Теория Томиты – Такесаки - Tomita–Takesaki theory

В теории алгебры фон Неймана, часть математической области функциональный анализ, Теория Томиты – Такесаки это метод построения модульные автоморфизмы алгебр фон Неймана из полярное разложение определенной инволюции. Это важно для теории факторы III типа, и привела к хорошей теории структуры для этих ранее трудноразрешимых объектов.

Теория была введена Минору Томита (1967 ), но за его работой было трудно следить, и она в основном не публиковалась, и на нее не обращали внимания, пока Масамичи Такэсаки (1970 ) написал отчет о теории Томиты.

Модульные автоморфизмы состояния

Предположим, что M является алгеброй фон Неймана, действующей в гильбертовом пространстве ЧАС, а Ω - циклический и разделяющий вектор из ЧАС нормы 1. (Циклический Значит это МОм плотно в ЧАС, и разделение означает, что карта из M к МОм инъективно.) Мы пишем ${ displaystyle phi}$ для государства ${ Displaystyle фи (х) = (х Омега, Омега)}$ из M, так что ЧАС построен из ${ displaystyle phi}$ с использованием Конструкция Гельфанда – Наймарка – Сигала.

Мы можем определить неограниченный антилинейный оператор S₀ на ЧАС с доменом МОм установив ${ Displaystyle S_ {0} (м Omega) = m ^ {*} Omega}$ для всех м в M, и аналогично можно определить неограниченный антилинейный оператор F₀ на ЧАС с доменом M'Ω установив ${ Displaystyle F_ {0} (м Omega) = m ^ {*} Omega}$ за м в M', куда M' это коммутант из M.

Эти операторы замыкаемы, и мы обозначим их замыкания через S и F = S*. У них есть полярные разложения

{ Displaystyle S = J | S | = J Delta ^ { frac {1} {2}} = Delta ^ {- { frac {1} {2}}} J}

{ Displaystyle F = J | F | = J Delta ^ {- { frac {1} {2}}} = Delta ^ { frac {1} {2}} J}

куда ${ Displaystyle J = J ^ {- 1} = J ^ {*}}$ является антилинейной изометрией, называемой модульным сопряжением, и ${ Displaystyle Delta = S ^ {*} S = FS}$ положительный самосопряженный оператор, называемый модульный оператор.

Основной результат теории Томиты – Такесаки гласит:

{ displaystyle Delta ^ {it} M Delta ^ {- it} = M}

для всех т и это

{ displaystyle JMJ = M ',}

коммутант M.

Существует 1-параметрическое семейство модульные автоморфизмы ${ displaystyle sigma ^ { phi _ {t}}}$ из M связанный с государством ${ displaystyle phi}$ , определяется ${ displaystyle sigma ^ { phi _ {t}} (x) = Delta ^ {it} x Delta ^ {- it}}$

Коцикл Конна

Группа модулярных автоморфизмов алгебры фон Неймана M зависит от выбора состояния φ. Конн обнаружил, что изменение состояния не меняет образа модульного автоморфизма в группа внешних автоморфизмов из M. Точнее, учитывая два точных состояния φ и ψ функции M, мы можем найти унитарные элементы ты_т из M для всех реальных т такой, что

{ Displaystyle sigma ^ { psi _ {t}} (x) = u_ {t} sigma ^ { phi _ {t}} (x) u_ {t} ^ {- 1}}

так что модульные автоморфизмы отличаются внутренними автоморфизмами, и, более того, ты_т удовлетворяет условию 1-коцикла

{ Displaystyle и_ {s + t} = и_ {s} sigma ^ { phi _ {s}} (и_ {т})}

В частности, существует канонический гомоморфизм из аддитивной группы вещественных чисел в группу внешних автоморфизмов матрицы M, который не зависит от выбора верного состояния.

KMS состояния

Период, термин Состояние KMS происходит из условия Кубо – Мартина – Швингера в квантовая статистическая механика.

А Состояние KMS φ на алгебре фон Неймана M с заданной 1-параметрической группой автоморфизмов α_т состояние, фиксируемое автоморфизмами, такое, что для каждой пары элементов А, B из M существует ограниченная непрерывная функция F в полосе 0 ≤ Im (т) ≤ 1, голоморфная внутри, такая, что

{ Displaystyle { begin {align} F (t) & = phi (A alpha _ {t} (B)), F (t + i) & = phi ( alpha _ {t} ( Б) А) end {выровнено}}}

Такесаки и Виннинк показали, что состояние φ (точное полуконечное нормальное) является состоянием KMS для 1-параметрической группы модулярных автоморфизмов ${ displaystyle sigma ^ { phi _ {- t}}}$ . Более того, это характеризует модульные автоморфизмы отображения φ.

(Часто в теории состояний KMS используется дополнительный параметр, обозначаемый буквой β. В приведенном выше описании он был нормализован до 1 путем изменения масштаба однопараметрического семейства автоморфизмов.)

Структура факторов III типа

Выше мы видели, что существует канонический гомоморфизм δ из группы вещественных чисел в группу внешних автоморфизмов алгебры фон Неймана, заданный модулярными автоморфизмами. Ядро алгебры δ - важный инвариант алгебры. Для простоты предположим, что алгебра фон Неймана является фактором. Тогда возможности ядра δ таковы:

Вся настоящая линия. В этом случае δ тривиально, а фактор относится к типу I или II.
Собственная плотная подгруппа вещественной прямой. Тогда фактор называется фактором III типа.₀.
Дискретная подгруппа, порожденная некоторыми Икс > 0. Тогда фактор называется фактором III типа._λ при 0 <λ = exp (−2π/Икс) <1, а иногда и коэффициент Пауэрса.
Тривиальная группа 0. Тогда фактор называется фактором III типа.₁. (Это в некотором смысле общий случай.)

Гильбертовые алгебры

Основные результаты теории Томиты – Такесаки доказаны с использованием левой и правой гильбертовых алгебр.

А левая гильбертова алгебра является алгеброй с инволюцией Икс → Икс^♯ и внутренний продукт (,) такой, что

Левое умножение на фиксированное а ∈ А - ограниченный оператор.
♯ - присоединенный; другими словами (ху, z) = (у, Икс^♯z).
Инволюция ^♯ закрыто
Подалгебра, охватываемая всеми произведениями ху плотно в А.

А правая гильбертова алгебра определяется аналогично (с инволюцией ♭) с обращением левого и правого в приведенных выше условиях.

А Гильбертова алгебра является левой гильбертовой алгеброй такая, что, кроме того, является изометрией, другими словами (Икс, у) = (у^♯, Икс^♯).

Примеры:

Если M является алгеброй фон Неймана, действующей в гильбертовом пространстве ЧАС с циклическим разделяющим вектором v, затем положите А = Мв и определим (xv)(yv) = xyv и (xv)^♯ = Икс*v. Ключевым открытием Томиты было то, что это делает А в левую гильбертову алгебру, так, в частности, замыкание оператора ^♯ имеет полярное разложение, как указано выше. Вектор v это личность А, так А является унитальной левой гильбертовой алгеброй.
Если грамм является локально компактной группой, то векторное пространство всех непрерывных комплексных функций на грамм с компактным носителем является правой гильбертовой алгеброй, если умножение задается сверткой, и Икс^♭(грамм) = Икс(грамм⁻¹)*.

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки