Неравенства Ханнерса - Hanners inequalities

В математика, Неравенства Ханнера результаты теории L^п пробелы. Их доказательство было опубликовано в 1956 г. Улоф Ханнер. Они предоставляют более простой способ доказать равномерная выпуклость из L^п места для п ∈ (1, + ∞), чем подход, предложенный Джеймс А. Кларксон в 1936 г.

Формулировка неравенств

Позволять ж, грамм ∈ L^п(E), куда E есть ли измерить пространство. Если п ∈ [1, 2], то

${\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}+\|f-g\|_{p}^{p}\geq {\big (}\|f\|_{p}+\|g\|_{p}{\big )}^{p}+{\big |}\|f\|_{p}-\|g\|_{p}{\big |}^{p}.}$

Замены F = ж + грамм и грамм = ж − грамм дают второе из неравенств Ханнера:

${\displaystyle 2^{p}{\big (}\|F\|_{p}^{p}+\|G\|_{p}^{p}{\big )}\geq {\big (}\|F+G\|_{p}+\|F-G\|_{p}{\big )}^{p}+{\big |}\|F+G\|_{p}-\|F-G\|_{p}{\big |}^{p}.}$

За п ∈ [2, + ∞) неравенства меняются местами (остаются нестрогими).

Обратите внимание, что для ${\displaystyle p=2}$ неравенства становятся равенствами, которые одновременно являются правило параллелограмма.

Рекомендации

• Кларксон, Джеймс А. (1936). «Равномерно выпуклые пространства». Пер. Амер. Математика. Soc. Американское математическое общество. 40 (3): 396–414. Дои:10.2307/1989630. JSTOR  1989630. МИСТЕР1501880
• Ханнер, Олоф (1956). «О равномерной выпуклости L^п и ℓ^п". Ковчег Мат. 3 (3): 239–244. Дои:10.1007 / BF02589410. МИСТЕР0077087