Топологии операторов - Operator topologies

в математический поле функциональный анализ есть несколько стандартных топологии которые заданы алгебре $B (Икс)$ из ограниченные линейные операторы на Банахово пространство $Икс$ .

Вступление

Позволять ${ displaystyle (T_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ - последовательность линейных операторов в банаховом пространстве $Икс$ . Рассмотрим утверждение, что ${ displaystyle (T_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ сходится к некоторому оператору $Т$ на $Икс$ . Это могло иметь несколько разных значений:

Если ${ displaystyle | T_ {n} -T | к 0}$ , это норма оператора из ${ displaystyle T_ {n} -T}$ (супремум ${ displaystyle | T_ {n} x-Tx | _ {X}}$ , куда $Икс$ колеблется в единичный мяч в $Икс$ ) сходится к 0, мы говорим, что ${ displaystyle T_ {n} to T}$ в унифицированная операторная топология.
Если ${ displaystyle T_ {n} x to Tx}$ для всех ${ displaystyle x in X}$ , тогда мы говорим ${ displaystyle T_ {n} to T}$ в сильная операторная топология.
Наконец, предположим, что для всех $Икс \in Икс$ у нас есть ${ displaystyle T_ {n} x to Tx}$ в слабая топология из $Икс$ . Это означает, что ${ Displaystyle F (T_ {п} х) к F (Tx)}$ для всех линейные функционалы $F$ на $Икс$ . В этом случае мы говорим, что ${ displaystyle T_ {n} to T}$ в слабая операторная топология.

Список топологий на B (ЧАС)

Схема взаимосвязи топологий на пространстве

B (Икс)

ограниченных операторов

Есть много топологий, которые можно определить на $B (Икс)$ помимо использованных выше; большинство из них сначала определяются только тогда, когда $Икс = ЧАС$ является гильбертовым пространством, хотя во многих случаях имеются подходящие обобщения. Все перечисленные ниже топологии являются локально выпуклыми, что означает, что они определяются семейством полунормы.

В анализе топология называется сильной, если у нее много открытых множеств, и слабой, если у нее мало открытых множеств, так что соответствующие режимы сходимости являются, соответственно, сильным и слабым. (В собственно топологии эти термины могут иметь противоположное значение, поэтому сильные и слабые заменяются соответственно точными и грубыми.) Диаграмма справа представляет собой краткое изложение отношений со стрелками, указывающими от сильного к слабому.

Если $ЧАС$ гильбертово пространство, Гильбертово пространство $B (Икс)$ имеет (уникальный) преддуальный ${ displaystyle B (H) _ {*}}$ , состоящий из операторов класса следа, двойственный $B (Икс)$ . Полунорма $п ш (Икс)$ за ш положительный в преддуале определяется как $B (ш, Икс * Икс) 1/2$ .

Если $B$ - векторное пространство линейных отображений в векторном пространстве $А$ , тогда $σ (А, B)$ определяется как самая слабая топология на $А$ так что все элементы $B$ непрерывны.

В топология нормы или же однородная топология или же унифицированная операторная топология определяется обычной нормой ||Икс|| на $B (ЧАС)$ . Это сильнее, чем все другие топологии, представленные ниже.
В слабая (банахово пространство) топология является $σ (B (ЧАС), B (ЧАС) *)$ , другими словами, самая слабая топология такая, что все элементы двойственной $B (ЧАС) *$ непрерывны. Это слабая топология на банаховом пространстве $B (ЧАС)$ . Он сильнее, чем сверхслабая и слабая операторная топологии. (Предупреждение: слабую топологию банахова пространства, слабую операторную топологию и сверхслабую топологию иногда называют слабой топологией, но они разные.)
В Топология Макки или же Топология Аренса-Макки является сильнейшей локально выпуклой топологией на $B (ЧАС)$ такой, что двойник $B (ЧАС) *$ , а также топология равномерной сходимости на $Bσ (B (ЧАС) *$ , $B (ЧАС)$ -компактные выпуклые подмножества $B (ЧАС) *$ . Это сильнее, чем все топологии ниже.
В σ-сильный^* топология или же сверхсильный^* топология является самой слабой топологией, более сильной, чем сверхсильная топология, при которой сопряженное отображение непрерывно. Он определяется семейством полунорм $п ш (Икс)$ и $п ш (Икс *)$ для положительных элементов $ш$ из $B (ЧАС) *$ . Это сильнее, чем все топологии ниже.
В σ-сильная топология или же сверхсильная топология или же сильнейшая топология или же топология сильнейшего оператора определяется семейством полунорм $п ш (Икс)$ для положительных элементов $ш$ из $B (ЧАС) *$ . Он сильнее всех топологий ниже, кроме сильной^* топология. Предупреждение: несмотря на название «сильнейшая топология», она слабее, чем топология нормы.)
В σ-слабая топология или же сверхслабая топология или же слабый^* топология оператора или же слабая * топология или же слабая топология или же $σ (B (ЧАС), B (ЧАС) *$ ) топология определяется семейством полунорм | (ш, Икс) | для элементов ш из $B (ЧАС) *$ . Это сильнее слабой операторной топологии. (Предупреждение: слабую топологию банахова пространства, слабую операторную топологию и сверхслабую топологию иногда называют слабой топологией, но они разные.)
В сильный^* топология оператора или же сильный^* топология определяется полунормами ||Икс(час) || и ||Икс^*(час) || за $час \in ЧАС$ . Это сильнее, чем сильная и слабая операторные топологии.
В сильная операторная топология (SOT) или сильная топология определяется полунормами ||Икс(час) || за $час \in ЧАС$ . Это сильнее слабой операторной топологии.
В слабая операторная топология (WOT) или слабая топология определяется полунормами | (Икс(час₁), час₂) | за $час 1, час 2 \in ЧАС$ . (Предупреждение: слабую топологию банахова пространства, слабую операторную топологию и сверхслабую топологию иногда называют слабой топологией, но они разные.)

Отношения между топологиями

Непрерывные линейные функционалы на $B (ЧАС)$ для слабых, сильных и сильных^* (операторные) топологии одинаковы и представляют собой конечные линейные комбинации линейных функционалов (xчас₁, час₂) за $час 1, час 2 \in ЧАС$ . Непрерывные линейные функционалы на $B (ЧАС)$ для сверхслабых, сверхсильных, сверхсильных^* и топологии Аренса-Макки одинаковы и являются элементами преддуального $B (ЧАС) *$ .

По определению, непрерывные линейные функционалы в топологии нормы такие же, как и в топологии слабого банахова пространства. Этот дуал - довольно большое пространство с множеством патологических элементов.

На ограниченных по норме множествах $B (ЧАС)$ , слабая (операторная) и сверхслабая топологии совпадают. Это можно увидеть, например, через Теорема Банаха – Алаоглу. По сути, по той же причине ультрасильная топология такая же, как и сильная топология на любом (по норме) ограниченном подмножестве $B (ЧАС)$ . То же верно и для топологии Аренса-Макки, сверхсильной^*, и сильные^* топология.

В локально выпуклых пространствах замыкание выпуклых множеств можно характеризовать непрерывными линейными функционалами. Следовательно, для выпуклый подмножество $K$ из $B (ЧАС)$ , условия, которые $K$ быть закрытым в сверхсильном^*, сверхсильная и сверхслабая топологии эквивалентны, а также эквивалентны условиям, которые для всех $р > 0$ , $K$ имеет замкнутое пересечение с замкнутым шаром радиуса $р$ в сильном^*, сильная или слабая (операторная) топологии.

Топология нормы метризуема, а остальные - нет; на самом деле они не могут быть исчисляемый первым. Однако когда $ЧАС$ сепарабелен, все вышеперечисленные топологии метризуемы при ограничении на единичный шар (или на любое ограниченное по норме подмножество).

Какую топологию мне использовать?

Наиболее часто используемые топологии - это топологии норм, сильных и слабых операторов. Слабая операторная топология полезна для аргументов компактности, потому что единичный шар компактен по Теорема Банаха – Алаоглу. Топология нормы является фундаментальной, потому что она делает $B (ЧАС)$ в банахово пространство, но оно слишком сильно для многих целей; Например, $B (ЧАС)$ неотделима в этой топологии. Чаще всего может использоваться сильная операторная топология.

Сверхслабая и сверхсильная топологии ведут себя лучше, чем топологии слабых и сильных операторов, но их определения более сложны, поэтому они обычно не используются, если действительно не требуются их лучшие свойства. Например, двойственное пространство $B (ЧАС)$ в слабой или сильной топологии операторов слишком мала, чтобы иметь много аналитического содержания.

Сопряженное отображение не является непрерывным в сильных операторных и сверхсильных топологиях, в то время как сильные * и сверхсильные * топологии являются модификациями, так что сопряженное становится непрерывным. Они используются не очень часто.

Топология Аренса – Макки и топология слабого банахова пространства используются относительно редко.

Подводя итог, три основных топологии на $B (ЧАС)$ - нормальная, сверхсильная и сверхслабая топологии. Слабые и сильные операторные топологии широко используются как удобные аппроксимации сверхслабых и сверхсильных топологий. Остальные топологии относительно неясны.

Смотрите также

Банахово пространство - Полное нормированное векторное пространство
Ограниченный оператор - Линейный оператор, переводящий ограниченные подмножества в ограниченные подмножества
Непрерывный линейный оператор
Гильбертово пространство - внутреннее пространство продукта метрически завершенное; банахово пространство, норма которого индуцирует скалярное произведение (норма удовлетворяет тождеству параллелограмма)
Норма (математика) - Длина в векторном пространстве
Нормированное векторное пространство - Векторное пространство, на котором определяется расстояние
Топологии на пространствах линейных отображений
Топология - Отделение математики

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки