Плюрисубгармоническая функция - Plurisubharmonic function

В математика, плюрисубгармонический функции (иногда сокращенно psh, пожалуйста, или же плюшевый функции) образуют важный класс функции используется в комплексный анализ. На Кэлерово многообразие, плюрисубгармонические функции образуют подмножество субгармонические функции. Однако, в отличие от субгармонических функций (которые определены на Риманово многообразие ) плюрисубгармонические функции могут быть определены в полной общности на сложные аналитические пространства.

Формальное определение

А функция

${\displaystyle f\colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},}$

с домен ${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}$называется плюрисубгармонический если это верхний полунепрерывный, и для каждого сложный линия

${\displaystyle \{a+bz\mid z\in {\mathbb {C} }\}\subset {\mathbb {C} }^{n}}$ с ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {C} }^{n}}$

функция ${\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}$ это субгармоническая функция на съемочной площадке

${\displaystyle \{z\in {\mathbb {C} }\mid a+bz\in G\}.}$

В полная общность, понятие можно определить на произвольной комплексное многообразие или даже Комплексное аналитическое пространство ${\displaystyle X}$ следующее. An полунепрерывная верхняя функция

${\displaystyle f\colon X\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$

называется плюрисубгармоническим тогда и только тогда, когда для любого голоморфное отображение${\displaystyle \varphi \colon \Delta \to X}$ функция

${\displaystyle f\circ \varphi \colon \Delta \to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$

является субгармоника, куда ${\displaystyle \Delta \subset {\mathbb {C} }}$ обозначает единичный диск.

Дифференцируемые плюрисубгармонические функции

Если ${\displaystyle f}$ относится к классу (дифференцируемости) ${\displaystyle C^{2}}$, тогда ${\displaystyle f}$ плюрисубгармонична тогда и только тогда, когда эрмитова матрица ${\displaystyle L_{f}=(\lambda _{ij})}$, называемая матрицей Леви, а также

${\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial {\bar {z}}_{j}}}}$

является положительно полуопределенный.

Эквивалентно ${\displaystyle C^{2}}$-функция ж плюрисубгармоничен тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\partial {\bar {\partial }}f}$ это положительная (1,1) -форма.

Примеры

Связь с кэлеровым многообразием: О n-мерном комплексном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ , ${\displaystyle f(z)=|z|^{2}}$ является плюрисубгармоническим. Фактически, ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\partial {\overline {\partial }}f}$ соответствует стандарту Кэлерова форма на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ до постоянных кратных. В более общем смысле, если ${\displaystyle g}$ удовлетворяет

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\partial {\overline {\partial }}g=\omega }$

для некоторой кэлеровой формы ${\displaystyle \omega }$, тогда ${\displaystyle g}$ является плюрисубгармоническим, что называется кэлеровым потенциалом.

Отношение к дельте Дирака: О одномерном комплексном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$ , ${\displaystyle u(z)=\log(z)}$ является плюрисубгармоническим. Если ${\displaystyle f}$ это C^∞-класс с функцией компактная опора, тогда Интегральная формула Коши говорит

${\displaystyle f(0)=-{\frac {\sqrt {-1}}{2\pi }}\int _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dzd{\bar {z}}}{z}}}$

который можно изменить на

${\displaystyle {\frac {\sqrt {-1}}{\pi }}\partial {\overline {\partial }}\log |z|=dd^{c}\log |z|}$.

Это не что иное, как Мера Дирака в начале координат 0.

Больше примеров

• Если ${\displaystyle f}$ является аналитической функцией на открытом множестве, то ${\displaystyle \log |f|}$ плюрисубгармонична на этом открытом множестве.
• Выпуклые функции плюрисубгармоничны
• Если ${\displaystyle \Omega }$ является областью голоморфности, то ${\displaystyle -\log(dist(z,\Omega ^{c}))}$ плюрисубгармонический
• Гармонические функции не обязательно являются плюрисубгармоническими

История

Плюрисубгармонические функции были определены в 1942 г.Киёси Ока ^[1] и Пьер Лелонг.^[2]

Характеристики

• Набор плюрисубгармонических функций образует выпуклый конус в векторное пространство полунепрерывных функций, т.е.

• если ${\displaystyle f}$ является плюрисубгармонической функцией и ${\displaystyle c>0}$ положительное действительное число, то функция ${\displaystyle c\cdot f}$ плюрисубгармоничен,
• если ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ плюрисубгармонические функции, то сумма ${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$ является плюрисубгармонической функцией.

• Плюрисубгармоничность - это местная собственность, т.е. функция плюрисубгармонична тогда и только тогда, когда она плюрисубгармонична в окрестности каждой точки.
• Если ${\displaystyle f}$ плюрисубгармоничен и ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ монотонно возрастающая выпуклая функция, то ${\displaystyle \phi \circ f}$ является плюрисубгармоническим.
• Если ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ плюрисубгармонические функции, то функция ${\displaystyle f(x):=\max(f_{1}(x),f_{2}(x))}$ является плюрисубгармоническим.
• Если ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$ представляет собой монотонно убывающую последовательность плюрисубгармонических функций

тогда ${\displaystyle f(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ является плюрисубгармоническим.

• Каждую непрерывную плюрисубгармоническую функцию можно получить как предел монотонно убывающей последовательности гладких плюрисубгармонических функций. Причем эту последовательность можно выбрать равномерно сходящейся.^[3]
• Неравенство в обычном полунепрерывность условие выполняется как равенство, т.е. если ${\displaystyle f}$ плюрисубгармоничен, то

${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$

(видеть ограничивать высшее и ограничивать низшее для определения лим суп).

• Плюрисубгармонические функции: субгармоника, для любого Кэлерова метрика.
• Следовательно, плюрисубгармонические функции удовлетворяют условию принцип максимума, т.е. если ${\displaystyle f}$ плюрисубгармоничен на связаны открытый домен ${\displaystyle D}$ и

${\displaystyle \sup _{x\in D}f(x)=f(x_{0})}$

в какой-то момент ${\displaystyle x_{0}\in D}$ тогда ${\displaystyle f}$ постоянно.

Приложения

В комплексный анализ, плюрисубгармонические функции используются для описания псевдовыпуклые домены, области голоморфности и Многообразия Штейна.

Ока теорема

Основным геометрическим приложением теории плюрисубгармонических функций является знаменитая теорема, доказанная Киёси Ока в 1942 г.^[1]

Непрерывная функция ${\displaystyle f:\;M\mapsto {\mathbb {R} }}$называется исчерпывающий если прообраз ${\displaystyle f^{-1}(]-\infty ,c])}$компактна для всех ${\displaystyle c\in {\mathbb {R} }}$. Плюрисубгармоническая функция ж называется сильно плюрисубгармоническийесли форма ${\displaystyle {\sqrt {-1}}(\partial {\bar {\partial }}f-\omega )}$является положительный, для некоторых Кэлерова форма${\displaystyle \omega }$ на M.

Теорема Оки: Позволять M - комплексное многообразие, допускающее гладкую исчерпывающую сильно плюрисубгармоническую функцию. M является Stein. И наоборот, любоеМногообразие Штейна допускает такую ​​функцию.

Рекомендации

• Стивен Г. Кранц. Теория функций нескольких комплексных переменных, AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, 1992.
• Роберт С. Ганнинг. Введение в голоморфные функции от нескольких переменных, Уодсворт и Брукс / Коул.
• Климек, Теория плюрипотентности, Clarendon Press, 1992.

внешняя ссылка

• «Плюрисубгармоническая функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

Примечания

1. К. Ока, Домены псевдовыпуклые, Tohoku Math. Дж. 49 (1942), 15–52.
2. П. Лелонг, Определение des fonctions plurisousharmoniques, C. R. Acd. Sci. Париж 215 (1942), 398–400.
3. Р. Э. Грин и Х. Ву, ${\displaystyle C^{\infty }}$-аппроксимации выпуклых, субгармонических и плюрисубгармонических функций, Анна. Научный. Ec. Норма. Как дела. 12 (1979), 47–84.