Ограниченная обратная теорема - Bounded inverse theorem

В математика, то ограниченная обратная теорема (или же теорема об обратном отображении) является результатом теории ограниченные линейные операторы на Банаховы пространства. В нем говорится, что биективный ограниченный линейный оператор Т из одного банахова пространства в другое ограничено обратный Т⁻¹. это эквивалент как в теорема об открытом отображении и теорема о замкнутом графике.

Обобщение

Теорема^[1] — Если А : Икс → Y является непрерывной линейной биекцией из полный Псевдометризуемый топологическое векторное пространство (TVS) на Hausdorff TVS, которая является Пространство Бэра, тогда А : Икс → Y это гомеоморфизм (и, таким образом, изоморфизм TVS).

Контрпример

Эта теорема может не выполняться для неполных нормированных пространств. Например, рассмотрим пространство Икс из последовательности Икс : N → р только с конечным числом ненулевых членов, снабженных верхняя норма. Карта Т : Икс → Икс определяется

${\displaystyle Tx=\left(x_{1},{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\dots \right)}$

ограничен, линейен и обратим, но Т⁻¹ неограничен. Это не противоречит ограниченной обратной теореме, поскольку Икс не является полный, а значит, не является банаховым пространством. Чтобы убедиться, что он не завершен, рассмотрим последовательность последовательностей Икс^(п) ∈ Икс данный

${\displaystyle x^{(n)}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},0,0,\dots \right)}$

сходится как п → ∞ к последовательности Икс^(∞) данный

${\displaystyle x^{(\infty )}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots \right),}$

который имеет все свои члены ненулевые, и поэтому не лежит в Икс.

Завершение Икс это пространство ${\displaystyle c_{0}}$ всех последовательностей, которые сходятся к нулю, который является (замкнутым) подпространством ℓ_п Космос ℓ_∞(N), которое является пространством всех ограниченных последовательностей. Однако в этом случае карта Т не на, и, следовательно, не биекция. Чтобы в этом убедиться, нужно просто заметить, что последовательность

${\displaystyle x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right),}$

является элементом ${\displaystyle c_{0}}$, но не входит в диапазон ${\displaystyle T:c_{0}\to c_{0}}$.

Смотрите также

• Почти открытая линейная карта
• Замкнутый график - График функции, которая также является замкнутым подмножеством пространства продукта.
• Теорема о замкнутом графике
• Теорема об открытом отображении (функциональный анализ) - Теорема, дающая условия, чтобы непрерывная линейная карта была открытой.
• Сюръекция пространств Фреше - Теорема, характеризующая, когда непрерывное линейное отображение между пространствами Фреше сюръективно.
• Перепончатое пространство - Топологические векторные пространства, для которых верны теоремы об открытом отображении и закрытых графах

Рекомендации

1. Наричи и Бекенштейн 2011, п. 469.

Библиография

• Кете, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159. Перевод Гарлинга, Д.Дж.Х. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2. МИСТЕР  0248498. OCLC  840293704.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных. Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр.356. ISBN  0-387-00444-0. (Раздел 8.2)
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN  978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.