Теорема Парсеваля - Parsevals theorem

В математика, Теорема Парсеваля^[1] обычно относится к результату, который преобразование Фурье является унитарный; грубо говоря, сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата ее преобразования. Это происходит из теоремы 1799 г. серии к Марк-Антуан Парсеваль, который позже был применен к Ряд Фурье. Он также известен как Теорема энергии Рэлея, или же Личность Рэлея, после Джон Уильям Стратт, Лорд Рэйли.^[2]

Хотя термин «теорема Парсеваля» часто используется для описания унитарности любой Преобразование Фурье, особенно в физика, наиболее общий вид этого свойства правильнее называть Теорема Планшереля.^[3]

Формулировка теоремы Парсеваля

Предположим, что ${\displaystyle A(x)}$ и ${\displaystyle B(x)}$ - две комплексные функции на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ периода ${\displaystyle 2\pi }$ которые квадратично интегрируемый (с уважением к Мера Лебега ) на интервалах длины периода, с Ряд Фурье

${\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}}$

и

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx}}$

соответственно. потом

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x){\overline {B(x)}}\,\mathrm {d} x,}$

(Уравнение 1)

куда ${\displaystyle i}$ это мнимая единица и горизонтальные полосы указывают комплексное сопряжение.

В более общем смысле, учитывая абелевский локально компактная группа грамм с Понтрягин дуальный G ^, Теорема Парсеваля утверждает, что преобразование Понтрягина – Фурье является унитарным оператором между гильбертовыми пространствами L²(грамм) и L²(G ^) (с интеграцией против соответственно масштабированной Меры Хаара на две группы.) Когда грамм это единичный круг Т, G ^ - целые числа, и это тот случай, о котором говорилось выше. Когда грамм это настоящая линия ${\displaystyle \mathbb {R} }$, G ^ это также ${\displaystyle \mathbb {R} }$ а унитарное преобразование - это преобразование Фурье на реальной линии. Когда грамм это циклическая группа Z_п, опять же, он самодуальный, и преобразование Понтрягина – Фурье называется дискретное преобразование Фурье в прикладных контекстах.

Теорема Парсеваля также может быть выражена следующим образом: Предположим, ${\displaystyle f(x)}$ является интегрируемой с квадратом функцией над ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ (т.е. ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle f^{2}(x)}$ интегрируемы на этом интервале) с рядом Фурье

${\displaystyle f(x)\simeq {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)).}$

потом^[4][5][6]

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}).}$

Обозначения, используемые в физике

В физика и инженерии, теорема Парсеваля часто записывается как:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|X(\omega )|^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty }|X(2\pi f)|^{2}\,\mathrm {d} f}$

куда ${\displaystyle X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}}$ представляет непрерывное преобразование Фурье (в нормализованной, унитарной форме) ${\displaystyle x(t)}$, и ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ частота в радианах в секунду.

Интерпретация этой формы теоремы состоит в том, что общая энергия сигнала можно рассчитать путем суммирования мощности на выборку по времени или спектральной мощности по частоте.

За дискретное время сигналы, теорема принимает следующий вид:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X_{2\pi }({\phi })|^{2}\mathrm {d} \phi }$

куда ${\displaystyle X_{2\pi }}$ это преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT) из ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle \phi }$ представляет угловая частота (в радианы за образец) ${\displaystyle x}$.

В качестве альтернативы для дискретное преобразование Фурье (DFT) соотношение становится:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}}$

куда ${\displaystyle X[k]}$ это ДПФ ${\displaystyle x[n]}$, оба длины ${\displaystyle N}$.

Смотрите также

Теорема Парсеваля тесно связана с другими математическими результатами, включающими унитарные преобразования:

• Личность Парсеваля
• Теорема Планшереля
• Теорема Винера – Хинчина
• Неравенство Бесселя

Примечания

1. Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'integration complete d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants ", представленный в Академии наук (Париж) 5 апреля 1799 года. Эта статья была опубликовано в Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses Assemblées. Науки, математика и физика. (Ученые-незнакомцы.), т. 1, страницы 638–648 (1806).
2. Рэлей, J.W.S. (1889 г.) «О характере полного излучения при данной температуре». Философский журнал, т. 27, страницы 460–469. Доступно онлайн здесь.
3. Планшерель, Мишель (1910) «Вклад в этюд представления единой функции арбитража с интегральными определениями», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, т. 30, страницы 298–335.
4. Артур Э. Данезе (1965). Расширенный расчет. 1. Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon, Inc., стр. 439.
5. Уилфред Каплан (1991). Расширенный расчет (4-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон Уэсли. п.519. ISBN  0-201-57888-3.
6. Георгий Петрович Толстов (1962). Ряд Фурье. Перевод Сильвермана, Ричарда. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., стр.119.

Рекомендации

• Парсеваль, Архив истории математики MacTutor.
• Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков (Харкорт: Сан-Диего, 2001).
• Хуберт Кеннеди, Восемь математических биографий (Безусловные публикации: Сан-Франциско, 2002 г.).
• Алан В. Оппенгейм и Рональд В. Шафер, Обработка сигналов в дискретном времени 2-е издание (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) стр. 60.
• Уильям МакКи. Зиберт, Цепи, сигналы и системы (MIT Press: Кембридж, Массачусетс, 1986), стр. 410–411.
• Дэвид В. Каммлер, Первый курс анализа Фурье (Prentice-Hall, Inc., Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси, 2000) с. 74.

внешняя ссылка

• Теорема Парсеваля на Mathworld