Топология заказа - Order topology

В математика, топология заказа это определенный топология который может быть определен на любом полностью заказанный набор. Это естественное обобщение топологии действительные числа произвольным вполне упорядоченным множествам.

Если Икс является полностью упорядоченным множеством, порядок топологии на Икс генерируется подоснование "открытых лучей"

{ Displaystyle {х середина а <х }}

{ Displaystyle {х середина х <Ь }}

для всех а, б в Икс. При условии Икс имеет как минимум два элемента, это равносильно утверждению, что открытый интервалы

{ displaystyle (a, b) = {x mid a

вместе с указанными выше лучами образуют основание для топологии заказа. Открытое наступает в Икс наборы, которые являются союз таких открытых интервалов и лучей (возможно, бесконечно много).

А топологическое пространство Икс называется заказываемый если существует полный порядок на его элементах такой, что топология порядка, индуцированная этим порядком и данной топологией на Икс совпадают. Топология заказа делает Икс в совершенно нормально Пространство Хаусдорфа.

Стандартные топологии на р, Q, Z, и N топологии порядка.

Топология индуцированного порядка

Если Y это подмножество Икс, Икс полностью упорядоченный набор, то Y наследует общий порядок от Икс. Набор Y поэтому имеет порядковую топологию, топология индуцированного порядка. Как подмножество Икс, Y также есть топология подпространства. Топология подпространства всегда не ниже отлично как топология индуцированного порядка, но в целом они не то же самое.

Например, рассмотрим подмножество Y = {–1} ∪ {1/п}_п∈N в рациональные. При топологии подпространств одноэлементный набор {–1} открыт в Y, но при топологии индуцированного порядка любое открытое множество, содержащее –1, должно содержать все элементы пространства, кроме конечного числа.

Пример подпространства линейно упорядоченного пространства, топология которого не является порядковой топологией

Хотя топология подпространства Y = {–1} ∪ {1/п}_п∈N в предыдущем разделе показано, что они не порождаются индуцированным порядком на Y, тем не менее, это порядковая топология на Y; действительно, в топологии подпространства каждая точка изолирована (т. е. одноэлемент {y} открыт в Y за каждый год Y), поэтому топология подпространств - это дискретная топология на Y (топология, в которой каждое подмножество Y - открытое множество), а дискретная топология на любом множестве - порядковая топология. Чтобы определить общий порядок на Y который порождает дискретную топологию на Y, просто измените индуцированный порядок на Y определив -1 как наибольший элемент Y и в остальном сохраняя тот же порядок для других точек, так что в этом новом порядке (назовите это скажем <₁) имеем 1 /п <₁ –1 для всех п ∈ N. Тогда в порядке топологии на Y создано <₁, каждая точка Y изолирован в Y.

Мы хотим определить здесь подмножество Z линейно упорядоченного топологического пространства Икс так что нет полного заказа на Z порождает топологию подпространства на Z, так что топология подпространства не будет топологией порядка, даже если это топология подпространства пространства, топология которого является топологией порядка.

Позволять ${ Displaystyle Z = {- 1 } чашка (0,1)}$ в реальной строке. Тот же аргумент, что и ранее, показывает, что топология подпространства на Z не равна топологии индуцированного порядка на Z, но можно показать, что топология подпространства на Z не может быть равна любой топологии порядка на Z.

Далее следует аргумент. Предположим от противного, что существует некоторая строгий общий порядок <на Z, такая, что топология порядка, порожденная <, равна топологии подпространства на Z (обратите внимание, что мы не предполагаем, что <является индуцированным порядком на Z, а скорее произвольно заданным полным порядком на Z, который порождает топологию подпространства) . В дальнейшем обозначение интервалов следует интерпретировать относительно отношения <. Кроме того, если А и B наборы, ${ displaystyle A$ означает, что ${ displaystyle a$ для каждого а в А и б в B.

Позволять M = Z {-1}, единичный интервал. M подключен. Если м, п ∈ M и м < -1 < п, тогда ${ displaystyle (- infty, -1)}$ и ${ displaystyle (-1, infty)}$ отдельный M, противоречие. Таким образом, M <{-1} или {-1} <M. Без ограничения общности предположим, что {-1} <M. Поскольку {-1} открыт в Z, есть какой-то смысл п в M такой, что интервал (-1, п) пусто. Поскольку {-1} <M, мы знаем, что -1 - единственный элемент Z это меньше чем п, так п это минимум M. потом M \ {п} = А ∪ B, куда А и B непустые открытые и непересекающиеся связные подмножества M (удаление точки из открытого интервала дает два открытых интервала). По связности нет смысла Z\B может находиться между двумя точками B, и нет смысла Z\А может лежать между двумя точками A. Следовательно, либо A п < а и (п,а) ${ displaystyle substeq}$ А. Тогда (-1,а)=[п,а), так [п,а) открыт. {п}∪А=[п,а)∪А, так {п}∪А открытое подмножество M и поэтому M = ({п}∪А) ∪ B является объединением двух непересекающихся открытых подмножеств M так M не связано, противоречие.

Топологии левого и правого порядка

Можно привести несколько вариантов топологии заказа:

В топология правильного порядка на Икс - топология, открытые множества которой состоят из интервалов вида (а, ∞) (включая (-∞, ∞)).^[1]
В топология левого порядка на Икс - топология, открытые множества которой состоят из интервалов вида (−∞, б) (включая (-∞, ∞)).

Топологии левого и правого порядка могут быть использованы в качестве контрпримеров в общей топологии. Например, топология левого или правого порядка на ограниченном множестве дает пример компактное пространство это не Хаусдорф.

Топология левого порядка - это стандартная топология, используемая для многих теоретико-множественных целей на Булева алгебра.

Порядковый номер

Для любого порядковый номер λ можно рассматривать пространства порядковых чисел

{ Displaystyle [0, лямбда) = { альфа середина альфа < лямбда }}

{ displaystyle [0, lambda] = { alpha mid alpha leq lambda }}

вместе с топологией естественного порядка. Эти пространства называются порядковые пробелы. (Обратите внимание, что в обычном теоретико-множественном построении порядковых чисел λ = [0, λ) и λ + 1 = [0, λ]). Очевидно, что эти пространства представляют наибольший интерес, когда λ - бесконечный ординал; в противном случае (для конечных ординалов) топология порядка - это просто дискретная топология.

Когда λ = ω (первый бесконечный ординал), пространство [0, ω) просто N с обычной (пока еще дискретной) топологией, а [0, ω] - одноточечная компактификация из N.

Особый интерес представляет случай, когда λ = ω₁, множество всех счетных ординалов и первый несчетный порядковый номер. Элемент ω₁ это предельная точка подмножества [0, ω₁) даже если никакая последовательность элементов в [0, ω₁) имеет элемент ω₁ как его предел. В частности, [0, ω₁] не является исчисляемый первым. Подпространство [0, ω₁) является первым счетным, поскольку единственная точка без счетного местная база это ω₁. Некоторые дополнительные свойства включают

ни [0, ω₁) или [0, ω₁] является отделяемый или же счетный
[0, ω₁] является компактный а [0, ω₁) является последовательно компактный и счетно компактный, но не компактный или паракомпакт

Топология и порядковые номера

Ординалы как топологические пространства

Любой порядковый номер можно превратить в топологическое пространство наделяя его топологией порядка (поскольку, будучи хорошо упорядоченным, порядковый номер, в частности полностью заказанный ): при отсутствии указаний на обратное всегда подразумевается топология этого порядка, когда порядковый номер рассматривается как топологическое пространство. (Обратите внимание: если мы готовы принять соответствующий класс как топологическое пространство, тогда класс всех ординалов также является топологическим пространством для топологии порядка.)

Набор предельные точки ординала α - это в точности множество предельные порядковые номера меньше чем α. Последовательные порядковые номера (и ноль) меньше α являются изолированные точки в α. В частности, конечные ординалы и ω равны дискретный топологические пространства, и никакие другие порядковые номера не являются дискретными. Ординал α равен компактный как топологическое пространство тогда и только тогда, когда α является порядковый номер преемника.

Замкнутые множества предельного ординала α - это просто замкнутые множества в том смысле, что мы имеем уже определено, а именно те, которые содержат предельный ординал, если они содержат все достаточно большие ординалы ниже него.

Любой ординал, конечно, является открытым подмножеством любого последующего ординала. Мы также можем определить топологию ординалов следующим индуктивным способом: 0 - пустое топологическое пространство, α + 1 получается взятием одноточечная компактификация α, а для δ - предельный ординал, δ наделен индуктивный предел топология. Заметим, что если α - последовательный ординал, то α компактно, и в этом случае его одноточечная компактификация α + 1 является несвязным объединением α и точки.

Как топологические пространства, все ординалы Хаусдорф и даже нормальный. Они также полностью отключен (компоненты связности - точки), разбросанный (каждый непустой набор имеет изолированную точку; в этом случае просто возьмите наименьший элемент), нульмерный (топология имеет открытый базис: здесь открытый интервал (β, γ) записывается как объединение открытых интервалов (β, γ '+ 1) = [β + 1, γ'] для γ '<γ). Однако они не экстремально отключенный вообще (есть открытые множества, например четные числа из ω, закрытие которых не открыто).

Топологические пространства ω₁ и его преемник ω₁+1 часто используются как учебные примеры несчетных топологических пространств, например, в топологическом пространстве ω₁+1, элемент ω₁ находится в замыкании подмножества ω₁ хотя ни одна последовательность элементов в ω₁ имеет элемент ω₁ как предел: элемент из ω₁ - счетное множество; для любой последовательности таких наборов объединение этих наборов является объединением счетного числа счетных множеств, поэтому все еще счетно; это объединение является верхней границей элементов последовательности и, следовательно, пределом последовательности, если она есть.

Пространство ω₁ является исчисляемый первым, но нет счетный, а ω₁+1 не имеет ни одного из этих двух свойств, несмотря на то, что компактный. Также стоит отметить, что любая непрерывная функция из ω₁ к р (в реальная линия ) в конечном итоге постоянна: поэтому Каменно-чешская компактификация из ω₁ это ω₁+1, как и его одноточечная компактификация (в отличие от ω, чья компактификация Стоуна – Чеха намного больше чем ω).

Последовательности с порядковым индексом

Если α - предельный ординал и Икс - множество, α-индексированная последовательность элементов Икс просто означает функцию от α до Икс. Эта концепция, трансфинитная последовательность или же порядково-индексированная последовательность, является обобщением концепции последовательность. Обычная последовательность соответствует случаю α = ω.

Если Икс является топологическим пространством, мы говорим, что α-индексированная последовательность элементов Икс сходится до предела Икс когда он сходится как сеть другими словами, если задано любое соседство U из Икс существует ординал β <α такой, что Икс_ι в U для всех ι≥β.

Последовательности с порядковым индексом более эффективны, чем обычные (ω-индексированные) последовательности для определения ограничений в топологии: например, ω₁ (омега-один, множество всех счетных порядковых чисел и наименьшее несчетное порядковое число), является предельной точкой ω₁+1 (потому что это предельный ординал), и, действительно, это предел ω₁-индексированная последовательность, отображающая любой порядковый номер меньше ω₁ самому себе: однако это не предел любой обычной (ω-индексированной) последовательности в ω₁, так как любой такой предел меньше или равен объединению его элементов, которое является счетным объединением счетных множеств, следовательно, само счетное.

Однако последовательности с порядковым индексом недостаточно эффективны, чтобы заменить сети (или фильтры ) в целом: например, на Тихоновская доска (пространство продукта ${ Displaystyle ( омега _ {1} +1) раз ( омега +1)}$ ), угловая точка ${ displaystyle ( omega _ {1}, omega)}$ является предельной точкой (она находится в замыкании) открытого подмножества ${ displaystyle omega _ {1} times omega}$ , но это не предел последовательности с порядковым индексом.

Смотрите также

Примечания

^ Стин, п. 74.