Теоремы Картана A и B - Cartans theorems A and B

В математика, Теоремы Картана A и B два результата доказано к Анри Картан около 1951 г. связный пучок $F$ на Многообразие Штейна $Икс$ . Они важны как применительно к несколько сложных переменных, и в общем развитии когомологии пучков.

Теорема А.

F

является охватывает его глобальные разделы.

Теорема B сформулирована в когомологических терминах (формулировка, которую Картан (1953, п. 51) приписывает Ж.-П. Серр):

Теорема Б.

ЧАС п (Икс, F) = 0

для всех

п > 0

.

Аналогичные свойства были установлены Серр (1957 ) для когерентных пучков в алгебраическая геометрия, когда $Икс$ является аффинная схема. Аналог теоремы B в этом контексте выглядит следующим образом (Хартсхорн 1977, Теорема III.3.7):

Теорема B (схемно-теоретический аналог). Позволять

Икс

быть аффинной схемой,

F

а квазикогерентный пучок из

О Икс

-модули для Топология Зарисского на

Икс

. потом

ЧАС п (Икс, F) = 0

для всех

п > 0

.

Эти теоремы имеют много важных приложений. Например, из них следует, что голоморфная функция на замкнутом комплексном подмногообразии $Z$ , многообразия Штейна $Икс$ продолжается до голоморфной функции на всех $Икс$ . На более глубоком уровне эти теоремы использовались Жан-Пьер Серр чтобы доказать ГАГА теорема.

Теорема B точна в том смысле, что если $ЧАС 1 (Икс, F) = 0$ для всех когерентных пучков $F$ на комплексном многообразии $Икс$ (соответственно квазикогерентные пучки $F$ по нётеровой схеме $Икс$ ), тогда $Икс$ есть Штейн (соотв. аффинный); видеть (Серр 1956 ) (соответственно (Серр 1957 ) и (Хартсхорн 1977, Теорема III.3.7)).

Смотрите также Проблемы кузена

Теоремы Картана A и B - Cartans theorems A and B

Рекомендации