Ограничьте высшее и ограничьте низшее - Limit superior and limit inferior

"Нижний предел" и "верхний предел" перенаправляют сюда. Для статистической концепции см. Нижний / верхний доверительные границы.

В математика, то ограничивать низший и предел высшего из последовательность можно рассматривать как предельные (т. е. возможные и крайние) границы последовательности. Подобным же образом их можно рассматривать для функция (видеть предел функции ). Для набора они инфимум и супремум из набора предельные точки, соответственно. В общем, когда есть несколько объектов, вокруг которых накапливается последовательность, функция или набор, нижний и верхний пределы извлекают самый маленький и самый большой из них; тип объекта и мера размера зависят от контекста, но понятие крайних пределов остается неизменным. Предел низшего еще называют предел инфимума, предел инфимума, Liminf, нижний предел, Нижний предел, или же внутренний предел; верхний предел также известен как верхний предел, предел супремума, Limsup, верхний предел, верхний предел, или же внешний предел.

Иллюстрация верхнего предела и нижнего предела. Последовательность Икс_п отображается синим цветом. Две красные кривые приближаются к верхнему пределу и нижнему пределу Икс_п, показаны пунктирными черными линиями. В этом случае последовательность накапливается около двух пределов. Верхний предел - больший из двух, а нижний предел - меньший из двух. Нижний и верхний пределы согласуются тогда и только тогда, когда последовательность сходится (то есть, когда есть единственный предел).

Нижний предел последовательности ${\displaystyle x_{n}}$ обозначается

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varliminf _{n\to \infty }x_{n}.}$

Верхний предел последовательности ${\displaystyle x_{n}}$ обозначается

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}.}$

Определение последовательностей

Нижний предел последовательности (Икс_п) определяется

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }{\Big (}\inf _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$

или же

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{m\geq n}x_{m}=\sup\{\,\inf\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$

Точно так же предел, превышающий (Икс_п) определяется

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }{\Big (}\sup _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$

или же

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf\{\,\sup\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$

В качестве альтернативы обозначения ${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$ и ${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}:=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$ иногда используются.

Верхние и нижние пределы могут быть эквивалентно определены с использованием концепции подпоследовательных пределов последовательности. ${\displaystyle (x_{n})}$.^[1] Элемент ${\displaystyle \xi }$ расширенных действительных чисел ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ это подпоследовательный предел из ${\displaystyle (x_{n})}$ если существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел ${\displaystyle (n_{k})}$ такой, что ${\displaystyle \xi =\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}}$. Если ${\displaystyle E\subset {\overline {\mathbb {R} }}}$ - множество всех подпоследовательных пределов ${\displaystyle (x_{n})}$, тогда

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=\sup E}$

и

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\inf E.}$

Если члены в последовательности являются действительными числами, верхний предел и нижний предел всегда существуют, поскольку действительные числа вместе с ± ∞ (т. Е. расширенная строка действительных чисел ) находятся полный. В более общем плане эти определения имеют смысл в любом частично заказанный набор при условии супрема и инфима существуют, например, в полная решетка.

Когда существует обычный предел, оба предела ниже и выше равны ему; поэтому каждый из них можно рассматривать как обобщение обычного предела, который в первую очередь интересен в тех случаях, когда предел нет существовать. Всякий раз, когда lim inf Икс_п и лим суп Икс_п оба существуют, у нас есть

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.}$

Пределы ниже / выше связаны с нотация big-O в том, что они связывают последовательность только «в пределе»; последовательность может выходить за границы. Однако с обозначением большого O последовательность может выходить только за границу конечного префикса последовательности, тогда как верхний предел последовательности, такой как e^−п на самом деле может быть меньше всех элементов последовательности. Единственное обещание состоит в том, что некоторый хвост последовательности может быть ограничен сверху верхним пределом плюс сколь угодно малой положительной константой и ограничен снизу нижним пределом минус произвольно малая положительная постоянная.

Верхний предел и нижний предел последовательности являются частным случаем таковых для функции (см. Ниже).

Случай последовательностей действительных чисел

В математический анализ, ограничить высшее и ограничить низшее - важные инструменты для изучения последовательности действительные числа. Поскольку супремум и нижняя грань неограниченного набора действительных чисел могут не существовать (действительные числа не являются полной решеткой), удобно рассматривать последовательности в аффинно расширенная система действительных чисел: мы добавляем положительную и отрицательную бесконечности к действительной прямой, чтобы получить полную полностью заказанный набор [−∞, ∞], которая является полной решеткой.

Интерпретация

Рассмотрим последовательность ${\displaystyle (x_{n})}$ состоящий из действительных чисел. Предположим, что верхний предел и нижний предел являются действительными числами (а значит, не бесконечными).

• Предел выше ${\displaystyle x_{n}}$ это наименьшее действительное число ${\displaystyle b}$ так что для любого положительного действительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$, существует натуральное число ${\displaystyle N}$ такой, что ${\displaystyle x_{n}<b+\varepsilon }$ для всех ${\displaystyle n>N}$. Другими словами, любое число, превышающее верхний предел, является конечной верхней границей для последовательности. Только конечное число элементов последовательности больше, чем ${\displaystyle b+\varepsilon }$.
• Предел ниже ${\displaystyle x_{n}}$ это наибольшее действительное число ${\displaystyle b}$ так что для любого положительного действительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$, существует натуральное число ${\displaystyle N}$ такой, что ${\displaystyle x_{n}>b-\varepsilon }$ для всех ${\displaystyle n>N}$. Другими словами, любое число ниже нижнего предела является конечной нижней границей для последовательности. Только конечное число элементов последовательности меньше, чем ${\displaystyle b-\varepsilon }$.

Характеристики

В случае ограниченной последовательности для всех ${\displaystyle \epsilon >0}$ почти все члены последовательности лежат в открытом интервале ${\displaystyle (\liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon ,\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon )}$.

Взаимосвязь нижнего предела и верхнего предела для последовательностей действительных чисел следующая:

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }(-x_{n})=-\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$

Как упоминалось ранее, удобно расширять ${\displaystyle \mathbb {R} }$ до [−∞, ∞]. Потом, (Икс_п) в [−∞, ∞] сходится если и только если

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$

в таком случае ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ равна их общей ценности. (Обратите внимание, что при работе только в ${\displaystyle \mathbb {R} }$, сходимость к −∞ или ∞ не рассматривалась бы как сходимость.) Поскольку нижний предел является не более чем верхним пределом, выполняются следующие условия

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\infty \;\;\Rightarrow \;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=-\infty \;\;\Rightarrow \;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty .}$

Если ${\displaystyle I=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$ и ${\displaystyle S=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$, то интервал [я, S] не обязательно содержать какие-либо числа Икс_п, но каждое небольшое увеличение [я - ε, S + ε] (при сколь угодно малом ε> 0) будет содержать Икс_п для всех, кроме конечного числа индексов п. Фактически, интервал [я, S] - наименьший отрезок с этим свойством. Мы можем формализовать это свойство так: существуют подпоследовательности ${\displaystyle x_{k_{n}}}$ и ${\displaystyle x_{h_{n}}}$ из ${\displaystyle x_{n}}$ (куда ${\displaystyle k_{n}}$ и ${\displaystyle h_{n}}$ монотонны), для которых имеем

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon >x_{h_{n}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{k_{n}}>\limsup _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon }$

С другой стороны, существует ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ так что для всех ${\displaystyle n\geq n_{0}}$

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon <x_{n}<\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon }$

Резюмируя:

• Если ${\displaystyle \Lambda }$ больше верхнего предела, существует не более конечного числа ${\displaystyle x_{n}}$ лучше чем ${\displaystyle \Lambda }$; если меньше, их бесконечно много.
• Если ${\displaystyle \lambda }$ меньше нижнего предела, существует не более конечного числа ${\displaystyle x_{n}}$ меньше, чем ${\displaystyle \lambda }$; если больше, то их бесконечно много.

В общем имеем что

${\displaystyle \inf _{n}x_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}\leq \sup _{n}x_{n}}$

Liminf и limsup последовательности соответственно наименьший и наибольший кластерные точки.

• Для любых двух последовательностей действительных чисел ${\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}}$, верхний предел удовлетворяет субаддитивность всякий раз, когда правая часть неравенства определена (т. е. не ${\displaystyle \infty -\infty }$ или же ${\displaystyle -\infty +\infty }$):

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})\leq \limsup _{n\to \infty }(a_{n})+\limsup _{n\to \infty }(b_{n}).}$.

Аналогично нижний предел удовлетворяет супераддитивность:

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})\geq \liminf _{n\to \infty }(a_{n})+\liminf _{n\to \infty }(b_{n}).}$

В частном случае, когда одна из последовательностей действительно сходится, скажем, ${\displaystyle a_{n}\to a}$, то приведенные выше неравенства переходят в равенства (с ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}}$ или же ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}}$ заменяется ${\displaystyle a}$).

• Для любых двух последовательностей неотрицательных действительных чисел ${\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}}$, неравенства

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})\leq {\biggl (}\limsup _{n\to \infty }a_{n}{\biggr )}{\biggl (}\limsup _{n\to \infty }b_{n}{\biggr )}}$

и

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})\geq {\biggl (}\liminf _{n\to \infty }a_{n}{\biggr )}{\biggl (}\liminf _{n\to \infty }b_{n}{\biggr )}}$

держать, когда правая часть не имеет формы ${\displaystyle 0\cdot \infty }$.

Если ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$ существует (включая случай ${\displaystyle A=+\infty }$) и ${\displaystyle B=\limsup _{n\to \infty }b_{n}}$, тогда ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})=AB}$ при условии, что ${\displaystyle AB}$ не в форме ${\displaystyle 0\cdot \infty }$.

Примеры

• В качестве примера рассмотрим последовательность, данную Икс_п = грех (п). Используя тот факт, что число Пи является иррациональный, можно показать, что

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1}$

и

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=+1.}$

(Это потому, что последовательность {1,2,3, ...} равнораспределенный модуль 2π, следствие Теорема о равнораспределении.)

• Пример из теория чисел является

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n}),}$

куда п_п это п-го простое число Предполагается, что значение нижнего предела равно 2 - это гипотеза о простых близнецах - но по состоянию на апрель 2014 г.^{[Обновить]} только было доказано, что он меньше или равен 6.^[2] Соответствующий верхний предел ${\displaystyle +\infty }$, потому что есть произвольные промежутки между последовательными простыми числами.

Функции с действительным знаком

Предположим, что функция определена от подмножества действительных чисел к действительным числам. Как и в случае с последовательностями, нижний предел и верхний предел всегда четко определены, если мы допускаем значения + ∞ и -∞; фактически, если оба согласны, то предел существует и равен их общему значению (опять же, возможно, включая бесконечности). Например, учитывая ж(Икс) = грех (1 /Икс) имеем lim sup_Икс→0 ж(Икс) = 1 и lim inf_Икс→0 ж(Икс) = -1. Разница между ними - это грубая мера того, насколько «дико» колеблется функция, и при наблюдении за этим фактом это называется колебание из ж в 0. Этого представления о колебаниях достаточно, например, чтобы охарактеризовать Интегрируемый по Риману функционирует как непрерывный за исключением набора измерять ноль.^[3] Обратите внимание, что точки ненулевых колебаний (т. Е. Точки, в которых ж является "плохо вела себя ") являются несплошностями, которые, если они не составляют набор из нуля, ограничиваются незначительным набором.

Функции от метрических пространств до полных решеток

Существует понятие lim sup и lim inf для функций, определенных на метрическое пространство чье отношение к пределам действительных функций отражает отношение между lim sup, lim inf и пределом реальной последовательности. Возьмите метрические пространства Икс и Y, подпространство E содержалась в Икс, а функция ж : E → Y. Определите, для любого предельная точка а из E,

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}(\sup\{f(x):x\in E\cap B(a;\varepsilon )\setminus \{a\}\})}$

и

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}(\inf\{f(x):x\in E\cap B(a;\varepsilon )\setminus \{a\}\})}$

куда B(а; ε) обозначает метрический шар радиуса ε около а.

Заметим, что с уменьшением ε супремум функции по шару монотонно убывает, поэтому мы имеем

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf _{\varepsilon >0}(\sup\{f(x):x\in E\cap B(a;\varepsilon )\setminus \{a\}\})}$

и аналогично

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup _{\varepsilon >0}(\inf\{f(x):x\in E\cap B(a;\varepsilon )\setminus \{a\}\}).}$

Это, в конечном итоге, мотивирует определения общих топологических пространств. Брать Икс, Y, E и а как и раньше, но теперь пусть Икс и Y оба являются топологическими пространствами. В этом случае мы заменяем метрические шары окрестностями:

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf\{\sup\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,a\in U,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}}$

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup\{\inf\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,a\in U,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}}$

(есть способ написать формулу с помощью "lim", используя сети и фильтр соседства). Эта версия часто бывает полезна при обсуждении полунепрерывность которые часто возникают при анализе. Интересно отметить, что эта версия включает последовательную версию, рассматривая последовательности как функции от натуральных чисел в качестве топологического подпространства расширенной действительной прямой в пространство (замыкание N в [−∞, ∞], расширенная строка действительных чисел, являетсяN ∪ {∞}.)

Последовательности наборов

В набор мощности ℘(Икс) из набор Икс это полная решетка это заказано установить включение, поэтому верхняя и нижняя грань любого набора подмножеств (с точки зрения включения множества) всегда существуют. В частности, каждое подмножество Y из Икс ограничен сверху Икс а ниже - пустым множеством ∅, поскольку ∅ ⊆ Y ⊆ Икс. Следовательно, можно (а иногда и полезно) рассматривать верхний и нижний пределы последовательностей в (Икс) (т. е. последовательности подмножеств Икс).

Есть два распространенных способа определить предел последовательностей множеств. В обоих случаях:

• Последовательность накапливается вокруг наборов точек, а не самих точек. То есть, поскольку каждый элемент последовательности сам по себе является набором, существует накопление наборы которые каким-то образом находятся рядом с бесконечно большим числом элементов последовательности.
• Верхний / верхний / внешний предел - это набор, который присоединяется эти накопления устанавливаются вместе. То есть это объединение всех наборов накопления. При упорядочивании по включению набора предел супремума является наименьшей верхней границей набора точек накопления, поскольку он содержит каждый из них. Следовательно, это верхняя грань предельных точек.
• Нижняя / нижняя / внутренняя граница - это набор, в котором все эти накопительные наборы встретить. То есть это пересечение всех наборов накопления. При упорядочивании по включению набора нижняя граница - это наибольшая нижняя граница набора точек накопления, поскольку она равна содержалась в каждый из них. Следовательно, это нижняя грань предельных точек.
• Поскольку упорядочение осуществляется включением набора, то внешний предел всегда будет содержать внутренний предел (т. Е. Lim infИкс_п ⊆ лим супИкс_п). Следовательно, при рассмотрении сходимости последовательности множеств обычно достаточно рассмотреть сходимость внешнего предела этой последовательности.

Разница между этими двумя определениями заключается в том, как топология (то есть, как количественно оценить разделение). Фактически, второе определение идентично первому, когда дискретная метрика используется для наведения топологии на Икс.

Сходимость общих наборов

В этом случае последовательность наборов приближается к ограничивающему набору, когда элементы каждого члена последовательности приближаются к элементам ограничивающего набора. В частности, если {Икс_п} - это последовательность подмножеств Икс, тогда:

• лим супИкс_п, который также называют внешний предел, состоит из тех элементов, которые являются пределами точек в Икс_п взято из (счетно) бесконечно много п. То есть, Икс ∈ lim supИкс_п тогда и только тогда, когда существует последовательность точек Икс_k и подпоследовательность {Икс_пk} из {Икс_п} такой, что Икс_k ∈ Икс_пk и Икс_k → Икс в качестве k → ∞.
• lim infИкс_п, который также называют внутренний предел, состоит из тех элементов, которые являются пределами точек в Икс_п для всех, кроме конечного множества п (т.е. окончательно много п). То есть, Икс ∈ lim infИкс_п тогда и только тогда, когда существует последовательность of points {Икс_k} такой, что Икс_k ∈ Икс_k и Икс_k → Икс в качестве k → ∞.

Предел лимИкс_п существует тогда и только тогда, когда lim inf Икс_п и лим суп Икс_п согласен, и в этом случае limИкс_п = lim sup Икс_п = lim inf Икс_п.^[4]

Частный случай: дискретная метрика

Это определение используется в теория меры и вероятность. Дальнейшее обсуждение и примеры с теоретико-множественной точки зрения, в отличие от топологической точки зрения, обсуждаемой ниже, находятся на теоретико-множественный предел.

Согласно этому определению, последовательность наборов приближается к предельному набору, когда предельный набор включает элементы, которые находятся во всех, кроме конечного множества наборов последовательности и не включает элементы, которые находятся во всех, кроме конечного числа, дополнений множеств последовательности. То есть этот случай конкретизирует общее определение, когда топология на множестве Икс индуцируется дискретная метрика.

В частности, по очкам Икс ∈ Икс и у ∈ Икс, дискретная метрика определяется формулой

${\displaystyle d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y,\\1&{\text{if }}x\neq y,\end{cases}}}$

при котором последовательность точек {Икс_k} сходится к точке Икс ∈ Икс если и только если Икс_k = Икс для всех кроме конечного k. Следовательно, если установлен лимит он содержит точки и только те точки, которые входят во все, кроме конечного числа множеств последовательности. Поскольку сходимость в дискретной метрике является самой строгой формой сходимости (т. Е. Требует больше всего), это определение предельного множества является наиболее строгим из возможных.

Если {Икс_п} - это последовательность подмножеств Икс, то всегда существуют:

• лим супИкс_п состоит из элементов Икс которые принадлежат Икс_п за бесконечно много п (видеть счетно бесконечный ). То есть, Икс ∈ lim supИкс_п тогда и только тогда, когда существует подпоследовательность {Икс_пk} из {Икс_п} такой, что Икс ∈ Икс_пk для всех k.
• lim infИкс_п состоит из элементов Икс которые принадлежат Икс_п за все кроме конечного числа п (т.е. для окончательно много п). То есть, Икс ∈ lim infИкс_п тогда и только тогда, когда существует м> 0 такой, что Икс ∈ Икс_п для всех п>м.

Заметьте, что Икс ∈ lim supИкс_п если и только если Икс ∉ lim infИкс_п^c.

• ЛимИкс_п существует тогда и только тогда, когда lim inf Икс_п и лим суп Икс_п согласен, и в этом случае limИкс_п = lim sup Икс_п = lim inf Икс_п.

В этом смысле последовательность имеет предел, пока каждая точка в Икс либо присутствует во всех, кроме конечного числа Икс_п или появляется во всех, кроме конечного числа Икс_п^c.^[5]

Используя стандартный язык теории множеств, установить включение обеспечивает частичный заказ на сборе всех подмножеств Икс это позволяет установить пересечение для получения точной нижней границы и установить союз для получения наименьшей верхней границы. Таким образом, нижняя грань или встретить набора подмножеств является точной нижней границей, а супремум или присоединиться - точная верхняя граница. В этом контексте внутренний предел lim infИкс_п, это самая большая встреча решек последовательности и внешнего предела lim supИкс_п, это наименьшее сращивание хвостов последовательности. Следующее уточняет это.

• Позволять я_п быть встречей п^th хвост последовательности. То есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=\inf\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcap _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cap X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \cdots .\end{aligned}}}$

Последовательность {я_п} не убывает (я_п ⊆ я_п+1) потому что каждый я_п+1 является пересечением меньшего количества множеств, чем я_п. Наименьшая верхняя граница этой последовательности встреч хвостов равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\to \infty }X_{n}&=\sup\{\inf\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right).\end{aligned}}}$

Таким образом, предел infimum содержит все подмножества, которые являются нижними границами для всех, кроме конечного числа наборов последовательности.

• Аналогично пусть J_п быть частью п^th хвост последовательности. То есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}&=\sup\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcup _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cup X_{n+1}\cup X_{n+2}\cup \cdots .\end{aligned}}}$

Последовательность {J_п} не возрастает (J_п ⊇ J_п+1) потому что каждый J_п+1 это объединение меньшего количества множеств, чем J_п. Наибольшая нижняя граница этой последовательности соединений хвостов равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }X_{n}&=\inf\{\sup\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right).\end{aligned}}}$

Таким образом, предельная верхняя грань содержится во всех подмножествах, которые являются верхними границами для всех, кроме конечного числа наборов последовательности.

Примеры

Ниже приводится несколько примеров сходимости набора. Они разбиты на секции по метрике, используемой для создания топологии на множестве Икс.

С использованием дискретная метрика

• В Лемма Бореля – Кантелли. это пример применения этих конструкций.

Используя либо дискретную метрику, либо Евклидова метрика

• Рассмотрим множество Икс = {0,1} и последовательность подмножеств:

${\displaystyle \{X_{n}\}=\{\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots \}.}$

«Нечетный» и «четный» элементы этой последовательности образуют две подпоследовательности: {{0}, {0}, {0}, ...} и {{1}, {1}, {1}, ... }, которые имеют предельные точки 0 и 1 соответственно, поэтому внешний или верхний предел - это набор {0,1} этих двух точек. Однако нет предельных точек, которые можно взять из {Икс_п} последовательность в целом, поэтому внутренним или нижним пределом является пустое множество {}. То есть,

• лим супИкс_п = {0,1}
• lim infИкс_п = {}

Однако для {Y_п} = {{0}, {0}, {0}, ...} и {Z_п} = {{1},{1},{1},...}:

• лим супY_п = lim infY_п = limY_п = {0}
• лим супZ_п = lim infZ_п = limZ_п = {1}

• Рассмотрим множество Икс = {50, 20, -100, -25, 0, 1} и последовательность подмножеств:

${\displaystyle \{X_{n}\}=\{\{50\},\{20\},\{-100\},\{-25\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots \}.}$

Как и в двух предыдущих примерах,

• лим супИкс_п = {0,1}
• lim infИкс_п = {}

То есть четыре элемента, которые не соответствуют шаблону, не влияют на lim inf и lim sup, потому что их только конечное количество. Фактически, эти элементы могут быть размещены в любом месте последовательности (например, в позициях 100, 150, 275 и 55000). Пока хвосты последовательности сохраняются, внешние и внутренние пределы остаются неизменными. Связанные концепции существенный внутренние и внешние пределы, которые используют существенный супремум и существенная нижняя грань, обеспечивают важную модификацию, которая "сжимает" счетное количество (а не только конечное число) добавлений межстраничных объявлений.

Использование евклидовой метрики

• Рассмотрим последовательность подмножеств рациональное число:

${\displaystyle \{X_{n}\}=\{\{0\},\{1\},\{1/2\},\{1/2\},\{2/3\},\{1/3\},\{3/4\},\{1/4\},\dots \}.}$

«Нечетные» и «четные» элементы этой последовательности образуют две подпоследовательности: {{0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...} и {{1}, { 1/2}, {1/3}, {1/4}, ...}, которые имеют точки ограничения 1 и 0, соответственно, и поэтому внешний или верхний предел - это набор {0,1} этих двух точки. Однако нет предельных точек, которые можно взять из {Икс_п} последовательность в целом, поэтому внутренним или нижним пределом является пустое множество {}. Итак, как и в предыдущем примере,

• лим супИкс_п = {0,1}
• lim infИкс_п = {}

Однако для {Y_п} = {{0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...} и {Z_п} = {{1},{1/2},{1/3},{1/4},...}:

• лим супY_п = lim infY_п = limY_п = {1}
• лим супZ_п = lim infZ_п = limZ_п = {0}

В каждом из этих четырех случаев элементы предельных множеств не являются элементами ни одного из множеств исходной последовательности.

• Предел Ω (т. Е. установленный предел ) решения динамическая система - внешний предел траекторий решения системы.^[4]:50–51 Поскольку траектории становятся все ближе и ближе к этому пределу, хвосты этих траекторий сходиться к установленному пределу.

• Например, система LTI, которая является каскадное соединение из нескольких стабильный системы с незатухающим вторым порядком Система LTI (т.е. ноль коэффициент демпфирования ) будет бесконечно колебаться после возмущения (например, идеальный колокол после удара). Следовательно, если положение и скорость этой системы сопоставлены друг с другом, траектории будут приближаться к кругу в пространство состояний. Эта окружность, которая является предельным множеством Ω системы, является внешним пределом траекторий решения системы. Круг представляет собой геометрическое место траектории, соответствующей выходному сигналу чистого синусоидального тона; то есть выходной сигнал системы приближается к чистому тону.

Обобщенные определения

Приведенные выше определения не подходят для многих технических приложений. Фактически, приведенные выше определения являются конкретизацией следующих определений.

Определение набора

Предел неполноценного набора Икс ⊆ Y это инфимум всех предельные точки набора. То есть,

${\displaystyle \liminf X:=\inf\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

Точно так же верхний предел набора Икс это супремум всех предельных точек множества. То есть,

${\displaystyle \limsup X:=\sup\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

Обратите внимание, что набор Икс необходимо определить как подмножество частично заказанный набор Y это тоже топологическое пространство чтобы эти определения имели смысл. Более того, это должен быть полная решетка так что супрема и инфима существуют всегда. В этом случае каждый набор имеет верхний предел и нижний предел. Также обратите внимание, что нижний предел и верхний предел набора не обязательно должны быть элементами набора.

Определение баз фильтров

Взять топологическое пространство Икс и основание фильтра B в этом пространстве. Набор всех кластерные точки для этой базы фильтра дается

${\displaystyle \bigcap \{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

куда ${\displaystyle {\overline {B}}_{0}}$ это закрытие из ${\displaystyle B_{0}}$. Это явно закрытый набор и аналогичен набору предельных точек набора. Предположить, что Икс также частично заказанный набор. Верхний предел фильтрующей базы B определяется как

${\displaystyle \limsup B:=\sup \bigcap \{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

когда этот супремум существует. Когда Икс имеет общий заказ, это полная решетка и имеет топология заказа,

${\displaystyle \limsup B=\inf\{\sup B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

Точно так же предел ниже базы фильтра B определяется как

${\displaystyle \liminf B:=\inf \bigcap \{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

когда существует этот инфимум; если Икс полностью упорядочен, является полной решеткой и имеет порядковую топологию, то

${\displaystyle \liminf B=\sup\{\inf B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

Если нижний предел и верхний предел совпадают, тогда должна быть ровно одна точка кластера, и предел базы фильтра равен этой уникальной точке кластера.

Специализация на последовательностях и сетях

Обратите внимание, что базы фильтров являются обобщением сети, которые являются обобщениями последовательности. Следовательно, эти определения дают нижний предел и предел высшего любой сети (и, следовательно, любой последовательности). Например, возьмем топологическое пространство ${\displaystyle X}$ и сеть ${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}$, куда ${\displaystyle (A,{\leq })}$ это направленный набор и ${\displaystyle x_{\alpha }\in X}$ для всех ${\displaystyle \alpha \in A}$. База фильтра ("хвостов"), генерируемая этой сетью, равна ${\displaystyle B}$ определяется

${\displaystyle B:=\{\{x_{\alpha }:\alpha _{0}\leq \alpha \}:\alpha _{0}\in A\}.\,}$

Следовательно, нижний предел и верхний предел сети равны верхнему пределу и нижнему пределу ${\displaystyle B}$ соответственно. Аналогично для топологического пространства ${\displaystyle X}$возьмем последовательность ${\displaystyle (x_{n})}$ куда ${\displaystyle x_{n}\in X}$ для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ с ${\displaystyle \mathbb {N} }$ будучи набором натуральные числа. База фильтра ("хвостов"), сгенерированная этой последовательностью, равна ${\displaystyle C}$ определяется

${\displaystyle C:=\{\{x_{n}:n_{0}\leq n\}:n_{0}\in \mathbb {N} \}.\,}$

Следовательно, нижний предел и верхний предел последовательности равны верхнему пределу и нижнему пределу последовательности. ${\displaystyle C}$ соответственно.

Смотрите также

• Essential supremum и essential infimum
• Конверт (волны)
• Односторонний предел
• Производные Дини
• Теоретико-множественный предел

Рекомендации

1. Рудин, В. (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 56. ISBN  007054235X.
2. «Ограниченные промежутки между простыми числами». Polymath вики. Получено 14 мая 2014.
3. «Критерий Лебега для интегрируемости Римана (MATH314 Lecture Notes)» (PDF). Виндзорский университет. Архивировано из оригинал (PDF) на 2007-03-03. Получено 2006-02-24.
4. Гебель, Рафаль; Sanfelice, Ricardo G .; Тил, Эндрю Р. (2009). «Гибридные динамические системы». Журнал IEEE Control Systems. 29 (2): 28–93. Дои:10.1109 / MCS.2008.931718.
5. Халмос, Пол Р. (1950). Теория измерения. Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, Inc.

• Amann, H .; Эшер, Иоахим (2005). Анализ. Базель; Бостон: Биркхойзер. ISBN  0-8176-7153-6.
• Гонсалес, Марио О (1991). Классический комплексный анализ. Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  0-8247-8415-4.

внешняя ссылка

• «Верхний и нижний пределы», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]