Компактификация (математика) - Compactification (mathematics)

В математика, в общая топология, компактификация это процесс или результат создания топологическое пространство в компактное пространство.^[1] Компактное пространство - это пространство, в котором каждый открытая крышка пространства содержит конечное подпокрытие. Способы компактификации различны, но каждый из них представляет собой способ управления точками от «ухода в бесконечность» путем некоторого добавления «точек на бесконечности» или предотвращения такого «ухода».

Пример

Рассмотрим реальная линия с его обычной топологией. Это пространство не компактно; в некотором смысле точки могут уходить на бесконечность влево или вправо. Можно превратить реальную прямую в компактное пространство, добавив единственную «бесконечно удаленную точку», которую мы обозначим как ∞. Результирующую компактификацию можно представить себе как круг (который компактен как замкнутое и ограниченное подмножество евклидовой плоскости). Каждая последовательность, уходящая в бесконечность в реальной прямой, затем сходится к ∞ в этой компактификации.

Интуитивно процесс можно изобразить следующим образом: сначала уменьшите реальную линию до открытый интервал (-π, π) на Икс-ось; затем загните концы этого отрезка вверх (в положительном у-направление) и перемещайте их друг к другу, пока не получите круг, в котором отсутствует одна точка (самая верхняя). Эта точка - наша новая точка ∞ «на бесконечности»; добавление завершает компактный круг.

Чуть более формально: мы представляем точку на единичный круг своим угол, в радианы, переходя от -π к π для простоты. Отождествим каждую такую точку θ на окружности с соответствующей точкой на вещественной прямой загар (θ / 2). Эта функция не определена в точке π, так как tan (π / 2) не определена; мы отождествим эту точку с нашей точкой ∞.

Поскольку касательные и обратные касательные являются непрерывными, наша идентификационная функция является гомеоморфизм между действительной прямой и единичной окружностью без ∞. То, что мы построили, называется Одноточечная компактификация Александрова действительной линии, которая обсуждается ниже в более общем виде. Также возможно уплотнение реальной линии, добавив два точки, + ∞ и -∞; это приводит к расширенная реальная линия.

Определение

An встраивание топологического пространства Икс как плотный подмножество компактного пространства называется компактификация из Икс. Часто бывает полезно встроить топологические пространства в компактные пространства, из-за особых свойств компактных пространств.

Встраивания в компактные Хаусдорфовы пространства может представлять особый интерес. Поскольку каждое компактное хаусдорфово пространство является Тихоновское пространство, и каждое подпространство тихоновского пространства является тихоновским, мы заключаем, что любое пространство, обладающее хаусдорфовой компактификацией, должно быть тихоновским пространством. На самом деле верно и обратное; быть тихоновским пространством необходимо и достаточно для обладания хаусдорфовой компактификацией.

Тот факт, что большие и интересные классы некомпактных пространств действительно имеют компактификации определенного типа, делает компактификацию обычным методом в топологии.

Одноточечная компактификация Александрова

Для любого некомпактного топологического пространства Икс (Александров) одноточечная компактификация αИкс из Икс получается добавлением одной дополнительной точки ∞ (часто называемой точка в бесконечности) и определение открытые наборы нового пространства, чтобы быть открытыми наборами Икс вместе с наборами формы грамм ∪ {∞}, где грамм открытое подмножество Икс такой, что Икс грамм закрытый и компактный. Одноточечная компактификация Икс хаусдорфова тогда и только тогда, когда Икс хаусдорфова, некомпактная и локально компактный.^[2]

Каменно-чешская компактификация

Особый интерес представляют компактификации Хаусдорфа, т. Е. Компактификации, в которых компактное пространство Хаусдорф. Топологическое пространство обладает компактификацией Хаусдорфа тогда и только тогда, когда оно Тихонов. В этом случае имеется единственный (вплоть до гомеоморфизм ) "самая общая" компактификация Хаусдорфа, Каменно-чешская компактификация из Икс, обозначаемый βИкс; формально это демонстрирует категория компактных хаусдорфовых пространств и непрерывных отображений как отражающая подкатегория категории тихоновских пространств и непрерывных отображений.

«Самый общий» или формально «отражающий» означает, что пространство βИкс характеризуется универсальная собственность что любой непрерывная функция из Икс в компактное хаусдорфово пространство K продолжается до непрерывной функции из βИкс к K уникальным способом. Более точно, βИкс компактное хаусдорфово пространство, содержащее Икс так что индуцированная топология на Икс по βИкс совпадает с данной топологией на Икс, а для любой непрерывной карты ж:Икс → K, куда K компактное хаусдорфово пространство, существует единственное непрерывное отображение грамм: βИкс → K для которого грамм ограниченный Икс идентично ж.

Компактификацию Стоуна – Чеха можно явно построить следующим образом: пусть C - множество непрерывных функций из Икс на отрезок [0,1]. Тогда каждая точка в Икс может быть идентифицирован с функцией оценки на C. Таким образом Икс можно отождествить с подмножеством [0,1]^C, пространство все функции от C до [0,1]. Поскольку последний компактен Теорема Тихонова, закрытие Икс как подмножество этого пространства также будет компактным. Это компактификация Стоуна – Чеха.^[3]^[4]

Компактификация пространства-времени

Уолтер Бенц и Исаак Яглом показали, как стереографическая проекция на отдельный лист гиперболоид может использоваться для обеспечения компактификация для разделенных комплексных чисел. Фактически гиперболоид является частью квадрика в реальном проективном четырехмерном пространстве. Метод аналогичен тому, который используется для создания базового коллектора для групповое действие из конформная группа пространства-времени.^[5]

Проективное пространство

Реальное проективное пространство RP^п компактификация евклидова пространства р^п. Для каждого возможного "направления", в котором точки в р^п может «ускользнуть», добавляется одна новая точка на бесконечности (но каждое направление идентифицируется со своей противоположностью). Александровская одноточечная компактификация р мы построили в примере выше, фактически гомеоморфен RP¹. Обратите внимание, однако, что проективная плоскость RP² является нет одноточечная компактификация плоскости р² так как добавлено более одного балла.

Комплексное проективное пространство CP^п также является компактификацией C^п; Александровская одноточечная компактификация плоскости C является (гомеоморфной) комплексной проективной прямой CP¹, который, в свою очередь, можно отождествить со сферой, Сфера Римана.

Переход в проективное пространство - распространенный инструмент в алгебраическая геометрия потому что добавление бесконечно удаленных точек приводит к более простым формулировкам многих теорем. Например, любые две разные строки в RP² пересекаются ровно в одной точке, утверждение, которое неверно в р². В более общем смысле, Теорема Безу, что является основополагающим в теория пересечений, выполняется в проективном пространстве, но не в аффинном пространстве. Это отличное поведение пересечений в аффинном и проективном пространствах отражено в алгебраическая топология в кольца когомологий - когомологии аффинного пространства тривиальны, а когомологии проективного пространства нетривиальны и отражают ключевые особенности теории пересечений (размерность и степень подмногообразия, при этом пересечение Пуанкаре двойственный к чашка продукта ).

Компактификация пространства модулей обычно требуют разрешения определенных вырождений - например, разрешения определенных сингулярностей или приводимых многообразий. Это особенно используется в компактификации Делиня – Мамфорда пространство модулей алгебраических кривых.

Компактификация и дискретные подгруппы групп Ли

При изучении дискретный подгруппы Группы Ли, то факторное пространство из смежные классы часто является кандидатом на более тонкие компактификация чтобы сохранить структуру на более высоком уровне, чем просто топологический.

Например, модульные кривые компактифицированы добавлением одиночных точек за каждый куспид, делать их Римановы поверхности (и так, поскольку они компактны, алгебраические кривые ). Здесь куспиды есть не просто так: кривые параметризуют пространство решетки, и эти решетки могут вырождаться (`` уходить в бесконечность ''), часто несколькими способами (с учетом некоторой вспомогательной структуры уровень). Куспиды заменяют эти разные «направления в бесконечность».

На этом все решетки на плоскости. В п-размерный Евклидово пространство можно задать те же вопросы, например о SO (n) SL_п(р) / SL_п(Z). Это сложнее компактифицировать. Есть множество компактификаций, таких как Компактификация Бореля – Серра, то редуктивная компактификация Бореля-Серра, а Компактификации сатаке, который может быть сформирован.

Другие теории компактификации

Теории концы пространства и прайм заканчивается.
Некоторые «граничные» теории, такие как соединение открытого коллектора, Граница Мартина, Шиловский рубеж и Граница Фюрстенберга.
В Компактификация Бора из топологическая группа возникает из рассмотрения почти периодические функции.
В проективная прямая над кольцом для топологическое кольцо может его компактифицировать.
В Компактификация Бейли – Бореля. частного Эрмитово симметричное пространство.
В чудесная компактификация фактора алгебраических групп.
Компактификации, являющиеся одновременно выпуклыми подмножествами в локально выпуклом пространстве, называются выпуклые компактификации, их дополнительная линейная структура, позволяющая, например, для разработки дифференциального исчисления и более сложных соображений, например в релаксации в вариационном исчислении или теории оптимизации.^[6]

Смотрите также

Александров расширение