Равномерно ровное пространство - Uniformly smooth space

В математика, а равномерно гладкое пространство это нормированное векторное пространство ${\displaystyle X}$ удовлетворяющие тому свойству, что для каждого ${\displaystyle \epsilon >0}$ Существует ${\displaystyle \delta >0}$ так что если ${\displaystyle x,y\in X}$ с ${\displaystyle \|x\|=1}$ и ${\displaystyle \|y\|\leq \delta }$ тогда

${\displaystyle \|x+y\|+\|x-y\|\leq 2+\epsilon \|y\|.}$

В модуль гладкости нормированного пространства Икс - функция ρ_Икс определяется для каждого т > 0 по формуле^[1]

${\displaystyle \rho _{X}(t)=\sup {\Bigl \{}{\frac {\|x+y\|+\|x-y\|}{2}}-1\,:\,\|x\|=1,\;\|y\|=t{\Bigr \}}.}$

Неравенство треугольника дает ρ_Икс(т ) ≤ т. Нормированное пространство Икс равномерно гладко тогда и только тогда, когда ρ_Икс(т ) / т стремится к 0 как т стремится к 0.

Характеристики

• Каждый равномерно гладкий Банахово пространство является рефлексивный.^[2]
• Банахово пространство ${\displaystyle X}$ равномерно гладко тогда и только тогда, когда его непрерывный дуальный ${\displaystyle X^{*}}$ является равномерно выпуклый (и наоборот, через рефлексивность).^[3] Модули выпуклости и гладкости связаны соотношением

${\displaystyle \rho _{X^{*}}(t)=\sup\{t\varepsilon /2-\delta _{X}(\varepsilon ):\varepsilon \in [0,2]\},\quad t\geq 0,}$

а максимальная выпуклая функция мажорирована модулем выпуклости δ_Икс дан кем-то^[4]

${\displaystyle {\tilde {\delta }}_{X}(\varepsilon )=\sup\{\varepsilon t/2-\rho _{X^{*}}(t):t\geq 0\}.}$

Более того,^[5]

${\displaystyle \delta _{X}(\varepsilon /2)\leq {\tilde {\delta }}_{X}(\varepsilon )\leq \delta _{X}(\varepsilon ),\quad \varepsilon \in [0,2].}$

• Банахово пространство равномерно гладкое тогда и только тогда, когда предел

${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\|x+ty\|-\|x\|}{t}}}$

существует единообразно для всех ${\displaystyle x,y\in S_{X}}$ (куда ${\displaystyle S_{X}}$ обозначает единичная сфера из ${\displaystyle X}$).

• Когда 1 < п < ∞, то L^п-пространства равномерно гладкие (и равномерно выпуклые).

Enflo доказано^[6] что класс банаховых пространств, допускающих эквивалентную равномерно выпуклую норму, совпадает с классом сверхрефлексивный Банаховы пространства, введенные Робертом С. Джеймсом.^[7] Поскольку пространство суперрефлексивно тогда и только тогда, когда двойственное к нему суперрефлексивно, отсюда следует, что класс банаховых пространств, допускающих эквивалентную равномерно выпуклую норму, совпадает с классом пространств, допускающих эквивалентную равномерно гладкую норму. В Пизье теорема перенормировки^[8] утверждает, что суперрефлексивное пространствоИкс допускает эквивалентную равномерно гладкую норму, для которой модуль гладкости ρ_Икс удовлетворяет при некотором постоянномC и немногоп > 1

${\displaystyle \rho _{X}(t)\leq C\,t^{p},\quad t>0.}$

Отсюда следует, что всякое суперрефлексивное пространство Y допускает эквивалентную равномерно выпуклую норму, для которой модуль выпуклости удовлетворяет при некотором постоянномc > 0 и некоторые положительные реальные q

${\displaystyle \delta _{Y}(\varepsilon )\geq c\,\varepsilon ^{q},\quad \varepsilon \in [0,2].}$

Если нормированное пространство допускает две эквивалентные нормы, одну равномерно выпуклую и одну равномерно гладкую, метод усреднения Асплунда^[9] производит другую эквивалентную норму, которая одновременно является равномерно выпуклой и равномерно гладкой.

Смотрите также

• Равномерно выпуклое пространство

Примечания

1. см. определение 1.e.1, с. 59 дюйм Линденштраус и Цафрири (1979).
2. Предложение 1.e.3, с. 61 дюйм Линденштраус и Цафрири (1979).
3. Предложение 1.e.2, с. 61 дюйм Линденштраус и Цафрири (1979).
4. Предложение 1.e.6, с. 65 дюйм Линденштраус и Цафрири (1979).
5. Лемма 1.e.7 и 1.e.8, с. 66 дюйм Линденштраус и Цафрири (1979).
6. Энфло, Пер (1973), «Банаховы пространства, которым может быть задана эквивалентная равномерно выпуклая норма», Israel J. Math. 13:281–288.
7. Джеймс, Роберт С. (1972), "Суперрефлексивные банаховы пространства", Can. J. Math. 24:896–904.
8. Пизье, Жиль (1975), "Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах", Israel J. Math. 20:326–350.
9. Асплунд, Эдгар (1967), «Усредненные нормы», Israel J. Math. 5:227–233.

Рекомендации

• Дистель, Джозеф (1984). Последовательности и серии в банаховых пространствах. Тексты для выпускников по математике. 92. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. xii + 261. ISBN  0-387-90859-5.
• Ито, Киёси (1993). Математический энциклопедический словарь, том 1. MIT Press. ISBN  0-262-59020-4. [1]
• Линденштраус, Иорам; Цафрири, Лиор (1979), Классические банаховы пространства. II. Функциональные пространства, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Результаты по математике и смежным областям], 97, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 243, ISBN  3-540-08888-1.