Частично упорядоченное пространство - Partially ordered space

В математике частично упорядоченное пространство^[1] (или же Pospace) это топологическое пространство ${\displaystyle X}$ оборудован закрытым частичный заказ ${\displaystyle \leq }$, т.е. частичный порядок, график которого ${\displaystyle \{(x,y)\in X^{2}\mid x\leq y\}}$ является замкнутым подмножеством ${\displaystyle X^{2}}$.

Из pospaces можно определить dimaps, т.е. непрерывные карты между pospaces, которые сохраняют отношение порядка.

Эквивалентности

Для топологического пространства ${\displaystyle X}$ оборудован частичным заказом ${\displaystyle \leq }$, следующие эквиваленты:

• ${\displaystyle X}$ - частично упорядоченное пространство.
• Для всех ${\displaystyle x,y\in X}$ с ${\displaystyle x\not \leq y}$, есть открытые множества ${\displaystyle U,V\subset X}$ с ${\displaystyle x\in U,y\in V}$ и ${\displaystyle u\not \leq v}$ для всех ${\displaystyle u\in U,v\in V}$.
• Для всех ${\displaystyle x,y\in X}$ с ${\displaystyle x\not \leq y}$, есть непересекающиеся окрестности ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle V}$ из ${\displaystyle y}$ такой, что ${\displaystyle U}$ является верхний набор и ${\displaystyle V}$ это нижний набор.

В топология заказа является частным случаем этого определения, поскольку общий заказ тоже частичный заказ.

Характеристики

Каждый pospace - это Пространство Хаусдорфа. Если взять равенство ${\displaystyle =}$ как частичный порядок, это определение становится определением хаусдорфова пространства.

Поскольку граф замкнут, если ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ и ${\displaystyle \left(y_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ находятся сети сходится к Икс и усоответственно такие, что ${\displaystyle x_{\alpha }\leq y_{\alpha }}$ для всех ${\displaystyle \alpha }$, тогда ${\displaystyle x\leq y}$.

Смотрите также

• Упорядоченное векторное пространство

Рекомендации

1. Gierz, G .; Hofmann, K. H .; Keimel, K .; Lawson, J.D .; Mislove, M .; Скотт, Д. С. (2009). «Непрерывные решетки и домены». Дои:10.1017 / CBO9780511542725.

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.

внешняя ссылка

• заказанное пространство по Planetmath