Граница Фюрстенберга - Furstenberg boundary

В теория потенциала, дисциплина внутри Прикладная математика, то Граница Фюрстенберга это понятие граница связанный с группа. Он назван в честь Гарри Фюрстенберг, который представил его в серии статей, начиная с 1963 г. (в случае полупростых Группы Ли ). Граница Фюрстенберга, грубо говоря, является универсальным пространство модулей для Интеграл Пуассона, выражая гармоническая функция на группе с точки зрения ее граничных значений.

Мотивация

Модель границы Фюрстенберга - это гиперболический диск ${\displaystyle D=\{z:|z|<1\}}$. Классическая формула Пуассона для ограниченной гармонической функции на круге имеет вид

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\hat {f}}(e^{i\theta })P(z,e^{i\theta })\,d\theta }$

куда п - ядро ​​Пуассона. Любая функция ж на круге определяет функцию на группе преобразований Мёбиуса круга, полагая F(грамм) = ж(грамм(0)). Тогда формула Пуассона имеет вид

${\displaystyle F(g)=\int _{|z|=1}{\hat {f}}(gz)\,dm(z)}$

куда м - мера Хаара на границе. Тогда эта функция является гармонической в ​​том смысле, что она удовлетворяет свойству среднего значения по отношению к мере на группе Мёбиуса, индуцированной из обычной меры Лебега диска, соответствующим образом нормированной. Связь ограниченной гармонической функции с (существенно) ограниченной функцией на границе взаимно однозначна.

Конструкция для полупростых групп

В общем, пусть грамм - полупростая группа Ли и μ a вероятностная мера на грамм то есть абсолютно непрерывный. Функция ж на грамм является μ-гармоническим, если он удовлетворяет свойству среднего значения по мере μ:

${\displaystyle f(g)=\int _{G}f(gg')\,d\mu (g')}$

Тогда существует компакт с грамм действие и мера ν, такая, что любая ограниченная гармоническая функция на грамм дан кем-то

${\displaystyle f(g)=\int _{\Pi }{\hat {f}}(gp)\,d\nu (p)}$

для некоторой ограниченной функции ${\displaystyle {\hat {f}}}$ на Π.

Пространство Π и мера ν зависят от меры μ (а значит, и от того, что именно составляет гармоническую функцию). Однако оказывается, что, хотя существует много возможностей для меры ν (которая всегда действительно зависит от μ), существует лишь конечное число пространств (с точностью до изоморфизма): это однородные пространства из грамм которые являются частными от грамм некоторой параболической подгруппой, которую можно полностью описать в терминах корневых данных и данного Разложение Ивасавы. Более того, существует максимальное такое пространство с фактор-отображениями, спускающимися во все остальные пространства, которое называется границей Фюрстенберга.

Рекомендации

• Борель, Арман; Цзи, Личжэнь, Компактификации симметричных и локально симметричных пространств (PDF)
• Фюрстенберг, Гарри (1963), "Формула Пуассона для полупростых групп Ли", Анналы математики, 77 (2): 335–386, Дои:10.2307/1970220
• Фюрстенберг, Гарри (1973), Кальвин Мур (редактор), "Граничная теория и случайные процессы на однородных пространствах", Труды симпозиумов по чистой математике, AMS, 26: 193–232