Принцип максимума - Maximum principle

В математических областях уравнения в частных производных и геометрический анализ, то принцип максимума относится к совокупности результатов и методик, имеющих фундаментальное значение для изучения эллиптический и параболический дифференциальные уравнения.

В простейшем случае рассмотрим функцию двух переменных $ты (Икс, у)$ такой, что

{ displaystyle { frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} u} { partial y ^ {2}}} = 0 .}

В слабый принцип максимумав этой настройке говорит, что для любого открытого предкомпактного подмножества $M$ области $ты$ , максимум $ты$ о закрытии $M$ достигается на границе $M$ . В сильный принцип максимума говорит это, если только $ты$ является постоянной функцией, максимум также не может быть достигнут нигде на $M$ сам.

Такие постановки дают поразительную качественную картину решений данного дифференциального уравнения. Такую качественную картину можно распространить на многие виды дифференциальных уравнений. Во многих ситуациях можно также использовать такие принципы максимума, чтобы делать точные количественные выводы о решениях дифференциальных уравнений, например, контролировать размер их градиент. Не существует единого или наиболее общего принципа максимума, применимого ко всем ситуациям одновременно.

В области выпуклая оптимизация, есть аналогичное утверждение, утверждающее, что максимум выпуклая функция на компактный выпуклый набор достигается на граница.^[1]

Интуиция

Частичная формулировка сильного принципа максимума

Здесь мы рассматриваем простейший случай, хотя тот же подход можно распространить на более общие сценарии. Позволять $M$ - открытое подмножество евклидова пространства и пусть $ты$ быть $C 2$ функционировать на $M$ такой, что

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} { frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {i } partial x ^ {j}}} = 0}

где для каждого $я$ и $j$ от 1 до $п$ , $а ij$ это функция на $M$ с $а ij = а джи$ .

Исправить выбор $Икс$ в $M$ . Согласно спектральная теорема линейной алгебры все собственные значения матрицы $[а ij (Икс)]$ реальны, и существует ортонормированный базис $ℝ п$ состоящий из собственных векторов. Обозначим собственные значения через $λ я$ а соответствующие собственные векторы - через $v я$ , за $я$ от 1 до $п$ . Тогда дифференциальное уравнение в точке $Икс$ , можно перефразировать как

{ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {n} lambda _ {i} { frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} { Big |} _ {t = 0} { big (} u (x + tv_ {i}) { big)} = 0.}

Суть принципа максимума заключается в простом наблюдении, что если каждое собственное значение положительно (что составляет определенную формулировку «эллиптичности» дифференциального уравнения), то приведенное выше уравнение требует определенного баланса вторых производных решения по направлениям. В частности, если одна из вторых производных по направлению отрицательна, то другая должна быть положительной. В гипотетической точке, где $ты$ максимизируется, все вторые производные по направлениям автоматически неположительны, а "балансировка", представленная приведенным выше уравнением, требует, чтобы все вторые производные по направлениям были тождественно равны нулю.

Можно утверждать, что это элементарное рассуждение представляет собой бесконечно малую формулировку сильного принципа максимума, который утверждает, при некоторых дополнительных предположениях (таких как непрерывность $а$ ), который $ты$ должен быть постоянным, если есть точка $M$ куда $ты$ максимально.

Обратите внимание, что приведенные выше рассуждения остаются неизменными, если рассматривать более общее уравнение в частных производных

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} { frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {i } partial x ^ {j}}} + sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} { frac { partial u} { partial x ^ {i}}} = 0,}

поскольку добавленный член автоматически равен нулю в любой гипотетической точке максимума. Рассуждения также остаются неизменными, если рассматривать более общее условие

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} { frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {i } partial x ^ {j}}} + sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} { frac { partial u} { partial x ^ {i}}} geq 0,}

в котором можно даже отметить дополнительные явления явного противоречия, если существует строгое неравенство ( $>$ скорее, чем $\geq$ ) в этом состоянии в точке гипотетического максимума. Это явление важно для формального доказательства классического слабого принципа максимума.

Неприменимость сильного принципа максимума

Однако приведенное выше рассуждение больше не применяется, если учесть условие

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} { frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {i } partial x ^ {j}}} + sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} { frac { partial u} { partial x ^ {i}}} leq 0,}

поскольку теперь условие «балансировки», оцениваемое в гипотетической максимальной точке $ты$ , только говорит о том, что средневзвешенное значение явно неположительных величин неположительно. Это банально верно, и поэтому из этого нельзя сделать нетривиальных выводов. Это подтверждается множеством конкретных примеров, например тем фактом, что

{ displaystyle { frac { partial ^ {2}} { partial x ^ {2}}} { big (} -x ^ {2} -y ^ {2} { big)} + { frac { partial ^ {2}} { partial y ^ {2}}} { big (} -x ^ {2} -y ^ {2} { big)} leq 0,}

и на любой открытой области, содержащей начало координат, функция $- Икс 2 - у 2$ конечно есть максимум.

Классический слабый принцип максимума для линейных эллиптических уравнений в частных производных

Основная идея

Позволять $M$ обозначают открытое подмножество евклидова пространства. Если гладкая функция ${ displaystyle u: M to mathbb {R}}$ максимизируется в точке $п$ , то автоматически получается:

${ displaystyle (du) (p) = 0}$
${ displaystyle ( nabla ^ {2} u) (p) leq 0,}$ как матричное неравенство.

Можно рассматривать уравнение в частных производных как наложение алгебраической связи между различными производными функции. Так что если $ты$ является решением уравнения в частных производных, то возможно, что указанные выше условия на первую и вторую производные $ты$ противоречат этому алгебраическому соотношению. В этом суть принципа максимума. Ясно, что применимость этой идеи сильно зависит от конкретного рассматриваемого уравнения в частных производных.

Например, если $ты$ решает дифференциальное уравнение

{ displaystyle Delta u = | du | ^ {2} +2,}

тогда явно невозможно иметь ${ displaystyle Delta u leq 0}$ и ${ displaystyle du = 0}$ в любой точке домена. Итак, следуя приведенному выше наблюдению, невозможно $ты$ принять максимальное значение. Если вместо этого $ты$ решил дифференциальное уравнение ${ displaystyle Delta u = | du | ^ {2}}$ тогда не было бы такого противоречия, и приведенный до сих пор анализ не предполагает ничего интересного. Если $ты$ решил дифференциальное уравнение ${ displaystyle Delta u = | du | ^ {2} -2,}$ то такой же анализ показал бы, что $ты$ не может принимать минимальное значение.

Возможности такого анализа даже не ограничиваются уравнениями в частных производных. Например, если ${ displaystyle u: M to mathbb {R}}$ функция такая, что

{ Displaystyle Delta u- | du | ^ {4} = int _ {M} e ^ {u (x)} , dx,}

которое является своего рода "нелокальным" дифференциальным уравнением, то автоматическая строгая положительность правой части показывает с помощью того же анализа, что и выше, что $ты$ не может достичь максимального значения.

Существует множество методов, позволяющих по-разному расширить применимость этого вида анализа. Например, если $ты$ является гармонической функцией, то указанного выше противоречия напрямую не возникает, так как существование точки $п$ куда ${ displaystyle Delta u (p) leq 0}$ не противоречит требованию ${ displaystyle Delta u = 0}$ повсюду. Однако можно было бы считать, что для произвольного действительного числа $s$ , функция $ты s$ определяется

{ displaystyle u_ {s} (x) = u (x) + se ^ {x_ {1}}.}

Несложно увидеть, что

{ displaystyle Delta u_ {s} = se ^ {x_ {1}}.}

Согласно приведенному выше анализу, если ${ displaystyle s> 0}$ тогда $ты s$ не может достичь максимального значения. Можно было бы рассматривать предел как $s$ к 0, чтобы сделать вывод, что $ты$ также не может достичь максимального значения. Однако возможно, что поточечный предел последовательности функций без максимумов имеет максимум. Тем не менее, если $M$ имеет такую границу, что $M$ вместе со своей границей компактна, то предположим, что $ты$ можно непрерывно продолжить до границы, сразу следует, что оба $ты$ и $ты s$ достичь максимального значения на ${ Displaystyle M чашка partial M.}$ Поскольку мы показали, что $ты s$ , как функция на $M$ , не имеет максимума, следует, что точка максимума $ты s$ , для любого $s$ , идет ${ displaystyle partial M.}$ Последовательной компактностью ${ displaystyle partial M,}$ следует, что максимум $ты$ достигается на ${ displaystyle partial M.}$ Это слабый принцип максимума для гармонических функций. Само по себе это не исключает возможности того, что максимум $ты$ также достигается где-то на $M$ . В этом состоит содержание «сильного принципа максимума», который требует дальнейшего анализа.

Использование конкретной функции ${ displaystyle e ^ {x_ {1}}}$ выше было очень несущественным. Все, что имело значение, - это иметь функцию, которая непрерывно продолжается до границы и лапласиан которой строго положителен. Так что мы могли бы использовать, например,

{ Displaystyle и_ {s} (х) = и (х) + s | х | ^ {2}}

с таким же эффектом.

Классический сильный принцип максимума для линейных эллиптических уравнений в частных производных

Резюме доказательства

Позволять $M$ - открытое подмножество евклидова пространства. Позволять ${ displaystyle u: M to mathbb {R}}$ - дважды дифференцируемая функция, достигающая максимального значения $C$ . Предположим, что

{ displaystyle a_ {ij} { frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {i} partial x ^ {j}}} + b_ {i} { frac { partial u} { partial x ^ {i}}} geq 0.}

Предположим, что можно найти (или доказать существование):

компактное подмножество $Ω$ из $M$ , с непустым внутренним пространством, такое что $ты (Икс) < C$ для всех $Икс$ в интерьере $Ω$ , и такой, что существует $Икс 0$ на границе $Ω$ с $ты (Икс 0) = C$ .
непрерывная функция ${ displaystyle h: Omega to mathbb {R}}$ которая дважды дифференцируема внутри $Ω$ и с

{ displaystyle a_ {ij} { frac { partial ^ {2} h} { partial x ^ {i} partial x ^ {j}}} + b_ {i} { frac { partial h} { partial x ^ {i}}} geq 0,}

и такой, что есть

ты + час \leq C

на границе

Ω

с

час (Икс 0) = 0

потом $L (ты + час - C) \geq 0$ на $Ω$ с $ты + час - C \leq 0$ на границе $Ω$ ; согласно слабому принципу максимума $ты + час - C \leq 0$ на $Ω$ . Это можно изменить, чтобы сказать

{ displaystyle - { frac {u (x) -u (x_ {0})} {| x-x_ {0} |}} geq { frac {h (x) -h (x_ {0}) } {| х-х_ {0} |}}}

для всех $Икс$ в $Ω$ . Если можно сделать выбор $час$ так что правая часть имеет явно положительный характер, тогда это будет противоречить тому факту, что $Икс 0$ это максимальная точка $ты$ на $M$ , так что его градиент должен исчезнуть.

Доказательство

Вышеупомянутая «программа» может быть выполнена. выбирать $Ω$ быть сферическим кольцом; один выбирает его центр $Икс c$ быть точкой ближе к закрытому множеству $ты -1 (C)$ чем закрытый набор $\partial M$ , а внешний радиус $р$ выбрано расстояние от этого центра до $ты -1 (C)$ ; позволять $Икс 0$ быть точкой на этом последнем наборе, которая определяет расстояние. Внутренний радиус $ρ$ произвольно. Определять

{ displaystyle h (x) = varepsilon { Big (} e ^ {- alpha | x-x _ { text {c}} | ^ {2}} - e ^ {- alpha R ^ {2} }{Большой )}.}

Теперь граница $Ω$ состоит из двух сфер; на внешней сфере $час = 0$ ; из-за выбора $р$ , надо $ты \leq C$ на этой сфере и так $ты + час - C \leq 0$ на этой части границы выполняется вместе с требованием $час (Икс 0) = 0$ . На внутренней сфере имеется $ты < C$ . Благодаря преемственности $ты$ и компактности внутренней сферы можно выбрать $δ > 0$ такой, что $ты + δ < C$ . С $час$ постоянна на этой внутренней сфере, можно выбрать $ε > 0$ такой, что $ты + час \leq C$ на внутренней сфере, а значит, и на всей границе $Ω$ .

Прямой расчет показывает

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} { frac { partial ^ {2} h} { partial x ^ {i } partial x ^ {j}}} + sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} { frac { partial h} { partial x ^ {i}}} = varepsilon alpha e ^ {- alpha | x-x _ { text {c}} | ^ {2}} left (4 alpha sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} (x) { big (} x ^ {i} -x _ { text {c}} ^ {i} { big)} { big (} x ^ {j} -x_ { text {c}} ^ {j} { big)} - 2 sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ii} -2 sum _ {i = 1} ^ {n} b_ { i} { big (} x ^ {i} -x _ { text {c}} ^ {i} { big)} right).}

Существуют различные условия, при которых можно гарантировать неотрицательность правой части; см. формулировку теоремы ниже.

Наконец, обратите внимание, что производная по направлению от $час$ в $Икс 0$ вдоль направленной внутрь радиальной линии кольца является строго положительным. Как описано в приведенном выше резюме, это гарантирует, что производная по направлению от $ты$ в $Икс 0$ отлична от нуля, что противоречит $Икс 0$ быть максимальной точкой $ты$ на открытой площадке $M$ .

Формулировка теоремы

Ниже приводится формулировка теоремы в книгах Морри и Смоллера, следующая за исходным утверждением Хопфа (1927):

Позволять $M$ открытое подмножество евклидова пространства $ℝ п$ . Для каждого $я$ и $j$ от 1 до $п$ , позволять $а ij$ и $б я$ быть непрерывными функциями на $M$ с $а ij = а джи$ . Предположим, что для всех $Икс$ в $M$ симметричная матрица $[а ij]$ положительно определен. Если $ты$ непостоянный $C 2$ функционировать на $M$ такой, что
${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} { frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {i } partial x ^ {j}}} + sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} { frac { partial u} { partial x ^ {i}}} geq 0}$
на $M$ , тогда $ты$ не достигает максимального значения на $M$ .

Суть предположения о непрерывности состоит в том, что непрерывные функции ограничены на компактах, причем соответствующий компакт здесь представляет собой сферическое кольцо, фигурирующее в доказательстве. Кроме того, по тому же принципу существует ряд $λ$ такой, что для всех $Икс$ в кольце матрица $[а ij (Икс)]$ все собственные значения больше или равны $λ$ . Затем нужно взять $α$ , как показано в доказательстве, большими по сравнению с этими оценками. Книга Эванса имеет несколько более слабую формулировку, в которой предполагается положительное число $λ$ что является нижней границей собственных значений $[а ij]$ для всех $Икс$ в $M$ .

Эти предположения о непрерывности явно не являются наиболее общими возможными для того, чтобы доказательство работало. Например, следующее утверждение теоремы Гилбарга и Трудингера, следующее за тем же доказательством:

Позволять $M$ открытое подмножество евклидова пространства $ℝ п$ . Для каждого $я$ и $j$ от 1 до $п$ , позволять $а ij$ и $б я$ быть функциями на $M$ с $а ij = а джи$ . Предположим, что для всех $Икс$ в $M$ симметричная матрица $[а ij]$ положительно определен, и пусть $λ (х)$ обозначим его наименьшее собственное значение. Предположим, что ${ displaystyle textstyle { frac {a_ {ii}} { lambda}}}$ и ${ displaystyle textstyle { frac {| b_ {i} |} { lambda}}}$ - ограниченные функции на $M$ для каждого $я$ от 1 до $п$ . Если $ты$ непостоянный $C 2$ функционировать на $M$ такой, что
${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} { frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {i } partial x ^ {j}}} + sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} { frac { partial u} { partial x ^ {i}}} geq 0}$
на $M$ , тогда $ты$ не достигает максимального значения на $M$ .

Нельзя наивно распространять эти утверждения на общее линейное эллиптическое уравнение второго порядка, как это уже было показано в одномерном случае. Например, обыкновенное дифференциальное уравнение $у ″ + 2 у = 0$ имеет синусоидальные решения, у которых обязательно есть внутренние максимумы. Это распространяется на многомерный случай, когда часто встречаются решения уравнений "собственных функций" $Δ ты + у.е. = 0$ которые имеют внутренние максимумы. Знак c актуально, как это также видно в одномерном случае; например, решения $у ″ - 2 у = 0$ являются экспонентами, и характер максимумов таких функций существенно отличается от такового у синусоидальных функций.

Смотрите также

Примечания

^ Глава 32 Рокафеллар (1970).