Супераддитивность - Superadditivity

В математика, а последовательность {а_п}, п ≥ 1, называется супераддитив если он удовлетворяет неравенство

${\displaystyle a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}}$

для всех м и п. Основная причина использования супераддитивных последовательностей заключается в следующем. лемма из-за Майкл Фекете.^[1]

Лемма: (Фекете) Для любой супераддитивной последовательности {а_п}, п ≥ 1, предел Lim а_п /п существует и равно sup а_п /п. (Предел может быть положительной бесконечностью, например, для последовательности а_п = журналп!.)

Аналогично функция ж является супераддитив если

${\displaystyle f(x+y)\geq f(x)+f(y)}$

для всех Икс и у в домен из ж.

Например, ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ является супераддитивной функцией для неотрицательных действительные числа поскольку квадрат из ${\displaystyle x+y}$ всегда больше или равно квадрату ${\displaystyle x}$ плюс квадрат ${\displaystyle y}$, для неотрицательных действительных чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$.

Аналог леммы Фекете верен для субаддитив Существуют расширения леммы Фекете, которые не требуют, чтобы определение супераддитивности выполнялось для всех м и п. Существуют также результаты, позволяющие вывести скорость сходимости к пределу, существование которого указано в лемме Фекете, если присутствует какая-то супераддитивность и субаддитивность. Хорошее изложение этой темы можно найти в Steele (1997).^[2][3]

Термин «супераддитив» также применяется к функциям из логическая алгебра к действительным числам, где ${\displaystyle P(X\lor Y)\geq P(X)+P(Y)}$, такие как более низкие вероятности.

Если ж является супераддитивной функцией, и если 0 находится в ее области определения, то ж(0) ≤ 0. Чтобы увидеть это, возьмем неравенство вверху: ${\displaystyle f(x)\leq f(x+y)-f(y)}$. Следовательно ${\displaystyle f(0)\leq f(0+y)-f(y)=0.}$

Отрицательный результат супераддитивной функции равен субаддитив.

Примеры супераддитивных функций

• В детерминант является супераддитивом для неотрицательного Эрмитова матрица, т.е. если ${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$ неотрицательны эрмитовы, то ${\displaystyle \det(A+B)\geq \det(A)+\det(B)}$.

Это следует из теоремы о детерминанте Минковского, которая в более общем плане утверждает, что ${\displaystyle \det(\cdot )^{1/n}}$ супераддитивна (эквивалентно вогнутый )^[4] для неотрицательных эрмитовых матриц размера п: Если ${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$ неотрицательны эрмитовы, то ${\displaystyle \det(A+B)^{1/n}\geq \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}}$.

• Взаимная информация
• Хорст Альцер доказал ^[5] это Гамма-функция Адамара ЧАС(Икс) супераддитивна для всех действительных чисел Икс, у с участием Икс, у ≥ 1.5031.

Смотрите также

• Интеграл Шоке
• Субаддитивность

использованная литература

1. Фекете, М. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Mathematische Zeitschrift. 17 (1): 228–249. Дои:10.1007 / BF01504345.
2. Майкл Дж. Стил (1997). Теория вероятностей и комбинаторная оптимизация. СИАМ, Филадельфия. ISBN  0-89871-380-3.
3. Майкл Дж. Стил (2011). Лекции CBMS по теории вероятностей и комбинаторной оптимизации. Кембриджский университет.
4. М. Маркус, Х. Минк (1992). Обзор по теории матриц и матричным неравенствам. Дувр. Теорема 4.1.8, стр. 115.
5. Хорст Альцер (2009). Супераддитивное свойство гамма-функции Адамара. Springer. Дои:10.1007 / s12188-008-0009-5.

Заметки

• Дьёрдь Поля и Габор Сегё. (1976). Проблемы и теоремы анализа, том 1. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN  0-387-05672-6.

Эта статья включает в себя материал из Супераддитивности по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.