Равномерно выпуклое пространство - Uniformly convex space

В математика, равномерно выпуклые пространства (или же равномерно круглые пространства) являются распространенными примерами рефлексивный Банаховы пространства. Понятие равномерной выпуклости было впервые введено Джеймс А. Кларксон в 1936 г.

Определение

А равномерно выпуклое пространство это нормированное векторное пространство так что для каждого ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$ существует некоторое ${\displaystyle \delta >0}$ такое, что для любых двух векторов с ${\displaystyle \|x\|=1}$ и ${\displaystyle \|y\|=1,}$ условие

${\displaystyle \|x-y\|\geq \varepsilon }$

означает, что:

${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta .}$

Интуитивно понятно, что центр отрезка внутри единичный мяч должен находиться глубоко внутри единичного шара, если только сегмент не короткий.

Характеристики

• В единичная сфера можно заменить на закрытый блок мяч в определении. А именно нормированное векторное пространство ${\displaystyle X}$ равномерно выпуклый если и только если для каждого ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$ существует некоторое ${\displaystyle \delta >0}$ так что для любых двух векторов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в замкнутом единичном шаре (т.е. ${\displaystyle \|x\|\leq 1}$ и ${\displaystyle \|y\|\leq 1}$) с ${\displaystyle \|x-y\|\geq \varepsilon }$, надо ${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta }$ (обратите внимание, что, учитывая ${\displaystyle \varepsilon }$, соответствующее значение ${\displaystyle \delta }$ может быть меньше, чем в исходном более слабом определении).

Доказательство

Часть «если» тривиальна. Наоборот, предположим теперь, что ${\displaystyle X}$ равномерно выпуклый и что ${\displaystyle x,y}$ как в заявлении, для некоторых фиксированных ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$. Позволять ${\displaystyle \delta _{1}\leq 1}$ быть ценностью ${\displaystyle \delta }$ соответствующий ${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{3}}}$ в определении равномерной выпуклости. Мы покажем, что ${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta }$, с ${\displaystyle \delta =\min \left\{{\frac {\varepsilon }{6}},{\frac {\delta _{1}}{3}}\right\}}$. Если ${\displaystyle \|x\|\leq 1-2\delta }$ тогда ${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq {\frac {1}{2}}(1-2\delta )+{\frac {1}{2}}=1-\delta }$ и утверждение доказано. Аналогичный аргумент применим и в случае ${\displaystyle \|y\|\leq 1-2\delta }$, поэтому можно считать, что ${\displaystyle 1-2\delta <\|x\|,\|y\|\leq 1}$. В этом случае, поскольку ${\displaystyle \delta \leq {\frac {1}{3}}}$, оба вектора отличны от нуля, поэтому мы можем позволить ${\displaystyle x'={\frac {x}{\|x\|}}}$ и ${\displaystyle y'={\frac {y}{\|y\|}}}$. У нас есть ${\displaystyle \|x'-x\|=1-\|x\|\leq 2\delta }$ и аналогично ${\displaystyle \|y'-y\|\leq 2\delta }$, так ${\displaystyle x'}$ и ${\displaystyle y'}$ принадлежат единичной сфере и имеют расстояние ${\displaystyle \|x'-y'\|\geq \|x-y\|-4\delta \geq \varepsilon -{\frac {4\varepsilon }{6}}={\frac {\varepsilon }{3}}}$. Следовательно, по нашему выбору ${\displaystyle \delta _{1}}$, у нас есть ${\displaystyle \left\|{\frac {x'+y'}{2}}\right\|\leq 1-\delta _{1}}$. Следует, что ${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq \left\|{\frac {x'+y'}{2}}\right\|+{\frac {\|x'-x\|+\|y'-y\|}{2}}\leq 1-\delta _{1}+2\delta \leq 1-{\frac {\delta _{1}}{3}}\leq 1-\delta }$ и утверждение доказано.

• В Теорема Мильмана – Петтиса утверждает, что каждый равномерно выпуклый Банахово пространство является рефлексивный, а обратное неверно.
• Каждая равномерно выпуклая Банахово пространство является пространством Радона-Рисса, т. е. если ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ последовательность в равномерно выпуклом банаховом пространстве, слабо сходящаяся к ${\displaystyle f}$ и удовлетворяет ${\displaystyle \|f_{n}\|\to \|f\|,}$ тогда ${\displaystyle f_{n}}$ сильно сходится к ${\displaystyle f}$, то есть, ${\displaystyle \|f_{n}-f\|\to 0}$.
• А Банахово пространство ${\displaystyle X}$ равномерно выпукла тогда и только тогда, когда двойственная ${\displaystyle X^{*}}$ является равномерно гладкий.
• Всякое равномерно выпуклое пространство есть строго выпуклый. Интуитивно строгая выпуклость означает более сильную неравенство треугольника ${\displaystyle \|x+y\|<\|x\|+\|y\|}$ в любое время ${\displaystyle x,y}$ линейно независимы, а равномерная выпуклость требует, чтобы это неравенство выполнялось равномерно.

Примеры

• Каждое гильбертово пространство равномерно выпукло.
• Каждое замкнутое подпространство равномерно выпуклого банахова пространства равномерно выпукло.
• Неравенства Ханнера подразумевают, что L^п пробелы ${\displaystyle (1<p<\infty )}$ равномерно выпуклые.
• Наоборот, ${\displaystyle L^{\infty }}$ не является равномерно выпуклым.

Смотрите также

• Модуль и характеристика выпуклости
• Равномерно выпуклая функция
• Равномерно ровное пространство

Рекомендации

• Кларксон, Дж. А. (1936). «Равномерно выпуклые пространства». Пер. Амер. Математика. Soc. Американское математическое общество. 40 (3): 396–414. Дои:10.2307/1989630. JSTOR  1989630..
• Ханнер, О. (1956). «О равномерной выпуклости ${\displaystyle L^{p}}$ и ${\displaystyle l^{p}}$". Ковчег Мат. 3: 239–244. Дои:10.1007 / BF02589410..
• Beauzamy, Бернар (1985) [1982]. Введение в банаховы пространства и их геометрию (Второе исправленное изд.). Северная Голландия. ISBN  0-444-86416-4.
• Пер Энфло (1972). «Банаховы пространства, которым можно задать эквивалентную равномерно выпуклую норму». Израильский математический журнал. 13 (3–4): 281–288. Дои:10.1007 / BF02762802.
• Линденштраус, Иорам и Беньямини, Йоав. Геометрический нелинейный функциональный анализ Публикации коллоквиума, 48. Американское математическое общество.