Список представительств е - List of representations of e

В математическая константа е может быть представлен различными способами как настоящий номер. С е является иррациональный номер (видеть доказательство того, что е иррационально ), его нельзя представить как частное из двух целые числа, но его можно представить как непрерывная дробь. С помощью исчисление, е может также быть представлен как бесконечная серия, бесконечный продукт, или другой вид предел последовательности.

В виде непрерывной дроби

Эйлер доказал, что число е представлен как бесконечный простая цепная дробь^[1] (последовательность A003417 в OEIS ):

${displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,ldots ,1,2n,1,ldots ].}$

Его сходимость можно утроить^{[требуется разъяснение ][нужна цитата ]} разрешив только одно дробное число:

${displaystyle e=[1;1/2,12,5,28,9,44,13,60,17,ldots ,4(4n-1),4n+1,ldots ].}$

Вот несколько бесконечных обобщенная цепная дробь расширение е. Второй генерируется из первого простым преобразование эквивалентности.

${displaystyle e=2+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{2+{cfrac {2}{3+{cfrac {3}{4+{cfrac {4}{5+ddots }}}}}}}}}}=2+{cfrac {2}{2+{cfrac {3}{3+{cfrac {4}{4+{cfrac {5}{5+{cfrac {6}{6+ddots ,}}}}}}}}}}}$

${displaystyle e=2+{cfrac {1}{1+{cfrac {2}{5+{cfrac {1}{10+{cfrac {1}{14+{cfrac {1}{18+ddots ,}}}}}}}}}}=1+{cfrac {2}{1+{cfrac {1}{6+{cfrac {1}{10+{cfrac {1}{14+{cfrac {1}{18+ddots ,}}}}}}}}}}}$

Последнее, эквивалентно [1; 0.5, 12, 5, 28, 9, ...], является частным случаем общей формулы для экспоненциальная функция:

${displaystyle e^{x/y}=1+{cfrac {2x}{2y-x+{cfrac {x^{2}}{6y+{cfrac {x^{2}}{10y+{cfrac {x^{2}}{14y+{cfrac {x^{2}}{18y+ddots }}}}}}}}}}}$

Домыслы

Существуют также гипотезы о непрерывной дроби для е. Например, компьютерная программа, разработанная в Израильский технологический институт придумал:^[2]

${displaystyle e=3+{cfrac {-1}{4+{cfrac {-2}{5+{cfrac {-3}{6+{cfrac {-4}{7+ddots ,}}}}}}}}}$

Как бесконечная серия

Число е можно выразить как сумму следующих бесконечная серия:

${displaystyle e^{x}=sum _{k=0}^{infty }{frac {x^{k}}{k!}}}$ для любого реального числа Икс.

в особый случай куда Икс = 1 или −1, имеем:

${displaystyle e=sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{k!}}}$,^[3] и

${displaystyle e^{-1}=sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

Другие серии включают следующее:

${displaystyle e=left[sum _{k=0}^{infty }{frac {1-2k}{(2k)!}}ight]^{-1}}$ ^[4]

${displaystyle e={frac {1}{2}}sum _{k=0}^{infty }{frac {k+1}{k!}}}$

${displaystyle e=2sum _{k=0}^{infty }{frac {k+1}{(2k+1)!}}}$

${displaystyle e=sum _{k=0}^{infty }{frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}}$

${displaystyle e=sum _{k=0}^{infty }{frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}=sum _{k=0}^{infty }{frac {(3k+1)^{2}+1}{(3k+1)!}}=sum _{k=0}^{infty }{frac {(3k+2)^{2}+1}{(3k+2)!}}}$

${displaystyle e=left[sum _{k=0}^{infty }{frac {4k+3}{2^{2k+1},(2k+1)!}}ight]^{2}}$

${displaystyle e=sum _{k=0}^{infty }{frac {k^{n}}{B_{n}(k!)}}}$ куда ${displaystyle B_{n}}$ это пth Номер звонка.

Рассмотрение того, как поставить верхние границы на е приводит к этой убывающей серии:

${displaystyle e=3-sum _{k=2}^{infty }{frac {1}{k!(k-1)k}}=3-{frac {1}{4}}-{frac {1}{36}}-{frac {1}{288}}-{frac {1}{2400}}-{frac {1}{21600}}-{frac {1}{211680}}-{frac {1}{2257920}}-cdots }$

что дает по крайней мере одну правильную (или округленную) цифру на термин. То есть, если 1 ≤ п, тогда

${displaystyle e<3-sum _{k=2}^{n}{frac {1}{k!(k-1)k}}<e+0.6cdot 10^{1-n},.}$

В более общем смысле, если Икс не находится в {2, 3, 4, 5, ...}, то

${displaystyle e^{x}={frac {2+x}{2-x}}+sum _{k=2}^{infty }{frac {-x^{k+1}}{k!(k-x)(k+1-x)}},.}$

Как бесконечный продукт

Число е также приводится несколькими бесконечный продукт формы, включая Пиппенгер продукт

${displaystyle e=2left({frac {2}{1}}ight)^{1/2}left({frac {2}{3}};{frac {4}{3}}ight)^{1/4}left({frac {4}{5}};{frac {6}{5}};{frac {6}{7}};{frac {8}{7}}ight)^{1/8}cdots }$

и продукт Гильеры ^[5][6]

${displaystyle e=left({frac {2}{1}}ight)^{1/1}left({frac {2^{2}}{1cdot 3}}ight)^{1/2}left({frac {2^{3}cdot 4}{1cdot 3^{3}}}ight)^{1/3}left({frac {2^{4}cdot 4^{4}}{1cdot 3^{6}cdot 5}}ight)^{1/4}cdots ,}$

где пй фактор - это пкорень th продукта

${displaystyle prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n choose k}},}$

а также бесконечное произведение

${displaystyle e={frac {2cdot 2^{(ln(2)-1)^{2}}cdots }{2^{ln(2)-1}cdot 2^{(ln(2)-1)^{3}}cdots }}.}$

В более общем случае, если 1 < B < е² (который включает B = 2, 3, 4, 5, 6 или 7), то

${displaystyle e={frac {Bcdot B^{(ln(B)-1)^{2}}cdots }{B^{ln(B)-1}cdot B^{(ln(B)-1)^{3}}cdots }}.}$

Как предел последовательности

Число е равно предел из нескольких бесконечные последовательности:

${displaystyle e=lim _{n o infty }ncdot left({frac {sqrt {2pi n}}{n!}}ight)^{1/n}}$ и

${displaystyle e=lim _{n o infty }{frac {n}{sqrt[{n}]{n!}}}}$ (как Формула Стирлинга ).

Симметричный предел,^[7]

${displaystyle e=lim _{n o infty }left[{frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}ight]}$

может быть получен путем манипулирования базовым определением предела е.

Следующие два определения являются прямыми следствиями теорема о простых числах^[8]

${displaystyle e=lim _{n o infty }(p_{n}#)^{1/p_{n}}}$

куда ${displaystyle p_{n}}$ это пth основной и ${displaystyle p_{n}#}$ это первобытный из пй премьер.

${displaystyle e=lim _{n o infty }n^{pi (n)/n}}$

куда ${displaystyle pi (n)}$ это функция подсчета простых чисел.

Также:

${displaystyle e^{x}=lim _{n o infty }left(1+{frac {x}{n}}ight)^{n}.}$

В частном случае, когда ${displaystyle x=1}$, результатом является знаменитое утверждение:

${displaystyle e=lim _{n o infty }left(1+{frac {1}{n}}ight)^{n}.}$

Соотношение факториал ${displaystyle n!}$, что учитывает все перестановки множества заказов S с мощность ${displaystyle n}$, а психическое расстройство функция ${displaystyle !n}$, который подсчитывает количество перестановок, при которых ни один элемент не появляется в исходной позиции, стремится к ${displaystyle e}$ так как ${displaystyle n}$ растет.

${displaystyle e=lim _{n o infty }{frac {n!}{!n}}.}$

В тригонометрии

Тригонометрически, е можно записать в виде суммы двух гиперболические функции,

${displaystyle e^{x}=sinh(x)+cosh(x),}$

в Икс = 1.

Примечания

1. Сандифер, Эд (февраль 2006 г.). "Как это сделал Эйлер: Кто доказал е иррационально? " (PDF). MAA Online. Получено 2017-04-23.
2. Гал Раайони; и другие. (Июн 2019). «Машина Рамануджана: автоматически генерируемые гипотезы о фундаментальных константах». arXiv:1907.00205. Bibcode:2019arXiv190700205R. Отсутствует или пусто | url = (помощь)
3. Браун, Стэн (27 августа 2006 г.). "Это тоже закон - законы логарифмов". Дубовые дорожные системы. Архивировано из оригинал на 2008-08-13. Получено 2008-08-14.
4. Формулы 2–7: Х. Дж. Братья, Улучшение сходимости приближения ряда Ньютона для е, Математический журнал колледжа, Vol. 35, № 1, (2004), стр. 34–39.
5. Дж. Сондоу, Более быстрое произведение для пи и новый интеграл для ln pi / 2, Амер. Математика. Ежемесячно 112 (2005) 729–734.
6. Дж. Гильера и Дж. Сондоу, Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитические продолжения трансцендентной теории Лерха.,Рамануджанский журнал 16 (2008), 247–270.
7. Х. Дж. Братья и Дж. А. Нокс, Новые приближения логарифмической постоянной в замкнутой форме е, Математический интеллект, Vol. 20, № 4, (1998), стр. 25–29.
8. С. М. Руис 1997