Тождество Эйлера - Eulers identity

Для использования в других целях см. Список тем, названных в честь Леонарда Эйлера § личности Эйлера.

В математике Тождество Эйлера^{[n 1]} (также известный как Уравнение Эйлера ) это равенство

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

куда

е является Число Эйлера, база натуральные логарифмы,

я это мнимая единица, которая по определению удовлетворяет я² = −1, и

π является число Пи, то соотношение окружности круг к его диаметру.

Личность Эйлера названа в честь швейцарского математика. Леонард Эйлер. Считается образцом математическая красота поскольку он показывает глубокую связь между самыми фундаментальными числами в математике.

Математическая красота

Личность Эйлера часто приводится как пример глубокого математическая красота.^[3] Три основных арифметика операции происходят ровно один раз каждая: добавление, умножение, и возведение в степень. Идентичность также связывает пять основных математические константы:^[4]

• В число 0, то аддитивная идентичность.
• В номер 1, то мультипликативная идентичность.
• В номер π (π = 3.141 ...) фундаментальная круг постоянный.
• В номер е (е = 2,718 ...), также известное как число Эйлера, которое широко встречается в математический анализ.
• В номер я, мнимая единица сложные числа.

Кроме того, уравнение задается в виде выражения, равного нулю, что является обычной практикой в ​​нескольких областях математики.

Стэндфордский Университет профессор математики Кейт Девлин сказал: "как шекспировский сонет который отражает самую суть любви, или картина, которая раскрывает красоту человеческой формы, которая намного больше, чем просто кожа, уравнение Эйлера проникает в самые глубины существования ".^[5] И Пол Нахин, почетный профессор Университет Нью-Гэмпшира, написавший книгу, посвященную Формула Эйлера и его приложения в Анализ Фурье, описывает личность Эйлера как «изысканную красоту».^[6]

Писатель-математик Констанс Рид высказал мнение, что личность Эйлера - «самая известная формула во всей математике».^[7] И Бенджамин Пирс, американец 19 века философ, математик, профессор Гарвардский университет, после доказательства тождества Эйлера во время лекции, заявил, что тождество «абсолютно парадоксально; мы не можем понять его, и мы не знаем, что это означает, но мы доказали это, и поэтому мы знаем, что это должна быть истина».^[8]

Опрос читателей, проведенный Математический интеллект в 1990 году назвал личность Эйлера "самой красивой теорема по математике ».^[9] В другом опросе читателей, проведенном Мир физики в 2004 г. личность Эйлера была связана с Уравнения Максвелла (из электромагнетизм ) как «величайшее уравнение всех времен».^[10]

Исследование мозга шестнадцати математиков показало, что «эмоциональный мозг» (в частности, средний орбитофронтальная кора, который загорается для красивой музыки, поэзии, картинок и т. д.) для личности Эйлера более последовательно, чем для любой другой формулы.^[11]

Не менее трех книг в популярная математика были опубликованы о личности Эйлера:

• Сказочная формула доктора Эйлера: излечивает многие математические недуги, к Пол Нахин (2011)^[12]
• Самое элегантное уравнение: формула Эйлера и красота математики, Дэвид Стипп (2017)^[13]
• Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема в математике, к Робин Уилсон (2018).^[14]

Пояснения

Мнимые показатели

Основная статья: Формула Эйлера

Смотрите также: Комплексные показатели с положительной действительной базой

В этой анимации N принимает различные возрастающие значения от 1 до 100. Вычисление (1 + я/N)^N отображается как комбинированный эффект N повторные умножения в комплексная плоскость, конечной точкой является фактическое значение (1 + я/N)^N. Видно, что как N становится больше (1 + я/N)^N приближается к пределу -1.

По сути, тождество Эйлера утверждает, что ${\displaystyle e^{i\pi }}$ равно -1. Выражение ${\displaystyle e^{i\pi }}$ является частным случаем выражения ${\displaystyle e^{z}}$, куда z - любое комплексное число. В целом, ${\displaystyle e^{z}}$ определяется для сложных z путем расширения одного из определения экспоненциальной функции от реальных показателей до комплексных показателей. Например, одно общее определение:

${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$

Таким образом, тождество Эйлера утверждает, что предел, как п приближается к бесконечности ${\displaystyle (1+i\pi /n)^{n}}$ равно -1. Этот предел показан на анимации справа.

Формула Эйлера для общего угла

Тождество Эйлера - это особый случай из Формула Эйлера, в котором говорится, что для любого настоящий номер Икс,

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

где входы тригонометрические функции синус и косинус даны в радианы.

В частности, когда Икс = π,

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .}$

С

${\displaystyle \cos \pi =-1}$

и

${\displaystyle \sin \pi =0,}$

следует, что

${\displaystyle e^{i\pi }=-1+0i,}$

что дает тождество Эйлера:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

Геометрическая интерпретация

Любое комплексное число ${\displaystyle z=x+iy}$ может быть представлен точкой ${\displaystyle (x,y)}$ на комплексная плоскость. Эта точка также может быть представлена ​​в полярные координаты в качестве ${\displaystyle (r,\theta )}$, куда р абсолютное значение z (расстояние от начала координат), и ${\displaystyle \theta }$ аргумент z (угол против часовой стрелки от положительного Икс-ось). По определениям синуса и косинуса эта точка имеет декартовы координаты ${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta )}$, подразумевая, что ${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$. Согласно формуле Эйлера это эквивалентно высказыванию ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$.

Тождество Эйлера говорит, что ${\displaystyle -1=e^{i\pi }}$. С ${\displaystyle e^{i\pi }}$ является ${\displaystyle re^{i\theta }}$ за р = 1 и ${\displaystyle \theta =\pi }$, это можно интерпретировать как факт о числе −1 на комплексной плоскости: его расстояние от начала координат равно 1, а его угол от положительного Иксось ${\displaystyle \pi }$ радианы.

Кроме того, когда любое комплексное число z является умноженный к ${\displaystyle e^{i\theta }}$, он имеет эффект вращения z против часовой стрелки на угол ${\displaystyle \theta }$ на комплексной плоскости. Поскольку умножение на -1 отражает точку в начале координат, тождество Эйлера можно интерпретировать как утверждение, что вращение любой точки ${\displaystyle \pi }$ Радианы вокруг начала координат имеют тот же эффект, что и отражение точки через начало координат.

Обобщения

Тождество Эйлера также является частным случаем более общего тождества, которое пth корни единства, за п > 1, сложите до 0:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0.}$

Тождество Эйлера - это случай, когда п = 2.

В другой области математики, используя кватернион возведением в степень, можно показать, что аналогичное тождество применимо и к кватернионам. Позволять {я, j, k} быть базовыми элементами; тогда,

${\displaystyle e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.}$

В общем, учитывая настоящий а₁, а₂, и а₃ такой, что а₁² + а₂² + а₃² = 1, тогда,

${\displaystyle e^{\left(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k\right)\pi }+1=0.}$

За октонионы, с реальным а_п такой, что а₁² + а₂² + ... + а₇² = 1, а с элементами базиса октониона {я₁, я₂, ..., я₇},

${\displaystyle e^{\left(a_{1}i_{1}+a_{2}i_{2}+\dots +a_{7}i_{7}\right)\pi }+1=0.}$

История

Утверждалось, что личность Эйлера проявляется в его монументальной работе по математическому анализу, опубликованной в 1748 году. Введение в анализин бесконечный.^[15] Однако сомнительно, может ли эта конкретная концепция быть приписана самому Эйлеру, поскольку он, возможно, никогда не выражал ее.^[16] Более того, хотя Эйлер писал в Введение о том, что мы сегодня называем Формула Эйлера,^[17] что касается е с косинусом и синусом в области комплексных чисел английский математик Роджер Котс (который умер в 1716 году, когда Эйлеру было всего 9 лет) также знал об этой формуле, и Эйлер, возможно, приобрел знания от своего швейцарского соотечественника. Иоганн Бернулли.^[16]

Робин Уилсон заявляет следующее.^[18]

Мы видели, как это [личность Эйлера] можно легко вывести из результатов Иоганна Бернулли и Роджера Котеса, но ни один из них, похоже, этого не сделал. Даже Эйлер, похоже, не записал это прямо - и, конечно же, это не фигурирует ни в одной из его публикаций - хотя он, несомненно, осознавал, что это непосредственно следует из его личности [т.е. Формула Эйлера ], е^ix = cos Икс + я грех Икс. Более того, кажется неизвестным, кто первым явным образом сформулировал результат….

Смотрите также

• Формула де Муавра
• Экспоненциальная функция
• Постоянная Гельфонда

Примечания

1. Термин «тождество Эйлера» (или «тождество Эйлера») также используется в другом месте для обозначения других концепций, включая соответствующую общую формулу. е^ix = cos Икс + я грех Икс,^[1] и Формула произведения Эйлера.^[2]

Рекомендации

1. Данэм, 1999 г., п. xxiv.
2. Степанов, С. А. (7 февраля 2011 г.). «Тождество Эйлера». Энциклопедия математики. Получено 7 сентября 2018.
3. Галлахер, Джеймс (13 февраля 2014 г.). «Математика: почему мозг видит в математике красоту». BBC News Online. Получено 26 декабря 2017.
4. Паулос, 1992, стр. 117.
5. Нахин, 2006 г., п. 1.
6. Нахин, 2006, с. xxxii.
7. Рид, глава е.
8. Маор, п. 160, и Kasner & Newman, п. 103–104.
9. Уэллс, 1990 год.
10. Crease, 2004.
11. Зеки и др., 2014.
12. Нахин, Пол (2011). Невероятная формула доктора Эйлера: излечивает многие математические недуги. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0691118222.
13. Стипп, Дэвид (2017). Красивейшее уравнение: формула Эйлера и красота математики (Первое изд.). Основные книги. ISBN  978-0465093779.
14. Уилсон, Робин (2018). Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема в математике. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0198794936.
15. Конвей и Гай, стр. 254–255.
16. Сандифер, стр. 4.
17. Эйлер, стр. 147.
18. Уилсон, стр. 151-152.

Источники

• Конвей, Джон Х., и Гай, Ричард К. (1996), Книга чисел, Springer ISBN  978-0-387-97993-9
• Crease, Роберт П. (10 мая 2004 г.) "Величайшие уравнения когда-либо ", Мир физики [требуется регистрация]
• Данэм, Уильям (1999), Эйлер: Мастер всех нас, Математическая ассоциация Америки ISBN  978-0-88385-328-3
• Эйлер, Леонард (1922), Опера Леонарди Эйлера омния. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Томус примус, Лейпциг: Б. Г. Тубнери
• Каснер, Э., и Ньюман, Дж. (1940), Математика и воображение, Саймон и Шустер
• Маор, Эли (1998), е: История числа, Princeton University Press ISBN  0-691-05854-7
• Нахин, Пол Дж. (2006), Сказочная формула доктора Эйлера: излечивает многие математические недуги, Princeton University Press ISBN  978-0-691-11822-2
• Паулос, Джон Аллен (1992), Beyond Numeracy: необычный математический словарь, Книги о пингвинах ISBN  0-14-014574-5
• Рид, Констанс (разные издания), От нуля до бесконечности, Математическая ассоциация Америки
• Сандифер, К. Эдвард (2007), Лучшие хиты Эйлера, Математическая ассоциация Америки ISBN  978-0-88385-563-8
• Стипп, Дэвид (2017), Самое элегантное уравнение: формула Эйлера и красота математики, Базовые книги
• Уэллс, Дэвид (1990). «Это самые красивые?». Математический интеллект. 12 (3): 37–41. Дои:10.1007 / BF03024015.
• Уилсон, Робин (2018), Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема в математике, Oxford University Press
• Зеки, С.; Romaya, J. P .; Бенинкаса, Д. М. Т .; Атья, М.Ф. (2014), «Опыт математической красоты и ее нейронных коррелятов», Границы нейробиологии человека, 8: 68, Дои:10.3389 / fnhum.2014.00068, ЧВК  3923150, PMID  24592230

внешняя ссылка

• Полный вывод тождества Эйлера
• Интуитивное понимание формулы Эйлера