Пространство Браунера - Brauner space

В функциональный анализ и смежные области математика а Пространство Браунера это полный компактно генерируемый локально выпуклое пространство ${\displaystyle X}$ имеющий последовательность компактов ${\displaystyle K_{n}}$ такой, что любой другой компакт ${\displaystyle T\subseteq X}$ содержится в некоторых ${\displaystyle K_{n}}$.

Пространства Браунера названы в честь Кальман Джордж Браунер, которые начали свое обучение.^[1] Все пространства Браунера стереотип и находятся в стереотипных двойственных отношениях с Пространства фреше:^[2][3]

• для любого пространства Фреше ${\displaystyle X}$ его стереотип двойного пространства^[4] ${\displaystyle X^{\star }}$ это пространство Браунера,
• и наоборот, для любого пространства Браунера ${\displaystyle X}$ его стереотип двойного пространства ${\displaystyle X^{\star }}$ является пространством Фреше.

Частными случаями пространств Браунера являются Пространства Смита.

Примеры

• Позволять ${\displaystyle M}$ быть ${\displaystyle \sigma }$-компактный локально компактное топологическое пространство, и ${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$ то Fréchet space всех непрерывных функций на ${\displaystyle M}$ (со значениями в ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ или же ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$), наделенный обычной топологией равномерной сходимости на компактах в ${\displaystyle M}$. Двойное пространство ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(M)}$ из Радоновые меры с компактной опорой на ${\displaystyle M}$ с топологией равномерной сходимости на компактах в ${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$ - это пространство Браунера.
• Позволять ${\displaystyle M}$ быть гладкое многообразие, и ${\displaystyle {\mathcal {E}}(M)}$ то Fréchet space всех гладких функций на ${\displaystyle M}$ (со значениями в ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ или же ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$), наделенный обычной топологией равномерной сходимости с каждой производной на компактах в ${\displaystyle M}$. Двойное пространство ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\star }(M)}$ дистрибутивов с компактной поддержкой в ${\displaystyle M}$ с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в ${\displaystyle {\mathcal {E}}(M)}$ - это пространство Браунера.
• Позволять ${\displaystyle M}$ быть Многообразие Штейна и ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$ то Fréchet space всех голоморфных функций на ${\displaystyle M}$ с обычной топологией равномерной сходимости на компактах в ${\displaystyle M}$. Двойное пространство ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(M)}$ аналитических функционалов на ${\displaystyle M}$ с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$ - это пространство Браунера.

В частном случае, когда ${\displaystyle M=G}$ обладает структурой топологическая группа пространства ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(G)}$, ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\star }(G)}$, ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(G)}$ стать естественными примерами стереотипные групповые алгебры.

• Позволять ${\displaystyle M\subseteq {\mathbb {C} }^{n}}$ быть сложным аффинное алгебраическое многообразие. Космос ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)={\mathbb {C} }[x_{1},...,x_{n}]/\{f\in {\mathbb {C} }[x_{1},...,x_{n}]:\ f{\big |}_{M}=0\}}$ многочленов (или регулярных функций) на ${\displaystyle M}$, обладая сильнейшей локально выпуклой топологией, становится пространством Браунера. Его стереотипное двойное пространство ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\star }(M)}$ (токов на ${\displaystyle M}$) это Fréchet space. В частном случае, когда ${\displaystyle M=G}$ является аффинная алгебраическая группа, ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\star }(G)}$ становится примером стереотипной групповой алгебры.
• Позволять ${\displaystyle G}$ быть компактно порожденным Группа Stein.^[5] Космос ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\exp }(G)}$ всех голоморфных функций экспоненциального типа на ${\displaystyle G}$ является пространством Браунера относительно естественной топологии.^[6]

Смотрите также

• Стереотипное пространство
• Пространство Смита

Примечания

1. Браунер 1973.
2. Акбаров 2003, п. 220.
3. Акбаров 2009 г., п. 466.
4. В стереотип дуальный пространство в локально выпуклое пространство ${\displaystyle X}$ это пространство ${\displaystyle X^{\star }}$ всех линейных непрерывных функционалов ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ наделенный топологией равномерной сходимости на вполне ограниченные множества в ${\displaystyle X}$.
5. Т.е. а Многообразие Штейна который в то же время топологическая группа.
6. Акбаров 2009 г., п. 525.

Рекомендации

• Браунер, К. (1973). «Двойники пространств Фреше и обобщение теоремы Банаха-Дьедонне». Математический журнал герцога. 40 (4): 845–855. Дои:10.1215 / S0012-7094-73-04078-7.
• Акбаров, С.С. (2003). «Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и в топологической алгебре». Журнал математических наук. 113 (2): 179–349. Дои:10.1023 / А: 1020929201133.
• Акбаров, С.С. (2009). «Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственности для групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы». Журнал математических наук. 162 (4): 459–586. arXiv:0806.3205. Дои:10.1007 / s10958-009-9646-1.