Алгебраический интерьер - Algebraic interior

В функциональный анализ, раздел математики, алгебраический интерьер или же радиальное ядро подмножества векторное пространство является уточнением концепции интерьер. Это подмножество точек, содержащихся в данном наборе, относительно которого он поглощающий, т.е. радиальный точки набора.^[1] Элементы алгебраического интерьера часто называют внутренние точки.^[2][3]

Если M является линейным подпространством в Икс и ${\displaystyle A\subseteq X}$ затем алгебраическая внутренность ${\displaystyle A}$ относительно M является:^[4]

${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A:=\left\{a\in X:\forall m\in M,\exists t_{m}>0{\text{ s.t. }}a+[0,t_{m}]\cdot m\subseteq A\right\}.}$

где ясно что ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\subseteq A}$ и если ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\neq \emptyset }$ тогда ${\displaystyle M\subseteq \operatorname {aff} (A-A)}$, куда ${\displaystyle \operatorname {aff} (A-A)}$ это аффинная оболочка из ${\displaystyle A-A}$ (что равно ${\displaystyle \operatorname {span} (A-A)}$).

Алгебраический интерьер (ядро)

Набор ${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A}$ называется алгебраическая внутренность А или ядро А и обозначается ${\displaystyle A^{i}}$ или же ${\displaystyle \operatorname {core} A}$. Формально, если ${\displaystyle X}$ является векторным пространством, то алгебраическая внутренность ${\displaystyle A\subseteq X}$ является

${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A:=\operatorname {core} (A):=\left\{a\in A:\forall x\in X,\exists t_{x}>0,\forall t\in [0,t_{x}],a+tx\in A\right\}.}$^[5]

Если А непусто, то эти дополнительные подмножества также полезны для формулировок многих теорем выпуклого функционального анализа (например, Теорема Урсеску ):

${\displaystyle {}^{ic}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed set,}}\\\emptyset &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$

${\displaystyle {}^{ib}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {span} (A-a){\text{ is a barrelled linear subspace of }}X{\text{ for any/all }}a\in A{\text{,}}\\\emptyset &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$

Если Икс это Fréchet space, А выпуклый, а ${\displaystyle \operatorname {aff} A}$ закрыт в Икс тогда ${\displaystyle {}^{ic}A={}^{ib}A}$ но в целом возможно иметь ${\displaystyle {}^{ic}A=\emptyset }$ пока ${\displaystyle {}^{ib}A}$ является нет пустой.

Пример

Если ${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ тогда ${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)}$, но ${\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)}$ и ${\displaystyle 0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$.

Свойства сердечника

Если ${\displaystyle A,B\subset X}$ тогда:

• В целом, ${\displaystyle \operatorname {core} (A)\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$.
• Если ${\displaystyle A}$ это выпуклый набор тогда:
  • ${\displaystyle \operatorname {core} (A)=\operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$, и
  • для всех ${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {core} A,y\in A,0<\lambda \leq 1}$ тогда ${\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} A}$
• ${\displaystyle A}$ является поглощающий если и только если ${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)}$.^[1]
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B\subset \operatorname {core} (A+B)}$^[6]
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)}$ если ${\displaystyle B=\operatorname {core} B}$^[6]

Отношение к интерьеру

Позволять ${\displaystyle X}$ быть топологическое векторное пространство, ${\displaystyle \operatorname {int} }$ обозначают внутренний оператор, а ${\displaystyle A\subset X}$ тогда:

• ${\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A}$
• Если ${\displaystyle A}$ непусто выпукло и ${\displaystyle X}$ конечномерно, то ${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$^[2]
• Если ${\displaystyle A}$ выпукло с непустой внутренностью, то ${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$^[7]
• Если ${\displaystyle A}$ замкнутое выпуклое множество и ${\displaystyle X}$ это полное метрическое пространство, тогда ${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$^[8]

Относительно алгебраический интерьер

Если ${\displaystyle M=\operatorname {aff} (A-A)}$ тогда набор ${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A}$ обозначается ${\displaystyle {}^{i}A:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (A-A)}A}$ и это называется относительная алгебраическая внутренность ${\displaystyle A}$.^[6] Это название связано с тем, что ${\displaystyle a\in A^{i}}$ если и только если ${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$ и ${\displaystyle a\in {}^{i}A}$ (куда ${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$ если и только если ${\displaystyle \operatorname {aff} \left(A-A\right)=X}$).

Относительный интерьер

Если А является подмножеством топологического векторного пространства Икс затем относительный интерьер из А это набор

${\displaystyle \operatorname {rint} A:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} A}A}$.

То есть это топологическая внутренность A в ${\displaystyle \operatorname {aff} A}$, которое является наименьшим аффинным линейным подпространством в Икс содержащий А. Также пригодится следующий набор:

${\displaystyle \operatorname {ri} A:={\begin{cases}\operatorname {rint} A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed subspace of }}X{\text{,}}\\\emptyset &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$

Квази относительный интерьер

Если А является подмножеством топологического векторного пространства Икс затем квазиотносительный интерьер из А это набор

${\displaystyle \operatorname {qri} A:=\left\{a\in A:{\overline {\operatorname {cone} }}(A-a){\text{ is a linear subspace of }}X\right\}}$.

В Хаусдорф конечномерное топологическое векторное пространство, ${\displaystyle \operatorname {qri} A={}^{i}A={}^{ic}A={}^{ib}A}$.

Смотрите также

• Граничная точка
• Интерьер (топология)
• Квази-относительный интерьер
• Относительный интерьер
• Единица заказа
• Теорема Урсеску

Рекомендации

1. Яшке, Стефан; Кучлер, Уве (2000). «Согласованные меры риска, границы оценки и (${\displaystyle \mu ,\rho }$) -Оптимизация портфеля ».
2. Aliprantis, C.D .; Граница, K.C. (2007). Бесконечный анализ измерений: автостопом (3-е изд.). Springer. С. 199–200. Дои:10.1007/3-540-29587-9. ISBN  978-3-540-32696-0.
3. Джон Кук (21 мая 1988 г.). «Разделение выпуклых множеств в линейных топологических пространствах» (pdf). Получено 14 ноября, 2012.
4. Залинеску 2002, п. 2.
5. Николай Капитонович Никольский (1992). Функциональный анализ I: линейный функциональный анализ. Springer. ISBN  978-3-540-50584-6.
6. Зэлинеску, К. (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах. Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co., Inc., стр. 2–3. ISBN  981-238-067-1. МИСТЕР  1921556.
7. Шмуэль Канторовиц (2003). Введение в современный анализ. Oxford University Press. п. 134. ISBN  9780198526568.
8. Боннанс, Дж. Фредерик; Шапиро, Александр (2000), Анализ возмущений оптимизационных задач., Серия Спрингера в исследовании операций, Springer, замечание 2.73, с. 56, ISBN  9780387987057.

• Залинеску, К. (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах. World Scientific. ISBN  978-981-238-067-8.