончено.

Смотрите также

• Бесконечная серия
• Теорема о доминирующей сходимости

Заметки

1. Обобщение этой теоремы было дано Бибби, Джон (1974). «Аксиоматизации среднего и дальнейшее обобщение монотонных последовательностей». Математический журнал Глазго. 15 (1): 63–65. Дои:10.1017 / S0017089500002135.
2. См. Например Да, Дж. (2006). Реальный анализ: теория измерения и интеграции. Хакенсак, штат Нью-Джерси: World Scientific. ISBN  981-256-653-8.
3. См. Например Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам. Сан-Диего: Academic Press. ISBN  0-12-622760-8.