Воображаемая единица - Imaginary unit

я

в сложный или Декартово самолет. Действительные числа лежат на горизонтальной оси, а мнимые числа - на вертикальной оси.

В мнимая единица или мнимое число ( $я$ ) является решением квадратное уровненеие $Икс 2 + 1 = 0$ . Хотя нет настоящий номер с этим свойством, $я$ может использоваться для расширения действительных чисел до того, что называется сложные числа, с помощью дополнение и умножение. Простой пример использования $я$ в комплексном числе $2 + 3 я$ .

Мнимые числа важны математический концепция, которая расширяет систему действительных чисел $ℝ$ в комплексную систему счисления $ℂ$ , в котором хотя бы один корень для каждого непостоянного многочлен существует (см. Алгебраическое замыкание и Основная теорема алгебры ). Здесь термин «мнимый» используется, потому что нет настоящий номер имея отрицательный квадрат.

Есть два комплексных квадратных корня из $-1$ , а именно $я$ и $- я$ , так же как есть два сложных квадратные корни каждого действительного числа кроме нуль (который имеет один двойной квадратный корень ).

В контекстах, где использование буквы $я$ неоднозначно или проблематично, буква $j$ или греческий $ι$ иногда используется вместо.^[а] Например, в электротехника и разработка систем управления, мнимая единица обычно обозначается как $j$ вместо того $я$ , потому что $я$ обычно используется для обозначения электрический ток.

Историю воображаемой единицы см. Комплексное число § История.

Определение

Полномочия $я$ вернуть циклические значения:
$...$ (повторяет узор от смелый синяя область)
$я -3 = + я$
$я -2 = -1$
$я -1 = - я$
$я 0 = +1$
$я 1 = + я$
$я 2 = -1$
$я 3 = - я$
$я 4 = +1$
$я 5 = я$
$я 6 = -1$
$...$ (повторяет узор от смелый синяя область)

Мнимое число $я$ определяется исключительно тем свойством, что его квадрат равно -1:

{ displaystyle i ^ {2} = - 1 ~.}

С участием $я$ определенное таким образом, непосредственно из алгебры следует, что $+ я$ и $- я$ оба квадратные корни -1.

Хотя конструкция называется «мнимой», и хотя понятие мнимого числа может быть интуитивно сложнее для понимания, чем концепция действительного числа, конструкция совершенно верна с математической точки зрения. Операции с вещественными числами могут быть расширены до мнимых и комплексных чисел, обрабатывая $я$ как неизвестная величина при манипулировании выражением (и использовании определения для замены любого вхождения $я 2$ с −1). Высшие интегральные степени $я$ также можно заменить на $- я$ , +1, $+ я$ , или -1:

{ Displaystyle я ^ {3} = я ^ {2} я = (- 1) я = -i}

{ Displaystyle я ^ {4} = я ^ {3} я = (- я) я = - (я ^ {2}) = - (- 1) = 1}

{ Displaystyle я ^ {5} = я ^ {4} я = (1) я = я}

Точно так же, как и с любым ненулевым действительным числом:

{ displaystyle i ^ {0} = i ^ {+ 1-1} = i ^ {+ 1} i ^ {- 1} = i ^ {+ 1} { frac {1} {i}} = i { frac {1} {i}} = { frac {i} {i}} = 1}

Как комплексное число, $я$ представлен в прямоугольная форма так как $0 + 1 я$ , с нулевой действительной составляющей и единичной мнимой составляющей. В полярная форма, $я$ представлен как $1\cdot е я /2$ (или просто $е я /2$ ), с абсолютная величина (или величина) 1 и аргумент (или угол) $π /2$ . в комплексная плоскость (также известный как плоскость Аргана), которая представляет собой особую интерпретацию Декартова плоскость, $я$ точка, расположенная на расстоянии одной единицы от начала координат по мнимая ось (который ортогонален реальная ось ).

$я$ vs. $- я$

Будучи квадратичный многочлен без множественный корень, определяющее уравнение $Икс 2 = -1$ имеет два различные решения, которые одинаково действительны и которые оказываются добавка и мультипликативные обратные друг друга. Однажды решение $я$ уравнения зафиксировано, значение $- я$ , который отличается от $я$ , тоже решение. Поскольку уравнение является единственным определением $я$ , оказывается, что определение неоднозначно (точнее, не четко определенный ). Однако двусмысленности не будет, если то или иное решение будет выбрано и помечено как " $я$ ", а другой помечается как $- я$ .^[3] Ведь хотя $- я$ и $+ я$ не количественно эквивалент (они находятся негативы друг друга), нет алгебраический разница между $+ я$ и $- я$ , поскольку оба мнимых числа имеют равные права на то, чтобы быть числом, квадрат которого равен -1.

Фактически, если бы все математические учебники и опубликованная литература, относящиеся к мнимым или комплексным числам, были бы переписаны с $- я$ заменяя каждое появление $+ я$ (и, следовательно, каждое появление $- я$ заменяется $-(- я) = + я$ ), все факты и теоремы останутся в силе. Различие между двумя корнями $Икс$ из $Икс 2 + 1 = 0$ , одна из которых помечена знаком минус, является чисто условной реликвией; ни один из корней нельзя назвать более первичным или фундаментальным, чем другой, и ни один из них не является «положительным» или «отрицательным».^[4]

Проблема может быть тонкой: самое точное объяснение - сказать, что хотя сложный поле, определяется как $ℝ [Икс]/(Икс 2 + 1)$ (увидеть комплексное число ), является уникальный вплоть до изоморфизм, это не уникальный до уникальный изоморфизм: ровно два полевые автоморфизмы из $ℝ [Икс]/(Икс 2 + 1)$ которые фиксируют каждое действительное число: идентичность и отправка автоморфизма $Икс$ к $- Икс$ . Подробнее см. комплексно сопряженный и Группа Галуа.

Матрицы

(Икс, у)

ограничен гиперболой

ху = -1

для мнимой единичной матрицы.

Аналогичная проблема возникает, если комплексные числа интерпретируются как вещественные матрицы 2 × 2 (см. матричное представление комплексных чисел ), потому что тогда оба

{ displaystyle X = { begin {pmatrix} 0 & -1 1 & ; ; 0 end {pmatrix}}}

и

{ displaystyle X = { begin {pmatrix} ; ; 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}}}

были бы решениями матричного уравнения

{ displaystyle X ^ {2} = - I = - { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & ; ; 0 ; ; 0 & -1 end {pmatrix}}.}

В этом случае неоднозначность возникает из-за геометрического выбора «направления» вокруг единичный круг это «положительное» вращение. Более точное объяснение - сказать, что группа автоморфизмов из специальная ортогональная группа $SO (2, ℝ$ ) имеет ровно два элемента: тождество и автоморфизм, который меняет местами вращения «CW» (по часовой стрелке) и «CCW» (против часовой стрелки). Подробнее см. ортогональная группа.

Все эти неоднозначности можно решить, приняв более строгие правила. определение комплексного числа, и явно выбор одно из решений уравнения - мнимая единица. Например, упорядоченная пара (0, 1) в обычном построении комплексных чисел с двумерными векторами.

Рассмотрим матричное уравнение ${ displaystyle { begin {pmatrix} z & x y & -z end {pmatrix}} ^ {2} ! ! = { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}}. }$ Вот, ${ displaystyle z ^ {2} + xy = -1}$ , поэтому продукт ${ displaystyle xy}$ отрицательно, потому что ${ displaystyle xy = - (1 + z ^ {2}),}$ таким образом, точка ${ Displaystyle (х, у)}$ лежит во II или IV квадранте. Более того,

{ Displaystyle Z ^ {2} = - (1 + ху) geq 0 подразумевает ху leq -1}

так ${ Displaystyle (х, у)}$ ограничена гиперболой $ху = -1$ .

Правильное использование

Мнимую единицу иногда пишут $\sqrt -1$ в контексте продвинутой математики^[3] (а также в менее продвинутых популярных текстах). Однако при манипулировании формулами, включающими радикалы. Обозначение знака радикала зарезервировано либо для функции главного квадратного корня, которая равна только определены для реального $Икс \geq 0$ , или для главной ветви функции комплексного квадратного корня. Попытка применить правила вычисления функции основного (действительного) квадратного корня для управления основной ветвью функции комплексного квадратного корня может привести к ложным результатам:^[5]

{ displaystyle -1 = я cdot я = { sqrt {-1 ,}} cdot { sqrt {-1 ,}} = { sqrt {(-1) cdot (-1) , }} = { sqrt {1 ,}} = 1 qquad (неверно).}

Так же:

{ displaystyle { frac {1} {, i ,}} = { frac { sqrt {1 ,}} {, { sqrt {-1 ,}} ;}} = { sqrt {{ frac {1} {, - 1 ;}} ,}} = { sqrt {{ frac {, - 1 ;} {1}} ,}} = { sqrt { -1 ,}} = i qquad (неверно).}

Правила расчета

{ displaystyle { sqrt {a ,}} cdot { sqrt {b ,}} = { sqrt {a cdot b ,}}}

и

{ displaystyle { frac { sqrt {a ,}} { sqrt {b ,}}} = { sqrt {{ frac {, a ,} {b}} ,}}}

действительны только для реальных положительных значений $а$ и $б$ .^[6]^[7]^[8]

Этих проблем можно избежать, написав такие выражения, как $я \sqrt 7$ , скорее, чем $\sqrt -7$ . Для более подробного обсуждения см. квадратный корень и точка ветвления.

Свойства

Квадратные корни

Два квадратных корня из

я

в комплексной плоскости

Три кубических корня

я

в комплексной плоскости

Как и все ненулевые комплексные числа, $я$ имеет два квадратных корня: они^[b]

{ displaystyle pm left ({ frac { sqrt {2 ,}} {2}} + { frac { sqrt {2}} {2}} i right) = pm { frac { sqrt {2 ,}} {2}} (1 + i).}

Действительно, возведение обоих выражений в квадрат дает:

{ displaystyle { begin {align} left ( pm { frac { sqrt {2 ,}} {2}} (1 + i) right) ^ {2} & = left ( pm { frac { sqrt {2 ,}} {2}} right) ^ {2} (1 + i) ^ {2} & = { frac {1} {2}} (1+ 2i + i ^ {2}) & = { frac {1} {2}} (1 + 2i-1) & = i ~. , конец {выровнено}}}

Используя знак радикала для главный квадратный корень, мы получаем:

{ displaystyle { sqrt {i ,}} = { frac { sqrt {2 ,}} {2}} (1 + i) ~.}

Кубические корни

Три кубических корня $я$ находятся:

{ displaystyle -i,}

{ displaystyle { frac { sqrt {3 ,}} {2}} + { frac {i} {2}} ,,}

и

{ displaystyle - { frac { sqrt {3 ,}} {2}} + { frac {i} {2}} ~.}

Как и все корни 1, все корни $я$ являются вершинами правильные многоугольники, которые вписаны в единичный круг в комплексной плоскости.

Умножение и деление

Умножение комплексного числа на $я$ дает:

{ displaystyle i , (a + bi) = ai + bi ^ {2} = - b + ai ~.}

(Это эквивалентно повороту вектора на 90 ° против часовой стрелки вокруг начала координат в комплексной плоскости.)

Деление на $я$ эквивалентно умножению на взаимный из $я$ :

{ displaystyle { frac {1} {i}} = { frac {1} {i}} cdot { frac {i} {i}} = { frac {i} {i ^ {2}} } = { frac {i} {- 1}} = - i ~.}

Используя это тождество для обобщения деления на $я$ ко всем комплексным числам дает:

{ displaystyle { frac {a + bi} {i}} = - i , (a + bi) = - ai-bi ^ {2} = b-ai ~.}

(Это эквивалентно повороту вектора на 90 ° по часовой стрелке вокруг начала координат в комплексной плоскости.)

Полномочия

Полномочия $я$ повторить в цикле, который можно выразить следующим образцом, где $п$ любое целое число:

{ displaystyle i ^ {4n} = 1}

{ displaystyle i ^ {4n + 1} = i}

{ displaystyle i ^ {4n + 2} = - 1}

{ Displaystyle я ^ {4n + 3} = - я,}

Это приводит к выводу, что

{ Displaystyle я ^ {п} = я ^ {(п { bmod {4}})}}

где мод представляет операция по модулю. Эквивалентно:

{ Displaystyle я ^ {п} = соз (п пи / 2) + я грех (п пи / 2)}

$я$ возведен во власть $я$

Используя Формула Эйлера, $я я$ является

{ displaystyle i ^ {i} = left (e ^ {i ( pi / 2 + 2k pi)} right) ^ {i} = e ^ {i ^ {2} ( pi / 2 + 2k pi)} = e ^ {- ( pi / 2 + 2k pi)}}

где $k \in ℤ$ , набор целые числа.

В основная стоимость (для $k = 0$ ) является $е - π /2$ , или примерно 0,207879576.^[10]

Факториал

В факториал мнимой единицы $я$ чаще всего дается с точки зрения гамма-функция оценивается в $1 + я$ :

{ displaystyle i! = Gamma (1 + i) приблизительно 0,4980-0,1549i ~.}

Также,

{ displaystyle | я! | = { sqrt {{ frac { pi} {, sinh pi ,}} ,}}}

^[11]

Прочие операции

Многие математические операции, которые могут быть выполнены с действительными числами, также могут быть выполнены с $я$ , например, возведение в степень, корни, логарифмы и тригонометрические функции. Все следующие функции сложный многозначные функции, и следует четко указать, какая ветвь Риманова поверхность функция определяется на практике. Ниже приведены результаты для наиболее часто выбираемой ветви.

Число поднято до $ni$ мощность:

{ Displaystyle х ^ {ni} = соз (п пер х) + я грех (п пер х) ~.}

В $ni th$ корень числа:

{ displaystyle { sqrt [{ni}] {x ,}} = cos left ({ frac { ln x} {n}} right) -i sin left ({ frac { ln x} {n}} right) ~.}

В мнимый логарифм из числа:

{ displaystyle log _ {i} (x) = { frac {2 ln x} {i pi}} ~.}

Как и любой комплексный логарифм, бревенчатая база $я$ не определено однозначно.

В косинус из $я$ это действительное число:

{ displaystyle cos i = cosh 1 = { frac {e + 1 / e} {2}} = { frac {e ^ {2} +1} {2e}} приблизительно 1,54308064 ldots}

И синус из $я$ чисто мнимое:

{ displaystyle sin i = i sinh 1 = { frac {e-1 / e} {2}} i = { frac {e ^ {2} -1} {2e}} i приблизительно (1.17520119 ldots) i ~.}

Смотрите также

Заметки

^ Некоторые тексты^{[который? ]} используйте греческую букву йота ( $ι$ ) для мнимой единицы, чтобы избежать путаницы, особенно с индексами и нижними индексами.

В электротехника и связанных полей, мнимая единица обычно обозначается $j$ чтобы избежать путаницы с электрический ток как функция времени, которую условно представляют как $я (т)$ или просто $я$ .^[1]

В Язык программирования Python также использует $j$ для обозначения мнимой части комплексного числа.

MATLAB связывает оба $я$ и $j$ с мнимой единицей, хотя вход $1 я$ или $1 j$ является предпочтительным для скорости и более надежного синтаксического анализа выражений.^[2]

в кватернионы, Каждый из $я$ , $j$ , и $k$ это отдельная мнимая единица.

В бивекторы и бикватернионы, дополнительная мнимая единица $час$ или $ℓ$ используется.
^ Чтобы найти такое число, можно решить уравнение
$(Икс + я у) 2 = я$
где $Икс$ и $у$ реальные параметры, которые необходимо определить, или, что то же самое
$Икс 2 + 2 я х у - у 2 = я$ .
Поскольку действительная и мнимая части всегда разделены, мы перегруппируем термины:
$Икс 2 - у 2 + 2 я х у = 0 + я$
и по приравнивание коэффициентов, действительная часть и действительный коэффициент мнимой части отдельно, мы получаем систему двух уравнений:
$Икс 2 - у 2 = 0$
$2 х у = 1$ .
Подстановка $у = ½ Икс$ в первое уравнение, получаем
$Икс 2 -¼ Икс 2 = 0$
$Икс 2 = ¼ Икс 2$
$4 Икс 4 = 1$
Потому что $Икс$ - действительное число, это уравнение имеет два действительных решения для $Икс$ : $Икс = 1/ \sqrt 2$ и $Икс = -1/ \sqrt 2$ . Подставляя любой из этих результатов в уравнение $2 ху = 1$ в свою очередь, мы получим соответствующий результат для $у$ . Таким образом, квадратные корни из $я$ числа $1/ \sqrt 2 + я / \sqrt 2$ и $-1/ \sqrt 2 - я / \sqrt 2$ .^[9]

использованная литература

^ Боас, Мэри Л. (2006). Математические методы в физических науках (3-е изд.). Нью-Йорк [u.a.]: Wiley. п.49. ISBN 0-471-19826-9.
^ «Документация по продукту MATLAB».
^ ^а ^б Ошибка цитирования: указанная ссылка :0 был вызван, но не определен (см. страница помощи).
^ Doxiadēs, Apostolos K .; Мазур, Барри (2012). Нарушенные круги: взаимодействие математики и повествования (иллюстрированный ред.). Издательство Принстонского университета. п.225. ISBN 978-0-691-14904-2 - через Google Книги.
^ Букет, Брайан (2012). Математические заблуждения и парадоксы (иллюстрированный ред.). Курьерская корпорация. п.31 -34. ISBN 978-0-486-13793-3 - через Google Книги.
^ Крамер, Артур (2012). Математика для электричества и электроники (4-е изд.). Cengage Learning. п.81. ISBN 978-1-133-70753-0 - через Google Книги.
^ Пиччиотто, Анри; Вау, Анита (1994). Алгебра: темы, инструменты, концепции (Под ред. Учителей). Анри Пиччиотто. п.424. ISBN 978-1-56107-252-1 - через Google Книги.
^ Нахин, Пол Дж. (2010). Воображаемая сказка: история " $я$ "[квадратный корень минус один]. Издательство Принстонского университета. п.12. ISBN 978-1-4008-3029-9 - через Google Книги.
^ "Каков квадратный корень из $я$ ?". Математическая сеть Университета Торонто. Получено 26 марта 2007.
^ Уэллс, Дэвид (1997) [1986]. Словарь любопытных и интересных чисел Penguin (переработанная ред.). Великобритания: Penguin Books. п. 26. ISBN 0-14-026149-4.
^ "абс (я!)". вольфрам Альфа.

дальнейшее чтение

Нахин, Пол Дж. (1998). Воображаемая сказка: история $я$ [квадратный корень из минус единицы]. Чичестер: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02795-1 - через Archive.org.

внешние ссылки

Эйлер, Леонард. «Мнимые корни многочленов». в «Конвергенция». mathdl.maa.org. Математическая ассоциация Америки. Архивировано из оригинал 13 июля 2007 г.

[3] Некоторые тексты^{[который? ]} используйте греческую букву йота ( $ι$ ) для мнимой единицы, чтобы избежать путаницы, особенно с индексами и нижними индексами.

В электротехника и связанных полей, мнимая единица обычно обозначается $j$ чтобы избежать путаницы с электрический ток как функция времени, которую условно представляют как $я (т)$ или просто $я$ .^[1]

В Язык программирования Python также использует $j$ для обозначения мнимой части комплексного числа.

MATLAB связывает оба $я$ и $j$ с мнимой единицей, хотя вход $1 я$ или $1 j$ является предпочтительным для скорости и более надежного синтаксического анализа выражений.^[2]

в кватернионы, Каждый из $я$ , $j$ , и $k$ это отдельная мнимая единица.

В бивекторы и бикватернионы, дополнительная мнимая единица $час$ или $ℓ$ используется.

[11] Чтобы найти такое число, можно решить уравнение
$(Икс + я у) 2 = я$
где $Икс$ и $у$ реальные параметры, которые необходимо определить, или, что то же самое
$Икс 2 + 2 я х у - у 2 = я$ .
Поскольку действительная и мнимая части всегда разделены, мы перегруппируем термины:
$Икс 2 - у 2 + 2 я х у = 0 + я$
и по приравнивание коэффициентов, действительная часть и действительный коэффициент мнимой части отдельно, мы получаем систему двух уравнений:
$Икс 2 - у 2 = 0$
$2 х у = 1$ .
Подстановка $у = ½ Икс$ в первое уравнение, получаем
$Икс 2 -¼ Икс 2 = 0$
$Икс 2 = ¼ Икс 2$
$4 Икс 4 = 1$
Потому что $Икс$ - действительное число, это уравнение имеет два действительных решения для $Икс$ : $Икс = 1/ \sqrt 2$ и $Икс = -1/ \sqrt 2$ . Подставляя любой из этих результатов в уравнение $2 ху = 1$ в свою очередь, мы получим соответствующий результат для $у$ . Таким образом, квадратные корни из $я$ числа $1/ \sqrt 2 + я / \sqrt 2$ и $-1/ \sqrt 2 - я / \sqrt 2$ .^[9]

[1] Боас, Мэри Л. (2006). Математические методы в физических науках (3-е изд.). Нью-Йорк [u.a.]: Wiley. п.49. ISBN 0-471-19826-9.

[2] «Документация по продукту MATLAB».

[:0-4] а ^б Ошибка цитирования: указанная ссылка :0 был вызван, но не определен (см. страница помощи).

[5] Doxiadēs, Apostolos K .; Мазур, Барри (2012). Нарушенные круги: взаимодействие математики и повествования (иллюстрированный ред.). Издательство Принстонского университета. п.225. ISBN 978-0-691-14904-2 - через Google Книги.

[6] Букет, Брайан (2012). Математические заблуждения и парадоксы (иллюстрированный ред.). Курьерская корпорация. п.31 -34. ISBN 978-0-486-13793-3 - через Google Книги.

[7] Крамер, Артур (2012). Математика для электричества и электроники (4-е изд.). Cengage Learning. п.81. ISBN 978-1-133-70753-0 - через Google Книги.

[8] Пиччиотто, Анри; Вау, Анита (1994). Алгебра: темы, инструменты, концепции (Под ред. Учителей). Анри Пиччиотто. п.424. ISBN 978-1-56107-252-1 - через Google Книги.

[9] Нахин, Пол Дж. (2010). Воображаемая сказка: история " $я$ "[квадратный корень минус один]. Издательство Принстонского университета. п.12. ISBN 978-1-4008-3029-9 - через Google Книги.

[10] "Каков квадратный корень из $я$ ?". Математическая сеть Университета Торонто. Получено 26 марта 2007.

[12] Уэллс, Дэвид (1997) [1986]. Словарь любопытных и интересных чисел Penguin (переработанная ред.). Великобритания: Penguin Books. п. 26. ISBN 0-14-026149-4.

[13] "абс (я!)". вольфрам Альфа.

[а]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[b]

[10]

[11]

[1]

[2]

[9]