Тождество парсевалов - Parsevals identity

В математический анализ, Личность Парсеваля, названный в честь Марк-Антуан Парсеваль, является фундаментальным результатом о суммируемость из Ряд Фурье функции. Геометрически это обобщенный теорема Пифагора за внутренние пространства продукта (который может иметь бесчисленное множество базисных векторов).

Неформально тождество утверждает, что сумма квадратов коэффициентов Фурье функции равна интегралу квадрата функции,

${\displaystyle \Vert f\Vert _{L^{2}(-\pi ,\pi )}^{2}=\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx=2\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}}$

где коэффициенты Фурье c_п из ƒ даны

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx.}$

Более формально результат сохраняется, как указано при условии ƒ является квадратично интегрируемый или, в более общем смысле, в L²[−π, π]. Аналогичный результат дает Теорема Планшереля, которая утверждает, что интеграл квадрата преобразование Фурье функции равна интегралу от квадрата самой функции. В одномерном, для ƒ ∈ L²(р),

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi =\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.}$

Обобщение теоремы Пифагора.

Идентичность связана с теорема Пифагора в более общем контексте отделяемый Гильбертово пространство следующее. Предположим, что ЧАС является гильбертовым пространством со скалярным произведением 〈•, •〉. Позволять (е_п) быть ортонормированный базис из ЧАС; т.е. линейный пролет из е_п является плотный в ЧАС, а е_п взаимно ортонормированы:

${\displaystyle \langle e_{m},e_{n}\rangle ={\begin{cases}1&{\mbox{if}}\ m=n\\0&{\mbox{if}}\ m\not =n.\end{cases}}}$

Тогда личность Парсеваля утверждает, что для каждого Икс ∈ ЧАС,

${\displaystyle \sum _{n}|\langle x,e_{n}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}.}$

Это прямо аналогично теореме Пифагора, которая утверждает, что сумма квадратов компонентов вектора в ортонормированном базисе равна квадрату длины вектора. Можно восстановить версию тождества Парсеваля в виде ряда Фурье, позволив ЧАС быть гильбертовым пространством L²[−π, π] и полагая е_п = e^−inx за п ∈ Z.

В более общем плане личность Парсеваля сохраняется в любом внутреннее пространство продукта, а не только сепарабельные гильбертовы пространства. Итак, предположим, что ЧАС внутреннее пространство продукта. Позволять B быть ортонормированный базис из ЧАС; т.е. ортонормированное множество, которое общий в том смысле, что линейная оболочка B плотно в ЧАС. потом

${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle =\sum _{v\in B}\left|\langle x,v\rangle \right|^{2}.}$

Предположение, что B Всего необходимо для действительности удостоверения личности. Если B не является полным, то равенство в тождестве Парсеваля необходимо заменить на ≥, уступающий Неравенство Бесселя. Эта общая форма тождества Парсеваля может быть доказана с помощью Теорема Рисса – Фишера.

Смотрите также

• Теорема Парсеваля

Рекомендации

• «Парсевальское равенство», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Джонсон, Ли У .; Рис, Р. Дин (1982), Числовой анализ (2-е изд.), Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN  0-201-10392-3.
• Титчмарш, Э (1939), Теория функций (2-е изд.), Oxford University Press.
• Зигмунд, Антони (1968), Тригонометрический ряд (2-е изд.), Cambridge University Press (опубликовано в 1988 г.), ISBN  978-0-521-35885-9.
• Сиктар, Джошуа (2019), Пересмотр доказательства личности Парсеваля, Турецкий журнал неравенства. [1]