Квадрат (алгебра) - Square (algebra)

«²» перенаправляется сюда. Типографию надстрочных индексов см. подстрочный и надстрочный.

5⋅5, или 5² (5 в квадрате), можно отобразить графически с помощью квадрат. Каждый блок представляет собой одну единицу, 1⋅1, а весь квадрат представляет 5⋅5, или площадь квадрата.

В математика, а квадрат это результат умножение а количество сам по себе. Глагол «квадрат» используется для обозначения этой операции. Квадрат такой же, как повышение до сила2, и обозначается a надстрочный индекс 2; например, квадрат 3 можно записать как 3², то есть число 9. В некоторых случаях, когда верхние индексы недоступны, как, например, в языки программирования или простой текст файлы, обозначения Икс^2 или Икс**2 может использоваться вместо Икс².

Прилагательное, которое соответствует возведению в квадрат: квадратичный.

Площадь целое число можно также назвать квадратный номер или идеальный квадрат. В алгебра, операция возведения в квадрат часто обобщается на многочлены, Другой выражения, или значения в системах математических значений, отличных от чисел. Например, квадрат линейный полином Икс + 1 это квадратичный многочлен (Икс+1)² = Икс² + 2Икс + 1.

Одно из важных свойств возведения в квадрат как для чисел, так и для многих других математических систем состоит в том, что (для всех чисел Икс), квадрат Икс такой же, как и квадрат его Противоположное число −Икс. То есть функция квадрата удовлетворяет тождеству Икс² = (−Икс)². Это также можно выразить, сказав, что функция квадрата является даже функция.

В реальных цифрах

График квадратной функции у = Икс² это парабола.

Операция возведения в квадрат определяет реальная функция называется квадратная функция или функция возведения в квадрат. это домен это весь реальная линия, и это образ - множество неотрицательных действительных чисел.

Функция квадрата сохраняет порядок положительных чисел: большие числа имеют большие квадраты. Другими словами, квадрат - это монотонная функция на интервале [0, +∞). На отрицательных числах числа с большим абсолютным значением имеют большие квадраты, поэтому квадрат является монотонно убывающей функцией на (−∞,0]. Следовательно, нуль это (глобальный) минимум функции квадрата. Икс² из числа Икс меньше чем Икс (это Икс² < Икс) если и только если 0 < Икс < 1, то есть если Икс принадлежит к открытый интервал (0,1). Это означает, что квадрат целого числа никогда не меньше исходного числа. Икс.

Каждый положительный настоящий номер представляет собой квадрат ровно двух чисел, одно из которых строго положительно, а другое - строго отрицательно. Ноль - это квадрат только одного числа. По этой причине можно определить квадратный корень функция, которая связывает неотрицательное действительное число с неотрицательным числом, квадрат которого является исходным числом.

Из отрицательного числа нельзя извлечь квадратный корень в системе действительные числа, потому что квадраты всех действительных чисел равны неотрицательный. Отсутствие действительных квадратных корней для отрицательных чисел может быть использовано для расширения действительной системы счисления до сложные числа, постулируя мнимая единица я, который является одним из квадратных корней из −1.

Свойство «каждое неотрицательное действительное число является квадратом» было обобщено до понятия настоящее закрытое поле, что является упорядоченное поле такой, что каждый неотрицательный элемент является квадратом и каждый многочлен нечетной степени имеет корень. Вещественные замкнутые поля нельзя отличить от поля действительных чисел по их алгебраическим свойствам: каждое свойство действительных чисел, которое может быть выражено в логика первого порядка (что выражается формулой, в которой переменные, которые количественно выражаются ∀ или, представляют элементы, а не множества), истинно для каждого реального закрытого поля и, наоборот, для каждого свойства логики первого порядка, что верно для конкретного реальное закрытое поле верно и для действительных чисел.

В геометрии

Есть несколько основных применений функции квадрата в геометрии.

Название квадратной функции показывает ее важность в определении площадь: это происходит из-за того, что площадь квадрат со сторонами длиныл равно л². Площадь квадратично зависит от размера: площадь фигуры п раз больше п² раз больше. Это справедливо для областей в трех измерениях, а также на плоскости: например, площадь поверхности сфера пропорционален квадрату его радиуса, что физически проявляется в закон обратных квадратов описание того, как сила физических сил, таких как гравитация, изменяется в зависимости от расстояния.

Френеля зонные пластины есть кольца с на равном расстоянии квадрат расстояния до центра

Квадратная функция связана с расстояние сквозь теорема Пифагора и его обобщение, закон параллелограмма. Евклидово расстояние не гладкая функция: the трехмерный график расстояния от фиксированной точки образует конус, с негладким острием на кончике конуса. Однако квадрат расстояния (обозначенный d² или р²), имеющий параболоид как его график, является гладким и аналитическая функция.

В скалярное произведение из Евклидов вектор сама с собой равна квадрату его длины: v⋅v = v². Далее это обобщается на квадратичные формы в линейные пространства через внутренний продукт. В тензор инерции в механика является примером квадратичной формы. Он демонстрирует квадратичную зависимость момент инерции к размеру (длина ).

Бесконечно много Пифагорейские тройки, наборы из трех натуральных чисел такие, что сумма квадратов первых двух равна квадрату третьего. Каждая из этих троек дает целые стороны прямоугольного треугольника.

В абстрактной алгебре и теории чисел

Функция квадрата определена в любом поле или кольцо. Элемент в изображении этой функции называется квадрат, а прообразы квадрата называются квадратные корни.

Понятие возведения в квадрат особенно важно в конечные поля Z/пZ образованный числами по модулю нечетного простое число п. Ненулевой элемент этого поля называется квадратичный вычет если это квадрат в Z/пZ, иначе он называется квадратичным невычетом. Ноль, будучи квадратом, не считается квадратичным остатком. Каждое конечное поле этого типа имеет ровно (п − 1)/2 квадратичные вычеты и ровно (п − 1)/2 квадратичные невычеты. Квадратичные вычеты образуют группа при умножении. Свойства квадратичных вычетов широко используются в теория чисел.

В более общем смысле, в кольцах функция квадрата может иметь разные свойства, которые иногда используются для классификации колец.

Ноль может быть квадратом некоторых ненулевых элементов. А коммутативное кольцо такой, что квадрат ненулевого элемента никогда не равен нулю, называется уменьшенное кольцо. Вообще говоря, в коммутативном кольце радикальный идеал это идеаля такой, что ${\displaystyle x^{2}\in I}$ подразумевает ${\displaystyle x\in I}$. Оба понятия важны в алгебраическая геометрия, потому что Nullstellensatz Гильберта.

Элемент кольца, равный его собственному квадрату, называется идемпотент. В любом кольце 0 и 1 - идемпотенты. Других идемпотентов в полях и вообще в целостные области. Однако кольцо целых чисел по модулю  п имеет 2^k идемпотенты, где k это количество различных главные факторы изпКоммутативное кольцо, в котором каждый элемент равен своему квадрату (каждый элемент идемпотентен), называется Логическое кольцо; пример из Информатика кольцо, элементы которого двоичные числа, с участием побитовое И как операция умножения и побитовое XOR как операция сложения.

В полностью заказанное кольцо, Икс² ≥ 0 для любого Икс. Более того, Икс² = 0 если и только еслиИкс = 0.

В суперкоммутативная алгебра где 2 обратимо, квадрат любого странный элемент равен нулю.

Если А это коммутативная полугруппа, то есть

${\displaystyle \forall x,y\in A\quad (xy)^{2}=xyxy=xxyy=x^{2}y^{2}.}$

На языке квадратичные формы, это равенство говорит, что функция квадрата является «композицией, допускающей форму». Фактически, функция квадрата - это фундамент, на котором строятся другие квадратичные формы, которые также допускают композицию. Процедура была введена Л. Э. Диксон производить октонионы снаружи кватернионы удвоением. Метод удвоения формализован А. А. Альберт кто начал с настоящий номер поле ℝ и квадратную функцию, удвоив ее, чтобы получить комплексное число поле с квадратичной формой Икс² + у², а затем снова удвоить, чтобы получить кватернионы. Процедура удвоения называется Процесс Кэли-Диксона и произведенные конструкции композиционные алгебры.

Функция квадрата может использоваться^{[Как? ]} с ℂ как начало другого использования процесса Кэли-Диксона, приводящего к бикомплексным, бикватернионным и биоктонионным композиционным алгебрам.

В комплексных числах и связанных алгебрах над действительными

Смотрите также: Возведение в степень § Степени комплексных чисел

В сложный квадратная функцияz² это двойное покрытие комплексная плоскость, такое, что каждое ненулевое комплексное число имеет ровно два квадратных корня. Эта карта связана с параболические координаты.

В абсолютный квадрат комплексного числа - произведение z z^* включая его комплексно сопряженный;^{[1][2][3][4][5][6][7][8]}это также может быть выражено через комплексный модуль или абсолютное значение, |z|²Его можно обобщить на векторы как сложное точечное произведение.

Другое использование

Квадраты вездесущи в алгебре, в более общем смысле, почти во всех областях математики, а также в физика где много единицы определяются с помощью квадратов и обратный квадраты: см. ниже.

Наименьших квадратов это стандартный метод, используемый с сверхдетерминированные системы.

Квадрат используется в статистика и теория вероятности в определении среднеквадратичное отклонение набора значений или случайная переменная. Отклонение каждого значенияИкс_я от значить  ${\displaystyle {\overline {x}}}$ множества определяется как разница ${\displaystyle x_{i}-{\overline {x}}}$. Эти отклонения возводятся в квадрат, затем берется среднее значение нового набора чисел (каждое из которых положительно). Это означает отклонение, а его квадратный корень - стандартное отклонение. В финансы, то непостоянство финансового инструмента - стандартное отклонение его значений.

Смотрите также

• Возведение в степень возведением в квадрат
• Полиномиальный SOS, представление неотрицательного многочлена в виде суммы квадратов многочленов
• Семнадцатая проблема Гильберта, для представления положительные полиномы в виде суммы квадратов рациональные функции
• Полином без квадратов
• Куб (алгебра)
• Метрический тензор
• Квадратное уровненеие
• Кольцо полиномов
• Суммы квадратов (страница значений с различными релевантными ссылками)

Связанные личности

Алгебраический (нужен коммутативное кольцо )

• Разница двух квадратов
• Тождество Брахмагупты – Фибоначчи, относящиеся к комплексным числам в рассмотренном выше смысле
• Тождество Эйлера с четырьмя квадратами, относится к кватернионы таким же образом
• Восьмиугольная личность Дегена, относится к октонионы таким же образом
• Личность Лагранжа

Другой

• Пифагорейская тригонометрическая идентичность
• Личность Парсеваля

Связанные физические величины

• ускорение, длина на квадрат времени
• поперечное сечение (физика), величина с размерами площади
• константа связи (имеет квадратный заряд в знаменателе и может быть выражен квадратом расстояния в числителе)
• кинетическая энергия (квадратичная зависимость от скорости)
• удельная энергия, a (квадратная скорость) -мерная величина

Сноски

1. Вайсштейн, Эрик В. «Абсолютный квадрат». mathworld.wolfram.com.
2. Мур, Томас (9 января 2003 г.). Шесть идей, которые сформировали физику: блок Q - Частицы ведут себя как волны. McGraw-Hill Education. ISBN  9780072397130 - через Google Книги.
3. Blanpied, Уильям А. (4 сентября 1969 г.). «Физика: ее структура и эволюция». Издательство Blaisdell - через Google Книги.
4. Грейнер, Уолтер (6 декабря 2012 г.). Квантовая механика: введение. Springer Science & Business Media. ISBN  9783642579745 - через Google Книги.
5. Burkhardt, Charles E .; Левенталь, Джейкоб Дж. (15 декабря 2008 г.). Основы квантовой физики. Springer Science & Business Media. ISBN  9780387776521 - через Google Книги.
6. Сенезе, Фред (24 августа 2018 г.). Символическая математика для химиков: руководство для пользователей Maxima. Джон Вили и сыновья. ISBN  9781119273233 - через Google Книги.
7. Штайнер, Марк (30 июня 2009 г.). Применимость математики как философской проблемы. Издательство Гарвардского университета. ISBN  9780674043985 - через Google Книги.
8. Модлин, Тим (19 марта 2019 г.). Философия физики: квантовая теория. Издательство Принстонского университета. ISBN  9780691183527 - через Google Книги.

дальнейшее чтение

• Маршалл, Мюррей Положительные многочлены и суммы квадратов. Математические обзоры и монографии, 146. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. xii + 187 с. ISBN  978-0-8218-4402-1, ISBN  0-8218-4402-4
• Раджваде, А. Р. (1993). Квадраты. Серия лекций Лондонского математического общества. 171. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-42668-5. Zbl  0785.11022.