Единица заказа - Order unit

An единица заказа является элементом упорядоченное векторное пространство который можно использовать для привязки всех элементов сверху.^[1] Таким образом (как видно из первого пример ниже) единица заказа обобщает элемент единицы в вещественных числах.

В соответствии с Х. Х. Шефер, «большинство упорядоченных векторных пространств, встречающихся в анализе, не имеют порядковых единиц».^[2]

Определение

Для заказа конуса ${\displaystyle K\subseteq X}$ в векторное пространство ${\displaystyle X}$, элемент ${\displaystyle e\in K}$ единица заказа (точнее, ${\displaystyle K}$-order unit), если для каждого ${\displaystyle x\in X}$ существует ${\displaystyle \lambda _{x}>0}$ такой, что ${\displaystyle \lambda _{x}e-x\in K}$ (т.е. ${\displaystyle x\leq _{K}\lambda _{x}e}$).^[3]

Эквивалентное определение

Заказные единицы заказывающего конуса ${\displaystyle K\subseteq X}$ эти элементы в алгебраический интерьер из ${\displaystyle K}$, т.е. дается ${\displaystyle \operatorname {core} (K)}$.^[3]

Примеры

Позволять ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ быть действительными числами и ${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}}$, то единичный элемент ${\displaystyle 1}$ является единица заказа.

Позволять ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}^{n}=\{x\in \mathbb {R} :\forall i=1,\ldots ,n:x_{i}\geq 0\}}$, то единичный элемент ${\displaystyle {\vec {1}}=(1,\ldots ,1)}$ является единица заказа.

Каждая внутренняя точка положительного конуса заказал TVS это единица заказа.^[2]

Характеристики

Каждая единица заказа упорядоченной TVS является внутренней по отношению к положительному конусу для топологии порядка.^[2]

Если (Икс, ≤) является предварительно упорядоченным векторным пространством над вещественными числами с порядковой единицей ты, то карта ${\displaystyle p(x):=\inf \left\{t\in \mathbb {R} :x\leq tu\right\}}$ это сублинейный функционал.^[4]

Норма единицы заказа

Предполагать (Икс, ≤) - упорядоченное векторное пространство над вещественными числами с порядковой единицей ты чей заказ Архимедов и разреши U = [-ты, ты]. Тогда Функционал Минковского п_U из U (определяется ${\displaystyle p_{U}(x):=\left\{r>0:x\in r[-u,u]\right\}}$) - норма, называемая норма единицы заказа. Это удовлетворяет п_U(ты) = 1 и замкнутый единичный шар, определяемый п_U равно [-ты, ты] (т.е. [-ты, ты] = \{ Икс в Икс : п_U(Икс) ≤ 1 \}.^[4]

Рекомендации

1. Fuchssteiner, Benno; Луски, Вольфганг (1981). Выпуклые конусы. Эльзевир. ISBN  9780444862907.
2. Шефер и Вольф, 1999 г. С. 230–234.
3. Хараламбос Д. Алипрантис; Раби Турки (2007). Конусы и двойственность. Американское математическое общество. ISBN  9780821841464.
4. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 139-153.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.