Коллектор Штейна - Stein manifold

В теории несколько сложных переменных и комплексные многообразия в математике Коллектор Штейна это сложный подмногообразие из векторное пространство из п сложный Габаритные размеры. Они были представлены и названы в честь Карл Штайн  (1951 ). А Пространство Штейна похоже на многообразие Штейна, но может иметь особенности. Пространства Штейна являются аналогами аффинные разновидности или аффинные схемы в алгебраической геометрии.

Определение

Предполагать ${\displaystyle X}$ это комплексное многообразие сложного измерения ${\displaystyle n}$ и разреши ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ обозначим кольцо голоморфные функции на ${\displaystyle X.}$ Мы называем ${\displaystyle X}$ а Коллектор Штейна если выполняются следующие условия:

• ${\displaystyle X}$ голоморфно выпукло, т.е. для любого компактный подмножество ${\displaystyle K\subset X}$, так называемой голоморфно выпуклая оболочка,

${\displaystyle {\bar {K}}=\left\{z\in X\left||f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right.\right\},}$

также компактный подмножество ${\displaystyle X}$.

• ${\displaystyle X}$ голоморфно отделимо, т.е. если ${\displaystyle x\neq y}$ две точки в ${\displaystyle X}$, то существует ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$ такой, что ${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$

Некомпактные римановы поверхности являются штейновыми

Позволять Икс быть связным некомпактным Риманова поверхность. Глубина теорема из Генрих Бенке и Стейн (1948) утверждает, что Икс является многообразием Штейна.

Другой результат, приписываемый Ганс Грауэрт и Гельмут Рёрль (1956), кроме того, утверждается, что каждый голоморфное векторное расслоение на Икс тривиально. В частности, каждое линейное расслоение тривиально, поэтому ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0}$. В последовательность экспоненциальных пучков приводит к следующей точной последовательности:

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Сейчас же Теорема Картана B показывает, что ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0}$, следовательно ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0}$.

Это связано с решением проблема троюродного брата.

Свойства и примеры многообразий Штейна

• Стандартное комплексное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ - многообразие Штейна.

• Каждые область голоморфности в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ является многообразием Штейна.

• Достаточно легко показать, что каждое замкнутое комплексное подмногообразие в многообразии Штейна также является многообразием Штейна.

• Теорема вложения для многообразий Штейна утверждает следующее: каждое многообразие Штейна ${\displaystyle X}$ сложного измерения ${\displaystyle n}$ может быть встроен в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n+1}}$ по биголоморфный правильная карта.

Из этих фактов следует, что многообразие Штейна - это замкнутое комплексное подмногообразие комплексного пространства, комплексная структура которого является структурой окружающее пространство (поскольку вложение биголоморфно).

• Каждое многообразие Штейна (комплексной) размерности n имеет гомотопический тип п-мерный CW-комплекс.

• В одном сложном измерении условие Стейна можно упростить: связное Риманова поверхность является многообразием Штейна если и только если это не компактно. Это можно доказать, используя версию Теорема Рунге для римановых поверхностей, принадлежащих Бенке и Стейну.

• Каждое многообразие Штейна ${\displaystyle X}$ голоморфно растекается, т.е. для каждой точки ${\displaystyle x\in X}$, есть ${\displaystyle n}$ голоморфные функции, определенные на всех ${\displaystyle X}$ которые образуют локальную систему координат при ограничении некоторой открытой окрестностью ${\displaystyle x}$.

• Многообразие Штейна равносильно тому, чтобы быть (комплексным) сильно псевдовыпуклое многообразие. Последнее означает, что он имеет сильно псевдовыпуклую (или плюрисубгармонический ) исчерпывающая функция, т.е. гладкая вещественная функция ${\displaystyle \psi }$ на ${\displaystyle X}$ (который можно считать Функция Морса ) с ${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}\psi >0}$, такие что подмножества ${\displaystyle \{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}}$ компактны в ${\displaystyle X}$ для каждого реального числа ${\displaystyle c}$. Это решение так называемой Проблема Леви,^[1] названный в честь Э. Э. Леви (1911). Функция ${\displaystyle \psi }$ предлагает обобщить Коллектор Штейна к идее соответствующего класса компактных комплексных многообразий с краем, называемого Штейн домены. Домен Штейна - это прообраз ${\displaystyle \{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}}$. Поэтому некоторые авторы называют такие многообразия строго псевдовыпуклыми многообразиями.

• По отношению к предыдущему пункту другое эквивалентное и более топологическое определение в комплексной размерности 2 следующее: поверхность Штейна - это сложная поверхность. Икс с действительной функцией Морса ж на Икс такие, что вдали от критических точек ж, поле сложных касаний к прообразу ${\displaystyle X_{c}=f^{-1}(c)}$ это структура контактов что индуцирует ориентацию на Икс_c соглашаясь с обычной ориентацией как граница ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c).}$ Это, ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c)}$ это штейн начинка из Икс_c.

Существуют многочисленные дополнительные характеристики таких многообразий, в частности, улавливающие свойство наличия у них "многих" голоморфные функции принимая значения в комплексных числах. См. Например Теоремы Картана A и B, относящийся к когомологии пучков. Первоначальным стимулом было описание свойств области определения (максимального) аналитическое продолжение из аналитическая функция.

в ГАГА множество аналогий, многообразия Штейна соответствуют аффинные разновидности.

Многообразия Штейна в некотором смысле двойственны эллиптические многообразия в комплексном анализе, допускающем "множество" голоморфных функций комплексных чисел в себя. Известно, что многообразие Штейна эллиптическое тогда и только тогда, когда оно волокнистый в смысле так называемой «голоморфной теории гомотопий».

Отношение к гладким многообразиям

Каждое компактное гладкое многообразие размерности 2n, которое имеет только ручки с индексом ≤ n, имеет структуру Штейна при n> 2, а при n = 2 то же самое выполняется при условии, что 2-ручки прикреплены с помощью определенных оснащений (оснащение меньше, чем Обрамление Терстона – Беннекена ).^[2][3] Каждое замкнутое гладкое 4-многообразие представляет собой объединение двух 4-многообразий Штейна, склеенных по их общей границе.^[4]

Примечания

1. PlanetMath: решение проблемы Леви
2. Яков Элиашберг, Топологическая характеризация многообразий Штейна размерности> 2, Международный журнал математики т. 1, № 1 (1990) 29-46.
3. Роберт Гомпф, Построение ручек поверхностей Штейна, Анналы математики 148, (1998) 619-693.
4. Сельман Акбулут и Ростислав Матвеев, Выпуклое разложение для четырехмерных многообразий, Уведомления о международных математических исследованиях (1998), № 7, 371-381. Г-Н1623402

Рекомендации

• Форстер, Отто (1981), Лекции о римановых поверхностях, Выпускник по математике, 81, Нью-Йорк: Springer Verlag, ISBN  0-387-90617-7 (включая доказательство теорем Бенке-Штейна и Грауэрта-Рёрля)
• Хёрмандер, Ларс (1990), Введение в комплексный анализ нескольких переменных, Математическая библиотека Северной Голландии, 7, Амстердам: Издательство Северной Голландии, ISBN  978-0-444-88446-6, Г-Н  1045639 (включая доказательство теоремы вложения)
• Гомпф, Роберт Э. (1998), "Ручка конструкции поверхностей Штейна", Анналы математики, Вторая серия, Анналы математики, Vol. 148, № 2, 148 (2): 619–693, arXiv:математика / 9803019, Дои:10.2307/121005, ISSN  0003-486X, JSTOR  121005, Г-Н  1668563 (определения и конструкции областей и многообразий Штейна в размерности 4)
• Грауэрт, Ганс; Реммерт, Рейнхольд (1979), Теория пространств Штейна, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 236, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  3-540-90388-7, Г-Н  0580152
• Штейн, Карл (1951), "Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem", Математика. Анна. (на немецком), 123: 201–222, Дои:10.1007 / bf02054949, Г-Н  0043219